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Em [[estatística]] e [[econometria]], particularmente em análise de [[Séries Temporais|séries temporais]], um '''modelo auto-regressivo integrado de médias móveis''' (''autoregressive integrated moving average'' ou '''ARIMA''', na sigla em inglês) é uma generalização de um [[ARMA|modelo auto-regressivo de médias móveis]] (ARMA). Ambos os modelos são ajustados aos dados da série temporal para entender melhor os dados ou para [[Previsão (estatística)|prever]] pontos futuros na série. Modelos ARIMA são aplicados em alguns casos em que os dados mostram evidências de não estacionariedade, em que um passo inicial de diferenciação (correspondente à parte "integrada" do modelo) pode ser aplicado uma ou mais vezes para eliminar a não estacionariedade.<ref>{{Citar web|url=https://www.otexts.org/fpp/8/1|titulo=8.1 Stationarity and differencing {{!}} OTexts|acessodata=2017-08-03|obra=www.otexts.org|lingua=en}}</ref>

A parte auto-regressiva (AR) do modelo ARIMA indica que a variável evoluinte de interesse é [[Regressão linear|regressada]] em seus próprios valores defasados, isto é, anteriores. A parte de [[média móvel]] (MA) indica que o erro de regressão é na verdade uma [[combinação linear]] dos termos de erro, cujos valores ocorreram contemporaneamente e em vários momentos no passado. A parte integrada (I) indica que os valores de dados foram substituídos com a diferença entre seus valores e os valores anteriores e este processo diferenciador pode ter sido realizado mais de uma vez. O propósito da cada uma destas características é fazer o modelo se ajustar aos dados da melhor forma possível.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=j09oTRcQ-xkC&q=GREENE+Econometric+Analysis&dq=GREENE+Econometric+Analysis&hl=pt-BR&sa=X&ved=0ahUKEwiixb3C2bvVAhWFkZAKHRMpBwsQ6AEIJzAA|título=Econometric Analysis|ultimo=Greene|primeiro=William H.|data=1997|editora=Prentice Hall|lingua=en|isbn=9780023466021}}</ref>

Modelos ARIMA não sazonais são geralmente denotados como ARIMA(<math>p,d,q</math>), em que os [[Parâmetro (estatística)|parâmetros]] <math>p</math>, <math>d</math> e <math>q</math> são números inteiros não negativos, <math>p</math> é a ordem (número de defasagens) do modelo auto-regressivo, <math>d</math> é o grau de diferenciação (o número de vezes em que os dados tiveram valores passados subtraídos) e <math>q</math> é a ordem do modelo de média móvel. Modelos ARIMA sazonais são geralmente denotados como ARIMA(<math>p,d,q</math>)(<math>P,D,Q</math>)<math>_m</math>, em que <math>m</math> se refere ao número de períodos em cada temporada e <math>P</math>, <math>D</math> e <math>Q</math> se referem aos termos de auto-regressão, diferenciação e média móvel para a parte sazonal do modelo ARIMA.<ref>{{Citar web|url=https://support.sas.com/documentation/cdl/en/etsug/63939/HTML/default/viewer.htm#etsug_tffordet_sect016.htm|titulo=SAS/ETS(R) 9.3 User's Guide|acessodata=2017-08-03|obra=support.sas.com|lingua=en}}</ref><ref>{{Citar web|url=https://www.otexts.org/fpp/8/9|titulo=8.9 Seasonal ARIMA models {{!}} OTexts|acessodata=2017-08-03|obra=www.otexts.org|lingua=en}}</ref>

Quando dois dos três termos são iguais a zero, o modelo pode ser referido com base no parâmetro diferente de zero, retirando "AR", "I" ou "MA" do acrônimo que descreve o modelo. Por exemplo, ARIMA(<math>1,0,0</math>) é AR(<math>1</math>), ARIMA(<math>0,1,0</math>) é I(<math>1</math>) e ARIMA(<math>0,0,1</math>) é MA(<math>1</math>).

Modelos ARIMA podem ser estimados seguindo a abordagem de Box–Jenkins.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=eOEdCwAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=Asteriou,+Dimitros;+Hall,+Stephen+G.+(2011)&hl=pt-BR&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Asteriou,%20Dimitros;%20Hall,%20Stephen%20G.%20(2011)&f=false|título=Applied Econometrics|ultimo=Asteriou|primeiro=Dimitrios|ultimo2=Hall|primeiro2=Stephen G.|data=2015-10-12|editora=Palgrave Macmillan|lingua=en|isbn=9781137415479}}</ref>

==Definição==
Dada uma série temporal de dados <math>X_t</math>, em que <math>t</math> é um índice representado por um número inteiro e <math>X_t</math> são números reais, um modelo ARMA(<math>p,q</math>) é dado por:<ref name=":0">{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=qJXOOEF2i1wC&pg=PA51&dq=ARIMA&hl=pt-BR&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=ARIMA&f=false|título=The ARIMA and VARIMA Time Series: Their Modelings, Analyses and Applications|ultimo=Vu|primeiro=Ky M.|editora=AuLac Technologies Inc.|ano=2007|local=|páginas=|lingua=en|isbn=9780978399610|acessodata=}}</ref><blockquote><math>X_t-\alpha_1X_{t-1}-...-\alpha_{p'}X_{t-p'}= \varepsilon_t+\theta_1\varepsilon_{t-1}+ ...+\theta_q\varepsilon_{t-q},</math></blockquote>ou equivalentemente por<blockquote><math>
\left(1-\sum_{i=1}^{p'}\alpha_iL^i\right)X_t
=\left(1+\sum_{i=1}^q\theta_iL^i\right) \varepsilon_t,
</math></blockquote>em que <math>L</math> é [[operador de defasagem]], <math>\alpha_i</math> são os parâmetros da parte auto-regressiva do modelo, <math>\theta_i</math> são os parâmetros da parte de média móvel e <math>\varepsilon_t</math> são os termos de erro. Os termos de erro <math>\varepsilon_t</math> são geralmente assumidos como variáveis independentes e identicamente distribuídas amostradas a partir de uma [[distribuição normal]] com média zero.

Assuma agora que o polinômio <math>\textstyle\left(1-\sum_{i=1}^{p'}\alpha_iL^i\right)</math> tem uma [[raiz unitária]] (um fator <math>(1-L)</math>) de multiplicidade <math>d</math>. Então, isto pode ser rescrito como:<blockquote><math>
\left(1-\sum_{i=1}^{p'}\alpha_iL^i\right)
=\left(1-\sum_{i=1}^{p'-d}\phi_iL^i\right)\left(1-L\right)^d.
</math></blockquote>Um processo ARIMA(<math>p,d,q</math>) expressa a propriedade de fatoração deste polinômio com <math>p=p'-d</math>, sendo dado por:<blockquote><math>
\left(1-\sum_{i=1}^p\phi_iL^i\right)(1-L)^dX_t
=\left(1+\sum_{i=1}^q\theta_iL^i\right)\varepsilon_t,
</math></blockquote>e assim pode ser pensado como um caso particular de um processo ARMA(<math>p+d,q</math>) que tem o polinômio auto-regressivo com <math>d</math> raízes unitárias. Por esta razão, nenhum modelo ARIMA com <math>d>0</math> é estacionário em sentido amplo.

O que foi descrito acima pode ser generalizado como:<blockquote><math>
\left(1-\sum_{i=1}^p\phi_iL^i\right)(1-L)^dX_t =\delta+\left(1+\sum_{i=1}^q\theta_iL^i\right)\varepsilon_t.
</math></blockquote>Isto define um processo ARIMA(<math>p,d,q</math>) com deriva <math>\delta/(1-\Sigma\phi_1)</math>.

==Outras formas especiais==
A identificação explícita da fatoração do polinômio de auto-regressão em fatores como descrita acima pode ser estendida a outros casos, primeiramente para aplicar ao polinômio de média móvel e, em segundo lugar, para incluir outros fatores especiais. Por exemplo, ter um fator <math>(1-L^s)</math> em um modelo é uma forma de incluir uma sazonalidade não estacionária do período <math>s</math> no modelo. Este fator tem o efeito de reexpressar os dados como mudanças a partir de <math>s</math> períodos atrás. Outro exemplo é o fator <math>\left(1-\sqrt{3}L+L^2\right)</math>, que inclui uma sazonalidade não estacionária de período igual a 2. O efeito do primeiro tipo de fator é permitir ao valor de cada temporada derivar separadamente ao longo tempo, enquanto os valores do segundo tipo para temporadas adjacentes se movem juntos.<ref name=":0" />

A identificação e a especificação de fatores apropriados em um modelo ARIMA podem ser passos importantes na modelagem, já que permitem uma redução no número geral de parâmetros a serem estimados, enquanto autorizam a imposição de tipos de comportamento sugeridos pela lógica e pela experiência sobre o modelo.<ref name=":0" />

== Diferenciação ==
A diferenciação em estatística é uma transformação aplicada aos dados de uma série temporal a fim de tornar esta série estacionária. As propriedades de uma série temporal estacionária não dependem do tempo em que a série é observada.

A fim de diferenciar os dados, a diferença entre observações consecutivas é computada. Matematicamente, isto é mostrado como:<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=kl2fjwEACAAJ&dq=ARIMA&hl=pt-BR&sa=X&redir_esc=y|título=TIME SERIES PROPERTIES OF ECONOMETRIC MODELS AND THEIR IMPLIED ARIMA REPRESENTATION.|data=1982|editora=University of MICHIGAN|lingua=en}}</ref><blockquote><math>
y_t'=y_t-y_{t-1}.
</math></blockquote>A diferenciação remove as mudanças no nível de uma série temporal, eliminando tendência e sazonalidade e consequentemente estabilizando a média da série temporal.

Pode ser necessário às vezes diferenciar os dados uma segunda vez para obter uma série temporal estacionária, processo referido como diferenciação de segunda ordem:<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=cNe3xrFg3PcC&printsec=frontcover&dq=Mills+Time+Series+Techniques+for+Economists&hl=pt-BR&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=Mills%20Time%20Series%20Techniques%20for%20Economists&f=false|título=Time Series Techniques for Economists|ultimo=Mills|primeiro=Terence C.|data=1991-06-13|editora=Cambridge University Press|lingua=en|isbn=9780521405744}}</ref><blockquote><math>
\begin{align}
y_t^*&=y_t'-y_{t-1}'\\
&=(y_t-y_{t-1})-(y_{t-1}-y_{t-2})\\
&=y_t-2y_{t-1}+y_{t-2}.
\end{align}
</math></blockquote>Outro método de diferenciar os dados é a diferenciação sazonal, que envolve computar a diferença entre uma observação e a observação correspondente no ano anterior. Isto é mostrado como:<blockquote><math>
y_t'= y_t - y_{t-m} \quad \text{em que } m=\text{quantidade de temporadas}.
</math></blockquote>Os dados diferenciados são então usados para a estimação de um modelo ARMA.

==Exemplos==
Alguns casos especiais bem conhecidos surgem naturalmente ou são matematicamente equivalentes a outros modelos de previsão populares. Por exemplo:
* Um modelo ARIMA(<math>
0,1,0
</math>) (ou modelo I(<math>
1
</math>)) é dado por <math>X_t=X_{t-1}+\varepsilon_t</math> — que é simplesmente um [[passeio aleatório]]; 
* Um modelo ARIMA(<math>
0,1,0
</math>) com uma constante é dado por <math>X_t=c+X_{t-1}+\varepsilon_t</math> — que é um passeio aleatório com deriva;
* Um modelo ARIMA(<math>
0,0,0
</math>) é um modelo de [[ruído branco]];
* Um modelo ARIMA(<math>
0,1,2
</math>) é um modelo de Holt amortecido;
* Um modelo ARIMA(<math>
0,1,1
</math>) sem uma constante é um modelo básico de suavização exponencial;<ref name=":1">{{Citar web|url=http://people.duke.edu/~rnau/411arim.htm#arima010|titulo=Introduction to ARIMA models|acessodata=2017-08-03|obra=people.duke.edu|ultimo=Business|primeiro=Fuqua School of}}</ref>
* Um modelo ARIMA(<math>
0,2,2
</math>) é dado por <math>X_t=2X_{t-1}-X_{t-2}+(\alpha+\beta-2) \varepsilon_{t-1}+(1-\alpha)\varepsilon_{t-2}+\varepsilon_{t}</math> — que é equivalente ao método linear de Holt com erros aditivos ou suavização exponencial dupla.<ref>{{Citation|title=TimeModels.jl: Modeling time series in Julia|date=2017-05-02|url=https://github.com/JuliaStats/TimeModels.jl|publisher=Julia Statistics|accessdate=2017-08-03}}</ref>

== Escolha da ordem==
Para determinar a ordem de um modelo ARIMA não sazonal, um critério útil é o [[critério de informação de Akaike]] (AIC).<ref name=":1" /> É escrito como:<blockquote><math> \text{AIC}=-2\log(L)+2(p+q+k+1), </math></blockquote>em que <math>L</math> é verossimilhança dos dados, <math>p</math> é a ordem da parte auto-regressiva e <math>q</math> é a ordem da parte de média móvel. O parâmetro <math>k</math> neste critério é definido como o número de parâmetros no modelo sendo ajustado aos dados. Para o AIC, se <math>k=1</math>, então <math>c\neq0</math>, e se <math>k=0</math>, então <math>c=0</math>.

O AIC corrigido para modelos ARIMA pode ser escrito como:<blockquote><math>AICc=AIC+(2(p+q+k+1)(p+q+k+2))/(T-p-q-k-2).</math></blockquote>O critério de informação bayesiano (BIC) pode ser escrito como:<blockquote><math>BIC=AIC+(\log(T)-2)(p+q+k+1).</math></blockquote>O objetivo é o minimizar os valores de AIC, AICc e BIC para um bom modelo. Quanto menor o valor de um destes critérios para uma gama de modelos investigados, melhor o modelo se adequará aos dados. Deve-se notar entretanto que o AIC e o BIC são usados para dois propósitos completamente diferentes. Enquanto o AIC tenta aproximar modelos da realidade da situação, o BIC tenta encontrar o ajuste perfeito. A abordagem do BIC é frequentemente criticada, já que nunca há um ajuste perfeito aos dados complexos da vida real. No entanto, ainda é um método útil para seleção, já que penaliza mais intensamente modelos por terem mais parâmetros do que o AIC faria. 

O AICc pode ser usado apenas para comparar modelos ARIMA com as mesmas ordens de diferenciação. Para modelos ARIMA como ordens distintas de diferenciação, a raiz do erro quadrático médio pode ser usada para comparação de modelos.

==Previsões com modelos ARIMA==
O modelo ARIMA pode ser visto como uma "cascata" de dois modelos. O primeiro é não estacionário:<blockquote><math>
Y_t=(1-L)^dX_t,
</math></blockquote>enquanto o segundo é estacionário em sentido amplo:<blockquote><math>
\left(1-\sum_{i=1}^p\phi_iL^i\right)Y_t =\left(1+\sum_{i=1}^q\theta_iL^i\right) \varepsilon_t.
</math></blockquote>Agora, previsões podem ser feitas para o processo <math>Y_t</math>, usando uma generalização do método de previsão auto-regressiva.<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?id=kq4eAQAAMAAJ&q=ARIMA&dq=ARIMA&hl=pt-BR&sa=X&redir_esc=y|título=Forecasting with limited information: ARIMA models of the trailer on flatcar transportation market|data=1974|lingua=en}}</ref>

===Intervalos de previsão===
Os intervalos de previsão ([[Intervalo de confiança|intervalos de confiança]] para previsões) para modelos ARIMA são baseados no pressuposto de que os resíduos são não correlacionados e normalmente distribuídos. Se um destes dois pressupostos não se aplicar, então, os intervalos de previsão podem estar incorretos. Por esta razão, pesquisadores mapeiam a função autocorrelação e o [[histograma]] dos resíduos para checar os pressupostos antes de produzirem os intervalos de previsão.

No caso de intervalo de previsão de 95%, tem-se:<blockquote><math>\hat{y}_{T+h|T}\pm1.96\sqrt{v_{T+h|T}}</math>,</blockquote>em que <math>v_{T+h|T}</math> é a variância de <math>y_{T+h}|y_{1},...,y_{T}</math>.

Para <math>h=1</math>, <math>v_{T+h|T}=\hat{\sigma}^2</math> para todos os modelos ARIMA, independentemente dos parâmetros e das ordens.

No caso de um modelo ARIMA(<math>0,0,q</math>), <math>y_t=e_t+\sum_{i=1}^q\theta_ie_{t-i}</math>, temos:<blockquote><math>v_{T+h\mid T}=\hat{\sigma}^2 \left[1+\sum_{i=1}^{h-1}\theta_ie_{t-i}\right],\text{para }h=2,3,\dots. </math></blockquote>Em geral, intervalos de previsão de modelos ARIMA aumentarão conforme o horizonte de previsão aumenta.

==Variações e extensões==
Uma quantidade de variações sobre o modelo ARIMA é comumente empregada. Se séries temporais múltiplas forem usadas, então, <math>X_t</math> podem ser pensados como vetores e um modelo auto-regressivo integrado de médias móveis vetorial (VARIMA).<ref>{{Citar livro|url=https://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&lr=&id=Ggpj3QeDoKQC&oi=fnd&pg=PT109&dq=%22VARIMA+models%22&ots=cJF1nCjgPe&sig=_-ocEwYX-9-N_FINgLHU7H7AFXI#v=onepage&q=%22VARIMA%20models%22&f=false|título=Compositional Data Analysis: Theory and Applications|ultimo=Pawlowsky-Glahn|primeiro=Vera|ultimo2=Buccianti|primeiro2=Antonella|data=2011-09-19|editora=John Wiley & Sons|lingua=en|isbn=9780470711354}}</ref> Algumas vezes, suspeita-se de um efeito sazonal no modelo. Neste caso, geralmente é melhor usar um modelo auto-regressivo integrado de médias móveis sazonal (SARIMA) do que aumentar a ordem das partes AR ou MA do modelo.<ref>{{Citar periódico|ultimo=Valipour|primeiro=Mohammad|data=2015-07-01|titulo=Long-term runoff study using SARIMA and ARIMA models in the United States|jornal=Meteorological Applications|volume=22|numero=3|paginas=592–598|issn=1469-8080|doi=10.1002/met.1491|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/met.1491/abstract|idioma=en}}</ref> Se se suspeitar que a série temporal exibe dependência de longo intervalo, então, pode-se permitir ao parâmetro <math>d</math> ter valores não inteiros em um modelo auto-regressivo fracionariamente integrado de médias móveis, que também é chamado de modelo ARIMA fracionário (FARIMA ou ARFIMA).<ref>{{Citar periódico|ultimo=Shu|primeiro=Yantai|ultimo2=Jin|primeiro2=Zhigang|ultimo3=Wang|primeiro3=Jidong|ultimo4=Yang|primeiro4=O. W. W.|data=2000|titulo=Prediction-based admission control using FARIMA models|jornal=2000 IEEE International Conference on Communications. ICC 2000. Global Convergence Through Communications. Conference Record|volume=3|paginas=1325–1329 vol.3|doi=10.1109/icc.2000.853713|url=http://ieeexplore.ieee.org/document/853713/}}</ref>

==Ver também==
*[[ARMA]]
*[[Autocorrelação]]
*[[Econometria]]
*[[Modelos ARCH]]
*[[Ruído branco]]
*[[Série temporal]]

==Referências==
{{Reflist}}

{{Econometria|state=autocollapse}}
{{Estatística}}
{{Processos estocásticos}}
{{Portal3|Economia|Matemática}}
{{Portal3|Probabilidade e Estatística}}

[[Categoria:Econometria]]
[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Processos estocásticos]]