Mostrar código-fonte de 0,999...

[[Imagem:999 Perspective 2.svg|thumb|upright=1.5|class=skin-invert-image|right|Representação estilística do número, representando como seus decimais continuam infinitamente]]
Na matemática, '''0,999...''' (também escrito como '''0,{{overline|9}}''', '''0,{{overset|.|9}}''' ou '''0,(9)''') é uma notação para a [[dízima periódica]] consistindo numa sequência interminável de noves após a [[vírgula decimal]]. Esta dízima periódica é um [[Sistema de numeração|número]] que representa o menor número não menor que todos os números da sequência {{nowrap|0,9; 0,99; 0,999; ...}}; isto é, o [[Supremo e ínfimo|supremo]] desta sequência.{{TagNota|Esta definição equivale à definição dos números decimais como limites das suas componentes somadas, que, no caso de 0,999..., é o limite da sequência (0,9, 0,99, 0,999, ...). A equivalência se deve ao fato de sequências crescentes limitadas terem seu limite sempre igual ao seu [[Supremo e ínfimo|supremo]].}} Este número é igual a&nbsp;1.<ref>{{Citar periódico |url=https://eric.ed.gov/?id=EJ961516 |título=Does 0.999... Really Equal 1? |data=2012 |acessodata=2025-01-13 |periódico=Mathematics Educator |número=2 |ultimo=Norton |primeiro=Anderson |ultimo2=Baldwin |primeiro2=Michael |paginas=58–67 |lingua=en |issn=1062-9017}}</ref> Em outras palavras, "0,999..." não é "quase exatamente 1" nem "muito, muito próximo, mas não exatamente 1"; em vez disso, o [[número decimal]] "0,999..." e o [[número inteiro]] "1" representam {{em|exatamente}} o mesmo número.<ref>{{Citar livro|título=Is math real? how simple questions lead us to mathematics' deepest truths|ultimo=Cheng|primeiro=Eugenia|data=2023|editora=Basic Books|edicao=First US |local=New York}}</ref><ref>{{Citar web|url=https://math.hmc.edu/funfacts/why-does-0-999-1/|titulo=Why Does 0.999… = 1? – Math Fun Facts|acessodata=2025-01-13|lingua=en-US}}</ref><ref>{{Citar web|url=https://betterexplained.com/articles/a-friendly-chat-about-whether-0-999-1/|titulo=A Friendly Chat About Whether 0.999… = 1 – BetterExplained|acessodata=2025-01-13|website=betterexplained.com}}</ref>

Há diversas maneiras de mostrar esta igualdade, desde argumentos [[intuitivo]]s até [[Prova matemática|provas]] [[Rigor matemático|matematicamente rigorosas]]. A técnica utilizada depende no público alvo, suposições básicas, contexto histórico e desenvolvimento de análises dos [[números reais]], conjunto no qual 0,999... é geralmente inserido.<ref>{{Citar livro|título=Mathematical fallacies and paradoxes|ultimo=Bunch|primeiro=Bryan H.|data=1982|editora=Van Nostrand Reinhold Co|local=New York}}</ref>

De forma geral, todo [[Sistema de numeração decimal|decimal]] finito tem duas representações iguais (por exemplo, 8,32 e 8,31999...), que é uma propriedade de todos as representações no [[Notação posicional|sistema numérico posicional]], independente da [[Base (aritmética)|base]].<ref>{{Citar livro|título=Chaos: an introduction to dynamical systems|ultimo=Alligood|primeiro=Kathleen T.|ultimo2=Sauer|primeiro2=Tim D.|ultimo3=Yorke|primeiro3=James A.|data=2010|editora=Springer|edicao=Repr.|series=Textbooks in mathematical sciences|local=New York, NY Heidelberg}}</ref> A preferência utilitária pela representação decimal final contribui para o equívoco de que esta é a única representação.

Por esta e outras razões — como provas rigorosas que se baseiam em técnicas, propriedades ou disciplinas não elementares — algumas pessoas podem achar a igualdade suficientemente contra-intuitiva a ponto de a questionarem ou rejeitarem. Este tem sido objeto de vários estudos em educação matemática.<ref>{{Citar livro|url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf|título=Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits|último1=Tall|primeiro1=David|último2=Schwarzenberger|primeiro2=R. L. E.|editora=|ano=1978|volume=82|acessodata=3 de maio de 2009|arquivourl=https://web.archive.org/web/20090530043040/http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf|arquivodata=30 de maio de 2009|publicação=Mathematics Teaching|páginas=44–49|autorlink1=David Tall|autorlink2=Rolph Ludwig Edward Schwarzenberger}}
</ref>

== Preliminares ==
[[Ficheiro:Leonhard_Euler_2.jpg|direita|miniaturadaimagem|[[Leonhard Euler]] foi um dos primeiros matemáticos a estudar o valor da [[dízima periódica simples]] 0,(9). Em "Elementos da Álgebra",<ref name=":1">{{citar livro|url=http://books.google.com/?id=X8yv0sj4_1YC&pg=PA170|título=Elements of Algebra|autor=Leonhard Euler|publicado=Orme Longman|ano=1822|editor=John Hewlett and Francis Horner, English translators.|isbn=0-387-96014-7|autorlink=Leonhard Euler|anooriginal=1770|edição=3rd English}} ISBN 0-38796-014-7</ref> ele expõe a sua demonstração]]
Nas últimas décadas, os pesquisadores de educação matemática têm estudado a receptividade dessas [[Relação|relações de igualdade]] entre os estudantes. Com efeito, muitas dúvidas e, mesmo, francas rejeições à validade dessa [[identidade]] apresentaram-se. Embora muitos sejam convencidos sumariamente apenas pela autoridade emanada dos livros didáticos, dos professores de [[matemática]], ou, até mesmo, dos raciocínios aritméticos como abaixo expostos, no sentido de aceitar, em princípio, que esses dois números são ''indubitavelmente'' iguais, todavia, essa questão tem natureza matemática mais rica e requer exame mais profundo. O raciocínio dos estudantes, seja para aceitar ou para rejeitar essa [[identidade]], usualmente baseia-se na sua intuição imediata e primária sobre os números reais. Como exemplos: (1) cada número real tem uma única representação; (2) números reais não-nulos [[Infinitesimal|infinitesimais]] devem existir; ou ainda (3) a [[expansão]] de 0,999… , eventualmente, termina. Contudo, as intuições falham no domínio do conjunto dos [[números reais]], embora sistemas numéricos alternativos possam ser construídos sobre ele. Ademais, várias outras representações que são também "imagem de 1" são de considerável interesse na [[análise matemática]] podem ser estabelecidas em moldes semelhantes.<ref name=":1" />

A não singularidade das tais expansões não é exclusiva dos [[Sistema decimal|sistemas decimais]]. De fa(c)to, esse [[fenômeno]] ocorre também noutras bases inteiras que não [[dez|10]], e, assim, os [[matemático]]s têm estabelecido as formas de escrever 1 em bases não-inteiras. Tampouco esse fenômeno é exclusivo do [[Um|número um]] (1): todo número não-nulo com uma notação decimal finita (ou, equivalentemente, infinitos dígitos "0" à direita) tem uma contrapartida com infinitos "9" à direita. Por exemplo 0,24999… é igual a 0,25, exatamente como no caso especial considerado. Esses são os [[números racionais]] e constituem um conjunto numérico [[Conjunto denso|denso]].<ref>Petkovšek p. 408</ref>

Por razões de óbvia simplicidade apenas, a representação decimal terminativa é quase sempre a preferida, contribuindo ainda mais para o equívoco de que seja necessariamente a única representação válida. Doutro lado, em certas aplicações, dá-se precisamente o contrário: a representação decimal ''não''-terminada mostra-se mais conveniente para a compreensão da expansão decimal de certas frações, e, na base três, por exemplo, para o correto entendimento do [[Conjunto de Cantor|conjunto ternário de Cantor]], [[fractal]] simples. Essa forma não-única de representação tem também utilidade na demonstração clássica da "incontabilidade da plenitude dos números reais". De modo geral, qualquer sistema posicional de representação para os números reais contém em si infinitos números com múltiplas representações.

== Prova elementar ==
[[File:Archimedean_property_for_Achilles_and_Tortoise_example.svg|right|thumb|A [[propriedade arquimediana]]: qualquer ponto {{math|''x''}} antes da linha de chegada está entre dois dos pontos {{math|''P''<sub>''n''</sub>}} (incluindo os próprios pontos {{math|''P''<sub>''n''</sub>}}).|class=skin-invert-image]]

É possível provar a equação {{nowrap|1=0,999... = 1}} utilizando apenas as ferramentas matemáticas de comparação e adição de [[números decimais]] (finitos), sem qualquer referência a tópicos mais avançados, como [[série (matemática)|série]]s e [[limite]]s. A prova apresentada em {{slink||Prova rigorosa}} é uma formalização direta do fato intuitivo de que, se desenharmos 0,9, 0,99, 0,999, etc. na [[reta numérica]], não haverá espaço para colocar um número entre eles e 1. O significado da notação 0,999... é o ponto mínimo na reta numérica à direita de todos os números 0,9, 0,99, 0,999, etc. Como, em última análise, não há espaço entre 1 e esses números, o ponto 1 deve ser esse ponto mínimo e, portanto, 0,999... = 1.

=== Explicação intuitiva ===

Se colocarmos 0,9, 0,99, 0,999, etc. na reta numérica, veremos imediatamente que todos esses pontos estão à esquerda de 1 e que eles se aproximam cada vez mais de 1. Para qualquer número {{mvar|x}} que seja menor que 1, a sequência 0,9, 0,99, 0,999 e assim por diante acabará atingindo um número maior que
{{mvar|x}}. Portanto, não faz sentido identificar 0,999... com qualquer número menor que 1. Enquanto isso, todo número maior que 1 será maior que qualquer decimal da forma 0,999...9 para qualquer número finito de noves. Portanto, 0,999... também não pode ser identificado com nenhum número maior que 1. Como 0,999... não pode ser maior do que 1 nem menor do que 1, ele deve ser igual a 1 se quiser ser um número real.{{sfnp|Cheng|2023|p=141}}{{sfnp|Diamond|1955}}

=== Prova rigorosa ===

Denote 0,(9)<sub>{{mvar|n}}</sub> o número 0,999...9, com {{mvar|n}} noves após o ponto decimal. Portanto, {{nowrap|1=0,(9)<sub>1</sub> = 0,9}}, {{nowrap|1=0,(9)<sub>2</sub> = 0,99}}, {{nowrap|1=0,(9)<sub>3</sub> = 0,999}}, e assim por diante. Note que {{nowrap|1=1 − 0,(9)<sub>1</sub> = 0,1 = <math display="inline">\frac{1}{10}</math>}}, {{nowrap|1= 1 − 0,(9)<sub>2</sub> = 0,01 = <math display="inline">\frac{1}{10^2}</math>}}, e assim por diante; ou seja, {{nowrap|1=1 − 0,(9)<sub>{{mvar|n}}</sub> = <math display="inline"> \frac{1}{10^n} </math>}} para todo [[número natural]] {{mvar|n}}.{{sfnp|Stewart|2009|p=175}}

Seja {{mvar|x}} um número menor ou igual a 1 e maior que 0,9, 0,99, 0,999, etc.; isto é, {{nowrap|0,(9)<sub>{{mvar|n}}</sub> < {{mvar|x}} ≤ 1}}, para todo {{mvar|n}}. Ao subtrair 1 dessas desigualdades, temos {{nowrap|0 ≤ 1 − {{mvar|x}} < <math display="inline"> \frac{1}{10^n} </math>}}.{{sfnp|Stewart|2009|p=175}}

A finalização da prova requer que não haja nenhum número que seja menor que <math display="inline">\frac{1}{10^n} </math> para todo {{mvar|n}}. Esta é uma versão da [[propriedade arquimediana]], que é verdadeira para todos os números reais.{{sfnp|Baldwin|Norton|2012|p=25}}{{sfnp|Meier|Smith|2017|loc=§8.2}} Esta propriedade implica que se {{nowrap|1 − {{mvar|x}} < <math display="inline"> \frac{1}{10^n} </math>}} para todo {{mvar|n}}, então {{nowrap|1 − {{mvar|x}}}} somente poderá ser igual a 0. Então, {{nowrap|1={{mvar|x}} = 1}} e 1 é o menor número que é maior que 0,9, 0,99, 0,999, etc., ou seja, {{nowrap|1=1 = 0,999...}}.{{sfnp|Baldwin|Norton|2012|p=25}}{{sfnp|Meier|Smith|2017|loc=§8.2}}

Essa prova se baseia na propriedade arquimediana dos números racionais e reais. Os números reais podem ser ampliados em [[sistemas numéricos]], como os [[números hiper-reais]], com números infinitamente pequenos ([[infinitesimais]]) e números infinitamente grandes ([[transfinito]]s).{{sfnp|Stewart|2009|p=175}}{{sfnp|Propp|2023}} Ao usar esses sistemas, a notação 0,999... geralmente não é usada, pois não há nenhum número menor entre os números maiores que todos os 0,(9)<sub>{{mvar|n}}</sub>.{{TagNota|Por exemplo, pode ser provado o seguinte: se {{mvar|x}} é um número qualquer tal que {{nowrap|0,(9)<sub>{{mvar|n}}</sub> ≤ {{mvar|x}} < 1}}, então {{nowrap|0,(9)<sub>{{mvar|n}}−1</sub> ≤ 10{{mvar|x}} − 9 < {{mvar|x}} < 1}}.  Portanto, se {{mvar|x}} tem  essa propriedade para todo {{mvar|n}}, o menor número da forma {{nowrap|10{{mvar|x}} − 9}} também tem.}}

=== Supremo e completude ===

Parte do que esse argumento mostra é haver um [[Supremo e ínfimo|supremo]] da sequência 0,9, 0,99, 0,999 etc.: o menor número que é maior do que todos os termos da sequência. Um dos [[axioma]]s do sistema de [[números reais]] é o [[Axioma do supremo|axioma da completude]], que afirma que toda sequência limitada tem um supremo.{{sfnp|Stillwell|1994|p=42}}{{sfnp|Earl|Nicholson|2021|loc="bound"}} Esse supremo é uma maneira de definir expansões decimais infinitas: o número real representado por um decimal infinito é o limite inferior superior de seus truncamentos finitos.{{sfnp|Rosenlicht|1985|p=27}} O argumento aqui não precisa assumir a completude para ser válido, pois mostra que essa sequência específica de números racionais tem um limite inferior superior e que esse limite inferior superior é igual a um.{{sfnp|Bauldry|2009|p=47}}

== Argumentos algébricos ==

As ilustrações algébricas simples de igualdade são objeto de discussão e crítica pedagógica. Byers discute o argumento de que, no ensino fundamental, ensina-se que {{nowrap|1=<math display="inline"> \frac{1}{3} </math> = 0.333...}}, ignorando todas as sutilezas essenciais, "multiplicar" essa identidade por 3 dá {{nowrap|1=1 = 0,999...}}. Ele diz ainda que esse argumento não é convincente, devido a uma ambiguidade não resolvida sobre o significado do [[sinal de igual]]; um aluno poderia pensar: "certamente não significa que o número 1 é idêntico ao significado da notação 0,999...". A maioria dos estudantes de graduação em matemática encontrados por Byers acha que, embora 0,999... seja "muito próximo" de 1 com base nesse argumento, e alguns até dizem que é "infinitamente próximo", eles não estão prontos para dizer que é igual a 1.{{sfnp|Byers|2007|p=39}} Richman discute como "esse argumento obtém sua força do fato de que a maioria das pessoas foi doutrinada a aceitar a primeira equação sem pensar", mas também sugere que o argumento pode levar os céticos a questionar essa suposição.{{sfnp|Richman|1999}}

Byers também apresenta o seguinte argumento.{{sfnp|Byers|2007|p=41}}
<math display="block">
\begin{align}
     x &= 0{,}999\ldots \\
   10x &= 9{,}999\ldots && \text{multiplicando por }10\\ \quad
   10x &= 9+0{,}999\ldots && \text{separando a parte inteira da decimal}\\
   10x &= 9 + x && \text{pela definição de }x\\
   9x &= 9 && \text{subtraindo }x\\
    x &= 1 && \text{dividindo por }9
\end{align}
</math>

Alunos que não aceitaram o primeiro argumento às vezes aceitam o segundo argumento, mas, na opinião de Byers, ainda não resolveram a ambiguidade e, portanto, não entendem a representação de decimais infinitos.{{sfnp|Byers|2007|p=41}} Peressini e Peressini, apresentando o mesmo argumento, também afirmam que ele não explica a igualdade, indicando que tal explicação provavelmente envolveria conceitos de infinito e [[Axioma do supremo|completude]].{{sfnp|Peressini|Peressini|2007|p=[https://archive.org/details/perspectivesonma0000unse_f3x1/page/186/mode/1up?q=equality&view=theater 186]}} Baldwin e Norton, citando Katz e Katz, também concluem que o tratamento da identidade com base em argumentos como esses, sem o conceito formal de limite, é prematuro.<ref>{{harvtxt|Baldwin|Norton|2012}}, citando {{harvtxt|Katz|Katz|2010a}}</ref> Cheng concorda, argumentando que saber que se pode multiplicar 0,999... por 10 deslocando a vírgula decimal pressupõe uma resposta à questão mais profunda de como se dá um significado à expressão 0,999...{{sfnp|Cheng|2023|p=136}} O mesmo argumento também é apresentado por Richman, que observa que os céticos podem questionar se {{mvar|x}} é cancelável, ou seja, se faz sentido subtrair {{mvar|x}} em ambos os lados.{{sfnp|Richman|1999}} Eisenmann argumenta de forma semelhante que tanto a multiplicação quanto a subtração que remove o decimal infinito requerem justificativa adicional.{{Sfnp|Eisenmann|2008|p=38}}

== Generalizações ==

O resultado de que {{nowrap|1=0,999... = 1}} facilmente se generaliza de duas maneiras. A primeira é todo número diferente de zero com notação decimal finita (equivalentemente, infinitos zeros à direita) tem uma contrapartida com noves à direita. Por exemplo, 0,24999... é igual a 0,25, exatamente como no caso especial considerado. Esses números são exatamente as frações decimais e são [[Conjunto denso|densos]].{{sfnp|Rosenlicht|1985|p=27}}{{sfnp|Petkovšek|1990|p=408}}

A segunda é um teorema análogo que se aplica em cada [[base (aritmética)|base]]. Por exemplo, na base 2 (o [[sistema de numeração binário]]), 0,111... é igual a 1, e na base 3 (o [[sistema de numeração ternário]]), 0,222... é igual a 1. Em geral, qualquer expressão final de base {{mvar|b}} tem uma contrapartida com dígitos finais repetidos iguais a {{math|''b'' &minus; 1}}. É provável que os livros didáticos de análise real pulem o exemplo de 0,999... e apresentem uma ou ambas as generalizações desde o início.{{sfnp|Protter|Morrey|1991|p=503}}{{sfnp|Bartle|Sherbert|1982|p=61}}

Representações alternativas de 1 também ocorrem em bases não inteiras. Por exemplo, na base da [[proporção áurea]], as duas representações padrão são 1,000... e 0,101010..., e há infinitamente mais representações que incluem 1s adjacentes. Em geral, para quase todo {{mvar|q}} entre 1 e 2, há incontáveis expansões de base&nbsp;{{mvar|q}} de 1. Em contrapartida, ainda há incontáveis {{mvar|q}}, incluindo todos os números naturais maiores que 1, para os quais há apenas uma expansão de base q de 1, além do 1,000... trivial. Esse resultado foi obtido pela primeira vez por [[Paul Erdős]], Miklos Horváth e István Joó por volta de 1990. Em 1998, Vilmos Komornik e [[Paola Loreti]] determinaram a menor base desse tipo, a constante de Komornik-Loreti {{nowrap|1={{mvar|q}} = 1,787231650...}}{{px2}}. Nessa base, {{nowrap|1=1 = 0,11010011001011010010110011010011...}}; os dígitos são dados pela [[sequência de Thue–Morse]], que não se repete.{{sfnp|Komornik|Loreti|1998|p=636}}

Uma generalização mais abrangente aborda os sistemas numéricos posicionais mais gerais. Eles também têm várias representações e, de certa forma, as dificuldades são ainda piores. Por exemplo:{{sfnp|Kempner|1936|p=611}}{{sfnp|Petkovšek|1990|p=409}}
* No sistema [[ternário balanceado]], {{nowrap|1=<math display="inline"> \frac{1}{2} </math> = 0,111... = 1.{{Sublinhar|111}}...}}{{px2}}.{{sfnp|Petkovšek|1990|p=409}}
* No sistema numérico fatorial inverso (usando bases 2!, 3!, 4!,&nbsp;... para posições ''após'' o ponto decimal), {{nowrap|1=1 = 1,000... = 0,1234...}}{{px2}}.

Petkovšek provou que, para qualquer sistema posicional que nomeie todos os números reais, o conjunto de reais com múltiplas representações é sempre denso. Ele chama a prova de "um exercício instrutivo de [[Topologia geral|topologia de conjunto de pontos]] elementar"; ela envolve a visualização de conjuntos de valores posicionais como espaços de Stone e a observação de que suas representações reais são dadas por [[Função_contínua#Espaço_topológico|funções contínuas]].{{sfnp|Petkovšek|1990|pp=410–411}}

==Provas geométricas==
[[Imagem:Why0.999equals1.png|thumb|right|120px|Por que 0,999… = 1?]]
De modo similar ao raciocínio baseado em argumentos algébrico-analíticos, várias provas geométricas têm sido sugeridas para a [[identidade]] 0,999… = 1. Uma delas é exibida na imagem a seguir:

== Ceticismo na educação ==

Os estudantes de matemática geralmente rejeitam a igualdade de 0,999... e 1, por motivos que vão desde sua aparência diferente até dúvidas profundas sobre o conceito de [[limite]] e discordâncias sobre a natureza dos [[infinitesimais]]. Há muitos fatores comuns que contribuem para a confusão:
* Os alunos geralmente estão "mentalmente comprometidos com a noção de que um número pode ser representado de uma e somente uma maneira por um decimal". Ver dois decimais manifestamente diferentes representando o mesmo número parece ser um paradoxo, que é ampliado pelo aparecimento do número 1, aparentemente bem compreendido.{{sfnp|Bunch|1982|p=119}}{{sfnp|Tall|Schwarzenberger|1978|p=6}}<ref>{{harvtxt|Burrell|1998}}, p.&nbsp;28: "Talvez o mais tranquilizador de todos os números seja o 1 [...] Portanto, é particularmente inquietante quando alguém tenta fazer o 0,9~ passar por 1."</ref>
* Alguns alunos interpretam "0,999..." (ou outra notação equivalente) como uma sequência grande, mas finita, de noves, possivelmente com um comprimento variável e não especificado. Se eles aceitarem uma sequência infinita de noves, talvez ainda esperem um último 9 "no infinito".{{sfnp|Tall|Schwarzenberger|1978|pp=6–7}}{{sfnp|Tall|2000|p=221}}
* A intuição e o ensino ambíguo levam os alunos a pensar no [[limite de uma sequência]] como um tipo de processo infinito em vez de um valor fixo, pois uma sequência não precisa atingir seu limite. Quando os alunos aceitam a diferença entre uma sequência de números e seu limite, eles podem ler "0,999..." como se fosse a sequência e não seu limite.{{sfnp|Tall|Schwarzenberger|1978|p=6}}{{sfnp|Tall|2000|p=221}}

Essas ideias são equivocadas no contexto padrão dos números reais, embora algumas possam ser válidas em outros sistemas numéricos, inventados pela sua utilidade matemática geral ou como [[contraexemplo]]s instrutivos para entender melhor 0,999...<!--; ver {{slink||Em sistemas numéricos alternativos}} abaixo.-->

Muitas dessas explicações foram encontradas por David Tall, que estudou as características do ensino e da cognição que levaram a alguns dos mal-entendidos que ele encontrou com seus alunos universitários. Ao entrevistar seus alunos para determinar por que a grande maioria inicialmente rejeitou a igualdade, ele descobriu que "os alunos continuaram a conceber 0,999... como uma sequência de números cada vez mais próximos de 1 e não como um valor fixo, porque 'você não especificou quantas casas há' ou 'é o decimal mais próximo possível abaixo de 1{{' "}}.{{sfnp|Tall|2000|p=221}}

O argumento elementar de multiplicar {{nowrap|1=0,333... = <math display="inline"> \frac{1}{3} </math>}} por 3 pode convencer os alunos relutantes de que {{nowrap|1=0,999... = 1}}. Ainda assim, quando confrontados com o conflito entre sua crença na primeira equação e sua descrença na segunda, alguns alunos começam a descrer da primeira equação ou simplesmente ficam frustrados.{{sfnp|Tall|1976|pp=10–14}} Os métodos mais sofisticados também não são infalíveis: os alunos que são totalmente capazes de aplicar definições rigorosas ainda podem recorrer a imagens intuitivas quando são surpreendidos por um resultado em matemática avançada, incluindo 0,999...{{px2}}. Por exemplo, um aluno de [[análise real]] conseguiu provar que {{nowrap|1=0,333... = <math display="inline"> \frac{1}{3} </math>}} usando uma definição de [[Supremo e ínfimo|supremo]], mas depois insistiu que {{nowrap|0,999... < 1}} com base em seu entendimento anterior de divisão.{{sfnp|Pinto|Tall|2001|p=5}}{{sfnp|Edwards|Ward|2004|pp=416–417}} Outros ainda conseguem provar que
{{nowrap|1=0,333... = <math display="inline"> \frac{1}{3} </math>}}, mas, ao serem confrontados com a [[#Argumentos algébricos|prova fracionária]], insistem que a "lógica" substitui os cálculos matemáticos.

Mazur conta a história de um aluno brilhante de cálculo que "desafiava quase tudo o que eu dizia em sala de aula, mas nunca questionava sua calculadora", e que passou a acreditar que nove dígitos são tudo o que se precisa para fazer matemática, inclusive calcular a [[raiz quadrada]] de 23. O aluno permaneceu desconfortável com o argumento limitador de que {{nowrap|1=9,99... = 10}}, chamando-o de "um processo de crescimento infinito imaginado de forma selvagem".{{sfnp|Mazur|2005|pp=137–141}}

Como parte da {{ill|en|teoria APOS|APOS Theory}} da aprendizagem matemática, Dubinsky ''et al.'' propõem que os alunos que concebem 0,999... como uma cadeia finita e indeterminada com uma distância infinitamente pequena de 1 "ainda não construíram uma concepção completa do processo do decimal infinito". Outros alunos que têm uma concepção de processo completa de 0,999... talvez ainda não consigam "encapsular" esse processo em uma "concepção de objeto", como a concepção de objeto que eles têm de 1, e por isso veem o processo 0,999... e o objeto 1 como incompatíveis. Eles também associam essa capacidade mental de encapsulamento à visão de <math display="inline"> \frac{1}{3} </math> como um número em si e a lidar com o conjunto de números naturais como um todo.{{sfnp|Dubinsky|Weller|McDonald|Brown|2005|pp=261–262}}

== Fenômeno cultural ==

Com o surgimento da [[Internet]], os debates sobre 0,999... tornaram-se comuns em {{ill|en|grupo de notícias|Usenet newsgroup|grupos de notícias}} e [[fórum de discussão|fóruns de discussão]], incluindo muitos que nominalmente têm pouco a ver com matemática. No grupo de notícias {{mono|sci.math}}, na década de 1990, discutir sobre 0,999... tornou-se um "esporte popular" e foi uma das perguntas respondidas em seu ''[[FAQ]]''.{{sfnp|Richman|1999|p=396}}{{sfnp|Vreught|1994}} O FAQ aborda brevemente <math display="inline"> \frac{1}{3} </math>, multiplicando por 10 e limites, e também faz alusão às sequências de Cauchy.

Uma edição de 2003 da coluna do jornal de interesse geral ''[[The Straight Dope]]'' discute 0,999... via <math display="inline"> \frac{1}{3} </math> e limites, falando de conceitos errôneos,
{{blockquote|text=
O primata inferior em nós ainda resiste, dizendo: 0,999~ não representa realmente um número, mas um processo. Para encontrar um número, temos que interromper o processo, e nesse ponto o .999~ = 1 se desfaz. Bobagem.{{sfnp|Adams|2003}}
}}

Um artigo da ''[[Slate]]'' relata que o conceito de 0,999... é "muito disputado em sites que vão desde os fórums de ''[[World of Warcraft]]'' até os fóruns de [[Ayn Rand]]".{{sfnp|Ellenberg|2014}} 0,999... também aparece em piadas matemáticas, como:{{sfnp|Renteln|Dundes|2005|p=27}}
{{blockquote|
P: Quantos matemáticos são necessários para trocar uma lâmpada?<br />
R: 0,999999....
}}

O fato de 0,999... ser igual a 1 foi comparado ao [[Paradoxos de Zenão#Dicotomia|paradoxo da dicotomia]] de Zenão.{{sfnp|Richman|1999}}{{sfnp|Adams|2003}}{{sfnp|Ellenberg|2014}} O paradoxo da dicotomia pode ser modelado matematicamente e, assim como 0,999..., resolvido por meio de uma série geométrica. No entanto, não está claro se esse tratamento matemático aborda as questões metafísicas subjacentes que Zenão estava explorando.{{sfnp|Wallace|2003|p=51}}{{sfnp|Maor|1987|p=17}}

== Ver também ==
{{Portal|Matemática}}
* [[Finitismo]]

{{Notas}}

{{Referências}}

== Bibliografia ==
{{refbegin|30em|indentação=sim}}
* {{citar web |url=http://www.straightdope.com/columns/030711.html |título=An infinite question: Why doesn't .999~ = 1? |data=11 de julho de 2003 |autorlink=Cecil Adams |primeiro=Cecil |último=Adams |publicação=[[The Straight Dope]] |publicado=[[Chicago Reader]] |acessodata=2006-09-06 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20060815010844/http://www.straightdope.com/columns/030711.html |arquivodata=15 de agosto de 2006 |urlmorta=não |ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Baldwin |primeiro1=Michael |último2=Norton |primeiro2=Anderson |título=Does 0.999... Really Equal 1? |url=https://eric.ed.gov/?id=EJ961516 |ano=2012 |publicação=The Mathematics Educator |volume=21 |número=2 |páginas=58–67 |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Bartle |primeiro1=R. G. |autorlink1=Robert Gardner Bartle |último2=Sherbert |primeiro2=D. R. |ano=1982 |url=https://archive.org/details/introductiontore0000bart |título=Introduction to Real Analysis |publicado=Wiley |isbn=978-0-471-05944-8 |ref=harv}}<br />Este texto tem como objetivo ser "um livro didático acessível e de ritmo razoável que trata dos conceitos e técnicas fundamentais da análise real". Seu desenvolvimento dos números reais se baseia no axioma do supremo. (pp.&nbsp;vii–viii)
* {{citar livro |último1=Bauldry |primeiro1=William C. |ano=2009 |url=https://books.google.com/books?id=ab-2vpx0FyYC&pg=PA47 |título=Introduction to Real Analysis: An Educational Approach |publicado=John Wiley & Sons |isbn=978-0-470-37136-7 |ref=harv}}<br />Este livro tem a intenção ser uma introdução à análise real destinada a estudantes de nível superior e de pós-graduação (pp.&nbsp;xi–xii).
* {{citar livro |último=Bunch |primeiro=Bryan H. |url=https://archive.org/details/mathematicalfall0000bunc |título=Mathematical Fallacies and Paradoxes |ano=1982 |publicado=Van Nostrand Reinhold |isbn=978-0-442-24905-2 |ref=harv}}<br />Este livro apresenta uma análise de paradoxos e falácias como uma ferramenta para explorar seu tópico central, "a relação bastante tênue entre a realidade matemática e a realidade física". Ele pressupõe o primeiro ano de álgebra do ensino médio; outras matemáticas são desenvolvidas no livro, incluindo séries geométricas no Capítulo 2. Embora 0,999... não seja um dos paradoxos a serem tratados em sua totalidade, ele é brevemente mencionado durante o desenvolvimento do método diagonal de Cantor (pp. ix–xi, 119).
* {{citar livro |último=Burrell |primeiro=Brian |título=Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference |ano=1998 |publicado=Merriam-Webster |isbn=978-0-87779-621-3 |url=https://archive.org/details/merriamwebstersg00burr |ref=harv}}
* {{citar livro |último=Byers |primeiro=William |título=How Mathematicians Think: Using Ambiguity, Contradiction, and Paradox to Create Mathematics |ano=2007 |publicado=Princeton University Press |isbn=978-0-691-12738-5 |url=https://archive.org/details/howmathematician00byer |ref=harv}}
* {{citar livro |último=Cheng |primeiro=Eugenia |título=Is Math Real? How Simple Questions Lead Us To Mathematics' Deepest Truths |ano=2023 |publicado=Basic Books |isbn=978-1-5416-0182-6|ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Diamond |primeiro=Louis E. |título=Irrational Numbers |publicação=Mathematics Magazine |publicado=Mathematical Association of America |ano=1955 |volume=29 |número=2 |páginas=89–99 |doi=10.2307/3029588 |jstor=3029588 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Dubinsky |primeiro1=Ed |último2=Weller |primeiro2=Kirk |último3=McDonald |primeiro3=Michael |último4=Brown |primeiro4=Anne |título=Some historical issues and paradoxes regarding the concept of infinity: an APOS analysis: part 2 |url=https://archive.org/details/sim_educational-studies-in-mathematics_2005_60_2/page/253 |publicação=Educational Studies in Mathematics |ano=2005 |volume=60 |páginas=253–266 |doi=10.1007/s10649-005-0473-0 |número=2 |s2cid=45937062 |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Earl |primeiro1=Richard |último2=Nicholson |primeiro2=James |título=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics |edição=6.ª |ano=2021 |publicado=Oxford University Press |isbn=978-0-19-258405-2 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Edwards |primeiro1=Barbara |último2=Ward |primeiro2=Michael |título=Surprises from mathematics education research: Student (mis)use of mathematical definitions |publicação=The American Mathematical Monthly |volume=111 |páginas=411–425 |url=http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf |doi=10.2307/4145268 |jstor=4145268 |acessodata=4 de julho de 2011 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20110722153906/http://www.wou.edu/~wardm/FromMonthlyMay2004.pdf |arquivodata=22 de julho de 2011 |número=5 |data=Maio de 2004 |citeseerx=10.1.1.453.7466 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Eisenmann |primeiro=Petr |ano=2008 |título=Why is not true that 0.999 . . . < 1? |url=http://teaching.math.rs/vol/tm1114.pdf |publicação=The Teaching of Mathematics |volume=11 |número=1 |páginas=38 |ref=harv}}
* {{citar web |url=http://www.slate.com/blogs/how_not_to_be_wrong/2014/06/06/does_0_999_1_and_are_divergent_series_the_invention_of_the_devil.html |publicação=[[Slate]] |último=Ellenberg |primeiro=Jordan |título=Does {{nowrap |1=0.999... = 1}}? And Are Divergent Series the Invention of the Devil?|data=6 de junho de 2014|autorlink=Jordan Ellenberg|arquivodata=8 de agosto de 2023|arquivourl=https://web.archive.org/web/20230808022739/https://slate.com/human-interest/2014/06/does-0-999-1-and-are-divergent-series-the-invention-of-the-devil.html|ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Katz |primeiro1=Karin Usadi |último2=Katz |primeiro2=Mikhail G. |ano=2010a |título=When is .999... less than 1? |publicação=The Montana Mathematics Enthusiast |volume=7 |número=1 |páginas=3–30 |doi=10.54870/1551-3440.1381 |url=http://www.math.umt.edu/TMME/vol7no1/ |acessodata=4 de julho de 2011 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20110720095125/http://www.math.umt.edu/TMME/vol7no1/ |arquivodata=20 de julho de 2011 |urlmorta=sim |bibcode=2010arXiv1007.3018U |arxiv=1007.3018 |s2cid=11544878 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Kempner |primeiro=Aubrey J. |autorlink=Aubrey John Kempner |título=Anormal Systems of Numeration |jstor=2300532 |publicação=The American Mathematical Monthly |volume=43 |páginas=610–617 |doi=10.2307/2300532 |número=10 |data=dezembro de 1936 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Komornik |primeiro1=Vilmos |último2=Loreti |primeiro2=Paola |título=Unique Developments in Non-Integer Bases |autorlink2=Paola Loreti |jstor=2589246 |publicação=The American Mathematical Monthly |volume=105 |ano=1998 |páginas=636–639 |doi=10.2307/2589246 |número=7 |ref=harv}}
* {{citar livro |último=Maor |primeiro=Eli |título=To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite |url=https://archive.org/details/toinfinitybeyond0000maor |acessourl=registro |ano=1987 |publicado=Birkhäuser |isbn=978-3-7643-3325-6 |ref=harv}}
* {{citar livro |último=Mazur |primeiro=Joseph |autorlink=Joseph Mazur |url=https://books.google.com/books?id=7KSxBwAAQBAJ |título=Euclid in the Rainforest: Discovering Universal Truths in Logic and Math |ano=2005 |publicado=Pearson: Pi Press |isbn=978-0-13-147994-4 |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Meier |primeiro1=John |último2=Smith |primeiro2=Derek |título=Exploring Mathematics: An Engaging Introduction to Proof |publicado=Cambridge University Press |ano=2017 |isbn=978-1-107-12898-9 |ref=harv}}
* {{citar livro |primeiro1=Anthony |último1=Peressini |primeiro2=Dominic |último2=Peressini |editor-nome1=Bart |editor-sobrenome1=van Kerkhove |editor-nome2=Jean Paul |editor-sobrenome2=van Bendegem |capítulo=Philosophy of Mathematics and Mathematics Education |url=https://archive.org/details/perspectivesonma0000unse_f3x1 |título=Perspectives on Mathematical Practices |publicado=Springer |isbn=978-1-4020-5033-6 |ano=2007 |series=Logic, Epistemology, and the Unity of Science |volume=5 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Petkovšek |primeiro=Marko |título=Ambiguous Numbers are Dense |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1990-05_97_5/page/408 |jstor=2324393 |publicação=[[American Mathematical Monthly]] |volume=97 |páginas=408–411 |doi=10.2307/2324393 |número=5 |data=maio de 1990 |ref=harv}}
* {{citar livro |último1=Pinto |primeiro1=Márcia |último2=Tall |primeiro2=David O. |título=PME25: Following students' development in a traditional university analysis course |páginas=v4: 57–64 |ano=2001 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001j-pme25-pinto-tall.pdf |acessodata=3 de maio de 2009 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090530043127/http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001j-pme25-pinto-tall.pdf |arquivodata=30 de maio de 2009 |ref=harv}}
* {{citar web |último=Propp |primeiro=James |título=Denominators and Doppelgängers |website=Mathematical Enchantments |url=https://mathenchant.wordpress.com/2023/01/17/denominators-and-doppelgangers/ |data=17 de janeiro de 2023 |acessodata=16 de abril de 2024 |ref=harv}}
* {{citar livro |ano=1991 |edição=2e |url=https://archive.org/details/firstcourseinrea0000prot |título=A First Course in Real Analysis |publicado=Springer |isbn=978-0-387-97437-8 |último1=Protter |primeiro1=Murray H. |autorlink1=Murray Harold Protter |último2=Morrey |primeiro2=Charles B. Jr. |autorlink2=Charles Morrey |ref=harv}}<br />Este livro tem como objetivo "apresentar uma base teórica de análise que seja adequada para alunos que tenham concluído um curso padrão de cálculo". (p.&nbsp;vii) No final do Capítulo 2, os autores assumem como axioma para os números reais que as sequências limitadas e não decrescentes convergem, provando posteriormente o teorema dos intervalos aninhados e a propriedade do limite superior mínimo. (pp.&nbsp;56–64) As expansões decimais aparecem no Apêndice 3, "Expansions of real numbers in any base". (pp.&nbsp;503–507)
* {{citar periódico |último1=Renteln |primeiro1=Paul |último2=Dundes |primeiro2=Alan |título=Foolproof: A Sampling of Mathematical Folk Humor |publicação=Notices of the AMS |volume=52 |número=1 |páginas=24–34 |url=https://www.ams.org/notices/200501/fea-dundes.pdf |acessodata=3 de maio de 2009 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090225124532/http://www.ams.org/notices/200501/fea-dundes.pdf |arquivodata=25 de fevereiro de 2009 |data=janeiro de 2005}}
* {{citar periódico |doi=10.2307/2690798 |primeiro=Fred |último=Richman |título=Is 0.999... = 1? |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1999-12_72_5/page/396 |jstor=2690798 |publicação=Mathematics Magazine |volume=72 |número=5 |páginas=396–400 |data=dezembro de 1999 |ref=harv}}. Pré-impressão gratuita em HTML: {{citar web |url=http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm |primeiro=Fred |último=Richman |título=Is 0.999... = 1? |acessodata=23 de agosto de 2006 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20060902040839/http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm |arquivodata=2 de setembro de 2006 |urlmorta=sim |data=junho de 1999 |ref=none}}<br />Observação: o artigo do periódico contém material e redação não encontrados na pré-impressão.
* {{citar livro |último=Rosenlicht |primeiro=Maxwell |autorlink=Maxwell Rosenlicht |ano=1985 |url=https://archive.org/details/introductiontoan0000rose |título=Introduction to Analysis |publicado=Dover |isbn=978-0-486-65038-8 |ref=harv}}<br />Este livro oferece uma introdução "rigorosa e cuidadosa" à análise real. Ele apresenta os axiomas dos números reais e, em seguida, constrói-os (pp.&nbsp;27–31) como decimais infinitos com 0,999...&nbsp;=&nbsp;1 como parte da definição.
* {{citar livro |último=Stewart |primeiro=Ian |autorlink=Ian Stewart (matemático) |url=https://archive.org/details/professorstewart0000stew_i8r6 |título=Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures |ano=2009 |publicado=Profile Books |isbn=978-1-84668-292-6 |ref=harv}}
* {{citar livro |primeiro=John |último=Stillwell |autorlink=John Stillwell |título=Elements of Algebra: Geometry, Numbers, Equations |url=https://books.google.com/books?id=jWgPAQAAMAAJ |ano=1994 |publicado=Springer |isbn=978-3-540-94290-0 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último1=Tall |primeiro1=David |último2=Schwarzenberger |primeiro2=R. L. E. |título=Conflicts in the Learning of Real Numbers and Limits |publicação=Mathematics Teaching |ano=1978 |volume=82 |páginas=44–49 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf |acessodata=3 de maio de 2009 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090530043040/http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1978c-with-rolph.pdf |arquivodata=30 de maio de 2009 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Tall |primeiro=David O. |título=Conflicts and Catastrophes in the Learning of Mathematics |publicação=Mathematical Education for Teaching |ano=1976 |volume=2 |número=4 |páginas=2–18 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf |acessodata=3 de maio de 2009 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090326052901/http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot1976a-confl-catastrophy.pdf |arquivodata=26 de março de 2009 |ref=harv}}
* {{citar periódico |último=Tall |primeiro=David |título=Cognitive Development in Advanced Mathematics Using Technology |publicação=Mathematics Education Research Journal |ano=2000 |volume=12 |número=3 |páginas=210–230 |url=http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf |acessodata=3 de maio de 2009 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090530043111/http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2001b-merj-amt.pdf |arquivodata=30 de maio de 2009 |doi=10.1007/BF03217085 |bibcode=2000MEdRJ..12..196T |s2cid=143438975 |ref=harv}}
* {{citar web |url=http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/ |primeiro=Hans de |último=Vreught |ano=1994 |título=sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1? |acessodata=29 de junho de 2006 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20070929122649/http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0.999eq1/ |arquivodata=29 de setembro de 2007 |urlmorta=não |ref=harv}}
* {{citar livro |último=Wallace |primeiro=David Foster |autorlink=David Foster Wallace |título=Everything and more: a compact history of infinity |ano=2003 |publicado=Norton |isbn=978-0-393-00338-3 |url=https://archive.org/details/everythingmore00davi |ref=harv}}
{{refend}}

== Ligações externas ==
{{Commonscat|0.999…}}
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/999999.shtml 0,999999... = 1?] no [[Cut-the-Knot]]
* [https://web.archive.org/web/20200806173611/http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html Por que 0,9999... = 1 ?]
* [http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.00/joan2.html Prova da igualdade com base na aritmética] no Math Central
* [http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/themes/limits-infinity.html Pesquisa sobre cognição matemática] por David Tall
* [http://at.metamath.org/mpegif/0.999....html Teorema 0,999...] no Metamath

[[Categoria:Um]]
[[Categoria:Análise real]]
[[Categoria:Números reais]]