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'''65537''' é o [[número natural]] que segue [[65536|65 536]] e precede 65 538 . É um [[número primo]] e um [[número de Fermat]]. É também o maior número conhecido que possui essas duas propriedades.

== Matemática ==
[[Ficheiro:Regular_65537-gon_First_Carlyle_Circle.gif|miniaturadaimagem| Construção de um [[polígono regular]] com 65.537 lados.]]
65.537 é o maior número primo do tipo <math>2^{2^{n}}\!+1</math> ({{Mvar|n}} = 4). Desse modo, um polígono regular com 65.537 lados pode ser [[Desenho geométrico|desenhado]]. Seu primeiro desenho explícito foi realizado em [[1894]] por [[Johann Gustav Hermes]].<ref>{{Citar periódico |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002496585 |título=Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile |periódico=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse |autor=Johann Gustav Hermes |ano=1894 |local=[[Göttingen]] |pagina=170–186 |lingua=de |volume=3}}.</ref> Em [[teoria dos números]], os números primos desse tipo são chamados números primos de Fermat, em referência ao matemática [[Pierre de Fermat]]. Os únicos números primos de Fermat conhecidos são:<ref>{{Citar livro|url=https://archive.org/details/bookofnumbers0000conw|título=The Book of Numbers|ultimo=Conway|primeiro=J. H.|ultimo2=Guy|primeiro2=R. K.|editora=Springer-Verlag|ano=1996|língua=en|isbn=0-387-97993-X}}</ref>

* <math>2^{2^{0}}\!+1 = 2^{1}\!+1 = 3</math> ;
* <math>2^{2^{1}}\!+1 = 2^{2}\!+1 = 5</math> ;
* <math>2^{2^{2}}\!+1 = 2^{4}\!+1 = 17</math> ;
* <math>2^{2^{3}}\!+1 = 2^{8}\!+1 = 257</math> ;
* <math>2^{2^{4}}\!+1 = 2^{16}\!+1 = 65537</math>

[[Leonhard Euler]] descobriu em 1732 que o seguinte número de Fermat é um [[número composto]] :

: <math>2^{2^{5}}\!+1 = 2^{32}\!+1 = 4294967297 = 641 \times 6700417</math> ,

e, em 1880, Fortuné Landry também identificou a mesma característica para:

: <math>2^{2^{6}}\!+1 = 2^{64}\!+1 = 274177 \times 67280421310721</math> .

65.537 é o décimo-sétimo [[Número de Jacobsthal|número de Jacobsthal-Lucas]], além de ser o maior número inteiro {{Mvar|n}} conhecido de tal modo que <math>10^{n}\!+27</math> seja um [[possível primo]].<ref>{{Citar web|url=http://mada.la.coocan.jp/nrr/prime/primedifficulty.txt|titulo=Sequences by difficulty of search|acessodata=2014-06-14|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20140714191755/http://mada.la.coocan.jp/nrr/prime/primedifficulty.txt|arquivodata=2014-07-14}}</ref>

== Aplicações ==
65.537 é comumente usado como um marco na criptografia [[RSA (sistema criptográfico)|RSA]]. Na medida em que se trata de um número de Fermat tal que <math>F_n = 2^{2^{n}} + 1</math>com <math>n = 4</math>, seu atalho habitual é <math>F_4</math> ou <math>F4</math>.<ref>{{Citar web|url=https://www.openssl.org/docs/man1.0.2/apps/genrsa.html|titulo=genrsa(1)|acessodata=2017-05-24|publicado=OpenSSL Project|lingua=en|arquivourl=https://web.archive.org/web/20170313225729/https://www.openssl.org/docs/man1.0.2/apps/genrsa.html|arquivodata=2017-03-13|citacao=<nowiki>-F4|-3 [..] the public exponent to use, either 65537 or 3. The default is 65537.</nowiki>}}</ref> Esse valor foi usado na criptografia RSA principalmente por razões históricas; as primeiras implementações de RSA brutas (sem preenchimento adequado) eram vulneráveis com números muito pequenos, enquanto o uso de números grandes era computacionalmente caro sem benefícios de segurança.<ref>{{Citar web|url=https://crypto.stackexchange.com/questions/109/rsa-with-small-exponents|titulo=RSA with small exponents?|lingua=en}}</ref>

65.537 também é usado como um módulo em alguns geradores de números aleatórios Lehmer, como o usado pelo [[ZX Spectrum]].<ref>{{Citar web|url=https://worldofspectrum.org/ZXBasicManual/|titulo=World of Spectrum - Documentation - ZX Spectrum manual|acessodata=2023-02-21|website=worldofspectrum.org}}</ref>
{{Referências}}{{Reflist}}
[[Categoria:Números inteiros]]