Mostrar código-fonte de 53 temperamentos iguais

Na [[música]], '''53 temperamentos iguais''', chamados '''53 TET''' (53 '''T'''ons em '''E'''qüi-'''T'''emperamento), '''53 EDO''' (53 '''E'''qüi-'''D'''ivisões da '''O'''itava) ou '''53 ET''', são a [[Temperamento musical|escala temperada]] derivada da divisão da [[oitava]] em 53 etapas iguais (relações de frequência iguais) ({{audio|53-tet scale on C.mid|Play}}) Cada passo representa uma taxa de frequência de 2 1⁄53 ou 22,6415 [[Cent (música)|centes]] ({{Audio|Holdrian comma on C.mid|Play}}), um intervalo às vezes chamado de [[coma Holdrian]].<ref>Holder, William, ''Treatise on the Natural Grounds and Principles of Harmony'', facsimile of the 1694&nbsp;London edition, Broude Brothers, 1967</ref><ref>Stanley, Jerome, ''William Holder and His Position in Seventeenth-Century Philosophy and Music Theory'', The Edwin Mellen Press, 2002</ref>

O intervalo de 7⁄4 é de 4,8 cêntimos em [[sustenido]] no 53-EDO, e usá-lo para [[Harmonia (música)|harmonia]] de 7 limites significa que o [[cleisma septimal]] ({{Audio|Septimal kleisma on C.mid|play}}).<ref>{{cite book |last= Haluska |first= Jan |title= The Mathematical Theory of Tone Systems |year= 2003 |publisher= CRC Press |isbn= 0-8247-4714-3 |page= xxvii}}</ref>, o [[Intervalo (música)|intervalo]] 225⁄224, também é moderado.<ref>Monzo, Joe (2005). [http://www.tonalsoft.com/enc/m/mercator-comma.aspx "Mercator's Comma"], ''Tonalsoft''.</ref><ref>Patrizio. [http://www.patriziobarbieri.it/1.htm Enharmonic instruments and music, 1470–1900]. (2008) Latina, Il Levante Libreria Editrice, p. 350.</ref>

== Por que 53? ==
[[Image:12 quintas justas.gif|400px|thumb|Ciclo de 12 quintas justas, acrescentando-se <math>2\pi\frac{\ln{1,5}}{\ln{2}}</math> [[radiano|rad]] a cada passo. Observe que a afinação justa resulta em uma assimetria nas distâncias entre cada semitom.]]
[[Image:53 quintas justas.gif|400px|thumb|Ciclo de 53 quintas justas, acrescentando-se <math>2\pi\frac{\ln{1,5}}{\ln{2}}</math> [[radiano|rad]] a cada passo. Observe que, depois de 12, a primeira vez em que o ciclo é fechado com assimetrias relativamente baixas, é após 53 quintas.]]

A [[afinação pitagórica]] (ou temperamento pitagórico) é um sistema de [[entonação justa]] no qual intervalos de exatamente <math>\frac{2}{3}</math> (também notados como 2:3) são usados para obterem-se as frequências conseguintes. Na música, intervalos 2:3 são chamados "quintas", por abrangerem 5 posições na pauta musical. Intervalos 1:2 são nomeados "oitavas" (por abrangerem 8 posições na pauta) e levam diretamente à próxima aparição da mesma nota.

Tomando-se uma frequência inicial equivalente a uma certa nota, ao percorrer-se uma sequência (ascendente ou descendente) de quintas, jamais se chega à mesma nota, já que a equação <math>\frac{3}{2}^{x} = 2^{y}</math> não possui solução para ''x'' e ''y'' inteiros. Entretanto, é possível chegar bem próximo da mesma nota. A primeira vez que isso ocorre é ao subirem-se 12 quintas e descerem-se 7 oitavas. Chega-se, então, a uma frequência próxima à de partida. O erro ou diferença, nesse caso, é chamado de [[coma pitagórica|comma pitagórico]] = <math>\frac{1,5^{12}}{2^{7}} = 1,013643265</math>, equivalendo a cerca de 1/4 de um [[semitom]]. Essa é a diferença real entre, por exemplo, C e B#. Por esse motivo, 12 é o número de divisões de oitava mais usado.{{carece de fontes|data=Dezembro de 2020}}. Se continuarmos percorrendo um ciclo de quintas, chegamos novamente a uma frequência ainda mais próxima da inicial após correr 53 quintas e voltar 31 oitavas. Essa é a segunda ocorrência, proporcionando, agora, um erro ainda bem menor, o [[comma de Mercator]]: <math>\frac{1,5^{53}}{2^{31}} = 1,002090314</math>. A terceira ocorrência seria após 306 quintas. Para todas essas ocorrências, temos não somente um erro cada vez menor como também espectro de subdivisões da oitava aproximadamente equidistante. Todavia, o sistema 53 EDO aqui tratado não é de afinação pitagórica, mas de iguais subdivisões da oitava. Assim como o [[12 temperamentos iguais|12 EDO]], ele aproxima o sistema de afinação pitagórica de tal maneira que todos os intervalos sejam equidistantes.

== História ==
Desde a antiguidade, já havia interesse técnico na matemática da divisão de uma oitava. [[Ching Fang]] (78-37 AC), um músico teórico Chinês, já percebera que uma série de 53 quintas é aproximadamente igual a 31 oitavas. Ele calculara com uma precisão de 6 dígitos de acurácia. Mais tarde, no século XVII, [[Nicholas Mercator]] calculou tal valor com precisão como sendo <math>3^{53}/2^{84}</math>. Hoje, tal intervalo é conhecido como [[comma de Mercator]] e equivale a aproximadamente 3,615 cêntimos. O sistema 53 EDO encurta as quintas em 1/53 desse comma ou cerca de 0,0682 cêntimo ou 1/315 [[comma sintônico]]s ou 1/355 [[coma pitagórica|comma pitagóricos]].

== Notação ==
[[Image:Comma Line.gif|400px|thumb|Notação usada na música clássica otomana, na qual cada tom é dividido em 9 commas]]
Com o intuito de se usar a notação tradicional, sete notas nomeadas seguidas de sustenido {{música|sustenido}} ou bemol {{música|bemol}} podem acabar tornando tudo confuso. Este não é o caso de [[19 temperamentos iguais|19 EDO]] ou [[31 temperamentos iguais|31 EDO]] nos quais há pouca ambigüidade. Por não ser [[temperamento mesotônico|mesotônico]], acabam aparecendo problemas que requerem certa atenção. Especificamente, a terça maior é diferente de um [[ditom]], cada um do qual é duas quintas menos uma oitava. Da mesma forma, a terça menor é diferente de um semiditom. O facto de que o [[comma sintônico]] não é temperado significa que notas e intervalos precisam ser definidos mais precisamente. A [[música clássica otomana]] usa uma notação de bemóis e sustenidos para um tom dividido em 9 commas.

Neste artigo, a notação diatônica será usada criando a seguinte escala cromática, na qual sustenidos e bemóis não são [[enarmonia|enarmônicos]], somente E{{música|duplo sustenido}} e B{{música|duplo sustenido}} são enarmonicamente equivalente a F{{música|bemol duplo}} e C{{música|bemol duplo}}, respectivamente. Para outras notas, bemóis e sustenidos triplos e quádruplos não são enarmônicos.

C, C{{música|sustenido}}, C{{música|duplo sustenido}}, C{{música|sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, C{{música|duplo sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, D{{música|bemol duplo}}{{música|bemol duplo}}, D{{música|bemol}}{{música|bemol duplo}}, D{{música|bemol duplo}}, D{{música|bemol}},

D, D{{música|sustenido}}, D{{música|duplo sustenido}}, D{{música|sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, D{{música|duplo sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, E{{música|bemol duplo}}{{música|bemol duplo}}, E{{música|bemol}}{{música|bemol duplo}}, E{{música|bemol duplo}}, E{{música|bemol}},

E, E{{música|sustenido}}, E{{música|duplo sustenido}}/F{{música|bemol duplo}}, F{{música|bemol}},

F, F{{música|sustenido}}, F{{música|duplo sustenido}}, F{{música|sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, F{{música|duplo sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, G{{música|bemol duplo}}{{música|bemol duplo}}, G{{música|bemol}}{{música|bemol duplo}}, G{{música|bemol duplo}}, G{{música|bemol}},

G, G{{música|sustenido}}, G{{música|duplo sustenido}}, G{{música|sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, G{{música|duplo sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, A{{música|bemol duplo}}{{música|bemol duplo}}, A{{música|bemol}}{{música|bemol duplo}}, A{{música|bemol duplo}}, A{{música|bemol}},

A, A{{música|sustenido}}, A{{música|duplo sustenido}}, A{{música|sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, A{{música|duplo sustenido}}{{música|duplo sustenido}}, B{{música|bemol duplo}}{{música|bemol duplo}}, B{{música|bemol}}{{música|bemol duplo}}, B{{música|bemol duplo}}, B{{música|bemol}},

B, B{{música|sustenido}}, B{{música|duplo sustenido}}/C{{música|bemol duplo}}, C{{música|bemol}}, C

== Tamanho de intervalos ==
Pelo facto de a distância de 31&nbsp;passos nesta escala ser quase precisamente igual à [[quinta perfeita|quinta justa]], em teoria esta escala pode ser considerada uma forma levemente temperada da [[afinação pitagórica]] que foi estendida a 53&nbsp;tons. Como tal, os intervalos disponíveis podem ter as mesmas propriedades de qualquer afinação pitagórica, como quintas que são praticamente puras, terças maiores somente um pouco alargadas: {{frac|81|64}} em comparação à pura terça maior {{frac|5|4}}, e terças menores que são só um pouco mais curtas ({{frac|32|27}} comparado a {{frac|6|5}}).

Não obstante, o sistema 53-EDO contém intervalos adicionais que estão muito próximos à entonação justa. Por exemplo, o intervalo de 17&nbsp;passos é igualmente uma terça maior, mas apenas 1,4&nbsp;cêntimos mais estreito que o intervalo justo {{frac|5|4}}. 53-EDO é muito bom como uma aproximação a qualquer intervalo em entonação justa de 5&nbsp;limites.

Os casamentos de intervalos justos envolvendo o 7º&nbsp;harmônico são levemente menos próximos, mas todos esses tais intervalos ainda são casados, tendo {{frac|7|5}}&nbsp;tritom como mais alto desvio. O 11º harmônico e os intervalos envolvendo-o são casados com menor proximidade, como ilustrado na tabela abaixo com as segundas e terças neutras em décima-primeira.

{| class="wikitable"
|align=center bgcolor="#ffffb4"|'''Nome do intervalo'''
|align=center bgcolor="#ffffb4"|'''Size ([[Coma Holdriano|passos]])'''
|align=center bgcolor="#ffffb4"|'''Size ([[Cent (música)|cêntimos]])'''
|align=center bgcolor="#ffffb4"|'''Razão justa'''
|align=center bgcolor="#ffffb4"|'''Razão justa em cents'''
|align=center bgcolor="#ffffb4"|'''Erro'''
|-
|align=center|[[oitava]]
|align=center|53
|align=center|1200
|align=center|2:1
|align=center|1200
|align=center|0
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[sétima harmônica]]
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|43
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|973.59
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|7:4
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|968.83
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|+4.76
|-
|align=center|[[sexta maior]]
|align=center|39
|align=center|882.96
|align=center|5:3
|align=center|884
|align=center|&minus;1.04
|-
|align=center|[[quinta perfeita]]
|align=center|31
|align=center|701.89
|align=center|3:2
|align=center|701.96
|align=center|&minus;0.07
|-
|align=center|[[tritom]] diatônico
|align=center|26
|align=center|588.68
|align=center|45:32
|align=center|590.22
|align=center|&minus;1.54
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[tritom septimal]]
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|26
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|588.68
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|7:5
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|582.51
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|+6.17
|-
|align=center|classic [[tritom]]
|align=center|25
|align=center|566.04
|align=center|25:18
|align=center|568.72
|align=center|&minus;2.68
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[tritom]] décimo-primeiro
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|24
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|543.40
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|11:8
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|551.32
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|&minus;7.92
|-
|align=center|quinta duplamente diminuta
|align=center|24
|align=center|543.40
|align=center|512:375
|align=center|539.10
|align=center|+4.30
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|quarta aumentada em décima-primeira
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|24
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|543.40
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|15:11
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|536.95
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|+6.45
|-
|align=center|quarta aguda
|align=center|23
|align=center|520.76
|align=center|27:20
|align=center|519.55
|align=center|+1.21
|-
|align=center|[[quarta perfeita]]
|align=center|22
|align=center|498.11
|align=center|4:3
|align=center|498.04
|align=center|+0.07
|-
|align=center|quarta grave
|align=center|21
|align=center|475.47
|align=center|320:243
|align=center|476.54
|align=center|&minus;1.07
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|quarta estreita em sétima
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|21
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|475.47
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|21:16
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|470.78
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|+4.69
|-
|align=center|terça aumentada clássica
|align=center|20
|align=center|452.83
|align=center|125:96
|align=center|456.99
|align=center|&minus;4.16
|-
|align=center|terça aumentada tridécima
|align=center|20
|align=center|452.83
|align=center|13:10
|align=center|454.21
|align=center|&minus;1.38
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[terça maior em sétima]]
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|19
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|430.19
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|9:7
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|435.08
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|&minus;4.90
|-
|align=center|quarta diminuta clássica
|align=center|19
|align=center|430.19
|align=center|32:25
|align=center|427.37
|align=center|+2.82
|-
|align=center|[[ditom|ditom pitagórico]]
|align=center|18
|align=center|407.54
|align=center|81:64
|align=center|407.82
|align=center|&minus;0.28
|-
|align=center|[[terça maior]] [[Entonação justa|justa]]
|align=center|17
|align=center|384.91
|align=center|5:4
|align=center|386.31
|align=center|&minus;1.40
|-
|align=center|terça maior grave
|align=center|16
|align=center|362.26
|align=center|100:81
|align=center|364.80
|align=center|&minus;2.54
|-
|align=center|[[terça nêutra]], tridécima
|align=center|16
|align=center|362.26
|align=center|16:13
|align=center|359.47
|align=center|+2.79
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[terça nêutra]], décima-primeira
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|15
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|339.62
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|11:9
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|347.41
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|&minus;7.79
|-
|align=center|terça menor aguda
|align=center|15
|align=center|339.62
|align=center|243:200
|align=center|337.15
|align=center|+2.47
|-
|align=center|[[terça menor]] [[entonação justa|justa]]
|align=center|14
|align=center|316.98
|align=center|6:5
|align=center|315.64
|align=center|+1.34
|-
|align=center|[[semiditom]]
|align=center|13
|align=center|294.34
|align=center|32:27
|align=center|294.13
|align=center|+0.21
|-
|align=center|Segunda aumentada clássica
|align=center|12
|align=center|271.70
|align=center|75:64
|align=center|274.58
|align=center|&minus;2.88
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[terça menor em sétima]]
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|12
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|271.70
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|7:6
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|266.87
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|+4.83
|-
|align=center|terça diminuta clássica
|align=center|11
|align=center|249.06
|align=center|144:125
|align=center|244.97
|align=center|+4.09
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[tom inteiro em sétima]]
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|10
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|226.41
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|8:7
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|231.17
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|&minus;4.76
|-
|align=center|terça diminuta
|align=center|10
|align=center|226.41
|align=center|256:225
|align=center|223.46
|align=center|+2.95
|-
|align=center|[[tom|tom inteiro]], [[Tom Maior|tom maior]]
|align=center|9
|align=center|203.77
|align=center|9:8
|align=center|203.91
|align=center|&minus;0.14
|-
|align=center|tom inteiro, [[tom|tom menor]]
|align=center|8
|align=center|181.13
|align=center|10:9
|align=center|182.40
|align=center|&minus;1.27
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[segunda nêutra]], décima-primeira alargada
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|7
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|158.49
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|11:10
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|165.00
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|&minus;6.51
|-
|align=center|[[segunda nêutra]], tom inteiro grave
|align=center|7
|align=center|158.49
|align=center|800:729
|align=center|160.90
|align=center|&minus;2.41
|-
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|[[segunda nêutra]], décima primeira estreitada
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|7
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|158.49
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|12:11
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|150.64
|align=center bgcolor="#D4D4D4"|+7.85
|-
|align=center|segunda nêutra, [[tom|limma larga]]
|align=center|6
|align=center|135.85
|align=center|27:25
|align=center|133.24
|align=center|+2.61
|-
|align=center|[[Semitom|Semitom pitagórico maior]]
|align=center|5
|align=center|113.21
|align=center|2187:2048
|align=center|113.69
|align=center|&minus;0.48
|-
|align=center|[[Semitom|semitom diatônico]] justo
|align=center|5
|align=center|113.21
|align=center|16:15
|align=center|111.73
|align=center|+1.48
|-
|align=center|[[limma maior]]
|align=center|4
|align=center|90.57
|align=center|135:128
|align=center|92.18
|align=center|&minus;1.61
|-
|align=center|[[Semitom|semitom pitagórico menor]]
|align=center|4
|align=center|90.57
|align=center|256:243
|align=center|90.22
|align=center|+0.34
|-
|align=center|just [[semitom cromático]]
|align=center|3
|align=center|67.92
|align=center|25:24
|align=center|70.67
|align=center|&minus;2.75
|-
|align=center|[[diese]] justa
|align=center|2
|align=center|45.28
|align=center|128:125
|align=center|41.06
|align=center|+4.22
|-
|align=center|[[comma sintônico]]
|align=center|1
|align=center|22.64
|align=center|81:80
|align=center|21.51
|align=center|+1.14
|}

{{referências}}

{{Portal3|Música}}
{{Intervalos}}

[[Categoria:Temperamentos iguais]]