Mostrar código-fonte de Épsilon de máquina

[[Arquivo:Cancela_eps2.png|thumb|400px|Gráfico de '''((1+x)-1)/x''' calculado em sistema de numeração do tipo 'double'. Idealmente o resultado seria '''1''', o gráfico mostra o efeito da [[perda de significância]] na operação '''(1+x)''' quando '''x''' é pequeno. Quando '''x''' se torna menor que o épsilon de máquina, a expressão se torna nula.]]
Em [[aritmética]] de [[ponto flutuante]], denomina-se '''épsilon da máquina''' o menor número que somado a '''1''' produza resultado diferente de '''1''', ou seja, que não é arredondado. O épsilon de máquina representa a exatidão relativa da aritmética do computador, e a sua existência é uma consequência direta da precisão finita da aritmética de ponto flutuante. O valor também é chamado de '''unidade de arredondamento''' ou '''menor número representável''', e é simbolizado pela letra grega [[épsilon]] <math>\epsilon</math>.<ref>{{citar livro|último =Bortoli|primeiro =Álvaro L.|último2 =Cardoso|primeiro2 =Carolina|último3 =Fachin|primeiro3 =Maria P. G.|último4 =Cunha|primeiro4 =Rudnei D|ano =2003|url =http://mat.ufrgs.br/~dago/num/rcunha/capa+sumario.pdf|título =Introdução a Cálculo Numérico|página =15}}{{Ligação inativa|data=dezembro de 2019 }}</ref><ref>{{citar livro|último =Sanches|primeiro =Carlos A. A|ano=2012|url=http://www.comp.ita.br/~forster/CCI-22-2012/cci22-cap2.pdf|título=Matemática Computacional: Erros de Arredondamento}}</ref>

==Definição formal==
''Arredondamento'' é o processo de escolha da representação de um [[número real]] em um sistema numérico de [[ponto flutuante]]. Para um determinado sistema numérico e um procedimento de arredondamento, o épsilon de máquina é o máximo erro relativo do procedimento escolhido.

Algumas explicações são necessárias para se determinar o valor dessa definição. Um sistema numérico de ponto flutuante é caracterizado por uma base <math>b</math>, e por uma precisão <math>p</math>, por exemplo, o número de dígitos na base <math>b</math> da mantissa (incluindo qualquer bit implícito). Todos os números com o mesmo expoente <math>e</math> têm o espaçamento <math>b^{e-(p-1)}</math>. O espaçamento muda nos números que são potências perfeitas de <math>b</math>; o espaçamento no lado de maior magnitude é <math>b</math> vezes maior que o espaçamento no lado de menor magnitude.

Uma vez que o épsilon de máquina é o limite do erro relativo, é suficiente considerar números com expoente <math>e=0</math>. Também é suficiente para considerar números positivos. Para o método de arredondamento do valor mais próximo, o erro absoluto de arredondamento é no máximo metade do espaçamento, ou <math>b^{-(p-1)}/2</math>. Este valor é o maior numerador possível para o erro relativo. O denominador no erro relativo é o número sendo arredondado, que deve ser o menor possível para tornar o erro maior. O maior erro relativo, portanto, acontece quando o arredondamento é aplicado a números na forma <math>1+a</math> onde <math>a</math> está entre <math>0</math> e <math>b^{-(p-1)}/2</math>. Todos esses números arredondam para <math>1</math> com erro relativo <math>a/(1+a)</math>. O máximo ocorre quando <math>a</math> está no limite superior do intervalo. O <math>1+a</math> no denominador tem pouca importância, sendo deixado de fora por conveniência, e apenas <math>b^{-(p-1)}/2</math> é tomado com o épsilon de máquina. Como foi mostrado aqui, o erro relativo é maior para números que são arredondados para <math>1</math>, então o épsilon de máquina também é chamado de ''unidade de arredondamento'', significando simplesmente "o máximo erro que pode ocorrer quando se arredonda para o valor unitário".

Assim, o máximo espaçamento entre um número normalizado em ponto flutuante <math>x</math>, e um número normalizado adjacente é <math>2\epsilon</math> x <math>|x|</math>.<ref>{{citar livro|primeiro =Nicholas |último =Higham |título=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms (2 ed)|publicado=SIAM|ano=2002 |páginas=37 }}</ref>

==Modelo aritmético==
A [[análise numérica]] usa o épsilon de máquina para estudar os efeitos dos [[Erro de arredondamento|erros de arredondamento]]. Os reais erros da aritmética computacional são complexos demais para serem diretamente estudados, então, em vez disso, o seguinte modelo simplificado é utilizado. O padrão aritmético da [[IEEE]] define que todas as operações de ponto flutuante são feitas como se fosse possível executá-las com precisão infinita, e então o resultado é arredondado para um número de ponto flutuante. Suponha que (1) <math>x</math> e <math>y</math> são números de ponto flutuante, que (2) <math>\bullet</math> é uma operação aritmética em ponto flutuante como adição ou multiplicação, e que (3) <math>\circ</math> é a operação de precisão infinita. De acordo com o padrão, o computador calcula:

:<math>x \bullet y = \mbox {round} (x \circ y)</math>

Pela definição, o erro relativo do arredondamento é máximo quando igual ao épsilon da máquina, então:

:<math>x \bullet y = (x \circ y)(1 + z)</math>

onde <math>z</math> em grandeza absoluta é no máximo <math>\epsilon</math>.

==Como determinar o épsilon de máquina==
Os valores de épsilon de máquina a seguir se aplicam a formatos padronizados de ponto flutuante:

{|class="wikitable"
! IEEE 754 - 2008 !! Nome usual !! Tipo de dado em C++ !! Base <math>b</math>!! Precisão <math>p</math>!! Épsilon de máquina{{ref label|def1|a|a}} <math>b^{-(p-1)}/2</math>!! Épsilon de máquina{{ref label|def2|b|b}} <math>b^{-(p-1)}</math>
|-
|align="center"|binary16||align="center"|meia precisão||align="center"|indisponível||align="center"|2||align="center"|11 (um bit implícito)||align="center"|2<sup> -11</sup> = 4.88e-04||align="center"|2<sup> -10</sup> = 9.77e-04
|-
|align="center"|binary32||align="center"|precisão singular||align="center"|float||align="center"|2||align="center"|24 (um bit implícito)||align="center"|2<sup> -24</sup> = 5.96e-08||align="center"|2<sup> -23</sup> = 1.19e-07
|-
|align="center"|binary64||align="center"|precisão dupla||align="center"|double||align="center"|2||align="center"|53 (um bit implícito)||align="center"|2<sup> -53</sup> = 1.11e-16||align="center"|2<sup> -52</sup> = 2.22e-16
|-
|align="center"|binary80||align="center"|precisão estendida||align="center"|_float80<ref name=xfloat>[http://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Floating-Types.html#Floating-Types Floating Types - Using the GNU Compiler Collection (GCC)]</ref>||align="center"|2||align="center"|64||align="center"|2<sup> -64</sup> = 5.42e-20||align="center"|2<sup> -63</sup> = 1.08e-19
|-
|align="center"|binary128||align="center"|precisão quádrupla||align="center"|_float128<ref name=xfloat/>||align="center"|2||align="center"|113 (um bit implícito)||align="center"|2<sup> -113</sup> = 9.63e-35||align="center"|2<sup> -112</sup> = 1.93e-34
|-
|align="center"|decimal32||align="center"|precisão singular decimal||align="center"|_Decimal32<ref name=decfloat>[http://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Decimal-Float.html#Decimal-Float Decimal Float - Using the GNU Compiler Collection (GCC)]</ref>||align="center"|10||align="center"|7||align="center"|5 × 10<sup> -7</sup>||align="center"|10<sup>−6</sup>
|-
|align="center"|decimal64||align="center"|precisão dupla decimal||align="center"|_Decimal64<ref name=decfloat/>||align="center"|10||align="center"|16||align="center"|5 × 10<sup> -16</sup>||align="center"|10<sup>−15</sup>
|-
|align="center"|decimal128||align="center"|precisão quádrupla decimal||align="center"|_Decimal128<ref name=decfloat/>||align="center"|10||align="center"|34||align="center"|5 × 10<sup> -34</sup>||align="center"|10<sup>−33</sup>
|}

{{note label|def1|a|a}}de acordo com Prof. Demmel, [[LAPACK]], [[Scilab]]
{{note label|def2|b|b}}de acordo com Prof. Higham; Padrão ISO C; constantes de linguagem [[C (linguagem de programação)|C]], [[C++]] e [[Python]]; [[Mathematica]], [[MATLAB]] e [[GNU Octave|Octave]]


O épsilon de máquina de um sistema pode ser aproximado (a um fator de 2) pelo seguinte [[algoritmo]] em [[pseudocódigo]]: <ref name=cheney>{{citar livro|título=Numerical mathematics and computing|autor=E. Elliott Ward Cheney, David Ronald Kincaid|ano=2012|editora=Cengage Learning|url=http://books.google.com.br/books?id=tDyYdqyZjSEC&pg=PA47&lpg=PA47#v=onepage&q&f=false}}</ref>
<syntaxhighlight lang="Scilab">
eps=1

while (eps+1) > 1
   eps=eps/2
end

eps=eps*2
</syntaxhighlight>

==Cancelamento catastrófico==
{{AP|Cancelamento catastrófico}}

O [[cancelamento catastrófico]] é um efeito que ocorre quando excedemos o limite de precisão do sistema de numeração, sendo caracterizado por um aumento substancial do erro relativo dos resultados. O exemplo característico desse tipo de erro é quando o resultado da [[subtração]] de dois números se aproxima do valor do épsilon de máquina.<ref>L.A.Sphaier, L.S.B.Alves. Representação de Números, Erros Numéricos e Aritmética Computacional. Disponível em www.sphaier.com</ref>

==Veja também==
*[[Ponto flutuante]], discussão geral sobre precisão em aritmética de ponto flutuante
*[[Propagação de erros]]


[[Categoria:Análise numérica]]

{{referências}}