Mostrar código-fonte de Achatamento

{{minidesambig|o achatamento polar da Terra|Achatamento da Terra}}
[[Ficheiro:An ellipse with auxiliary circle.svg|miniaturadaimagem|Círculo de raio ''a'' comprimido a uma elipse]]
'''Achatamento''', em [[cartografia]], é uma medida da compressão de um [[círculo]] ou uma [[esfera]] ao longo de um diâmetro para formar uma [[elipse]] ou um [[elipsoide]] de revolução ([[esferoide]]) respectivamente. Outro termo utilizado é elipticidade. A notação usual para o achatamento é f e sua definição em termos dos semi-eixos da elipse ou elipsóide resultantes é
::<math> \mathrm{achatamento} = f =\frac {a - b}{a}.</math><ref>{{citar web|url=http://mercator.myzen.co.uk/mercator.pdf|página=10|autor=Osborne, Peter|título=The Normal and Transverse Mercator Projections on the Sphere and the Ellipsoid with Full Derivations of all Formulae|ano=2013|local=Edinburgh|acessodata=13 de maio de 2013|arquivourl=https://web.archive.org/web/20120118224152/http://mercator.myzen.co.uk/mercator.pdf|arquivodata=2012-01-18|urlmorta=sim}}</ref>

O fator de compressão é ''b/a'' em cada caso. Para a elipse, este factor é também a razão de aspecto da elipse.

Também pode ser definido como a razão entre a diferença entre os dois [[raio (geometria)|raios]], '''equatorial''' (a) e '''polar''' (b), e o raio equatorial, em uma [[elipse]], que pode ser expresso como uma função da [[excentricidade angular]], <math>o\!\varepsilon\,\!</math>:
:<math>{}_{\color{white}x}f=\mbox{ver}(o\!\varepsilon)=2\sin^2\left(\frac{o\!\varepsilon}{2}\right)=1-\cos(o\!\varepsilon)=\frac{a-b}{a};\,\!</math><ref>[http://books.google.com.br/books?hl=pt-BR&id=pFO6VB_czRYC&q=flattering#v=onepage&q=%22the%20flattening%22&f=false Wolfgang Torge. Geodesy, 3rd Edition, pg. 8.]</ref><ref>[http://www.ufrgs.br/engcart/Teste/elip_exp.html Site do curso de Engenharia Cartográfica da UFRGS. Geometria do Elipsóide.]</ref><ref name="nota">Também se usa o termo "achatamento de uma elipse" como sinônimo de "excentricidade de uma elipse", de definição distinta. Vide [http://books.google.com.br/books?id=o4HB060kd4cC&pg=PA772&lpg=PA772&dq=achatamento+elipse&source=bl&ots=sI99kK82vi&sig=Jn-b1TfI5q3C4ULsT6rifQz6icI&hl=pt-BR&sa=X&ei=6jaMUb66I-m40gHns4C4Cg&ved=0CGkQ6AEwCw#v=onepage&q=achatamento%20elipse&f=false Howard A. Anton. Cálculo, volume 2, pg. 772.]</ref>

O valor obtido indica quanto o elipsóide se aproxima da forma esférica (razão 0).

Há duas outras variantes do achatamento (veja abaixo), e quando é necessário para evitar a confusão o achatamento acima é chamado de ''primeiro'' achatamento. As definições seguintes podem ser encontradas em textos normalizados<ref name=maling>{{citar livro| último=Maling |primeiro=Derek Hylton | título=Coordinate Systems and Map Projections |edição=2.ª|ano=1992 | editora=Pergamon Press|local=Oxford; New York |isbn=0-08-037233-3}}</ref><ref name=snyder>{{citar livro|autor=Snyder, John P. | título=Map Projections: A Working Manual |série=U.S. Geological Survey Professional Paper |volume=1395 | ano=1987| editora =United States Government Printing Office |local=Washington, D.C. |url=http://pubs.er.usgs.gov/pubs/pp/pp1395}}</ref><ref name=torge>Torge, W. (2001). ''Geodesy'' (3rd edition). de Gruyter. ISBN 3-11-017072-8</ref> e textos da web on-line<ref name=osborne>Osborne, P. (2008). ''[http://mercator.myzen.co.uk/mercator.pdf The Mercator Projections] {{Wayback|url=http://mercator.myzen.co.uk/mercator.pdf |date=20120118224152 }}'' Chapter 5.</ref><ref name=rapp>Rapp, Richard H. (1991). ''Geometric Geodesy, Part I''. Dept. of Geodetic Science and Surveying, Ohio State Univ., Columbus, Ohio. [http://hdl.handle.net/1811/24333]</ref>

== Definições de achatamento ==
No seguinte, ''a'' representa a dimensão maior (e.g. semi-eixo maior), enquanto ''b'' é o (semi-eixo menor) menor. Todos os achatamentos são zero para um círculo (''a''=''b'').
::{| class="wikitable" style="border: 1px solid darkgray;   width: 60%;"  cellpadding="5"
|  style="padding-left: 0.5em"| (primeiro) achatamento
| style="padding-left: 0.5em"|<math>f\,\!</math> 
| style="padding-left: 0.5em"|<math>\frac{a-b}{a}\,\!</math>
| style="width: 50%; padding-left: 0.5em "|Fundamental. A inversa 1/f é a escolha normal para os [[elipsóide de referência|elipsóides de referência]] geodésicos.
|-
| style="padding-left: 0.5em"|segundo achatamento
| style="padding-left: 0.5em"|<math>f'\,\!</math> 
| style="padding-left: 0.5em"|<math>\frac{a-b}{b}\,\!</math> &nbsp;  
|  style="padding-left: 0.5em"| Raramente usado.
|-
| style="padding-left: 0.5em"|  terceiro achatamento
| style="padding-left: 0.5em"|<math>n\quad(f'')\,\!</math> &nbsp;    
| style="padding-left: 0.5em"|<math>\frac{a-b}{a+b}\,\!</math> 
|  style="padding-left: 0.5em"| Utilizado nos cálculos geodésicos como um pequeno parâmetro de expansão.<ref name=bessel>F. W. Bessel, 1825, ''Uber die Berechnung der geographischen Langen und Breiten aus geodatischen Vermessungen'', ''Astron.Nachr.'', 4(86), 241-254, {{doi|10.1002/asna.201011352}}, traduzido para o Inglês por C. F. F. Karney e R. E. Deakin como ''The calculation of longitude and latitude from geodesic measurements'', ''Astron. Nachr.'' 331(8), 852-861 (2010), E-print {{arxiv|0908.1824}}</ref>   
|}

O terceiro achatamento pode ser derivado da seguinte forma:
:<math>f'=\tan^2\left(\frac{o\!\varepsilon}{2}\right)=\frac{1-\cos(o\!\varepsilon)}{1+\cos(o\!\varepsilon)}=\frac{a-b}{a+b}.\,\!</math>

{{referências}}

{{esboço-cartografia}}

[[Categoria:Cartografia]]