Mostrar código-fonte de Algoritmo de Liu Hui para π

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[[Imagem:Cutcircle2.svg|miniatura|direita|Método de Liu Hui para calcular a área de um círculo]]
O '''algoritmo de Liu Hui para {{pi}}''' foi inventado por [[Liu Hui]] (fl. século III), um matemático do império de [[Cao Wei]]. Antes de sua época, a razão entre o [[perímetro]] de uma [[circunferência]] e seu [[diâmetro]] era muitas vezes tomada experimentalmente como três na China, enquanto [[Zhang Heng]] (78-139) a representava como sendo 3,1724 (da proporção do círculo celeste com o diâmetro da Terra, 92/29) ou como <math>\pi \approx \sqrt{10} \approx 3,162</math>. Liu Hui não ficou satisfeito com este valor. Ele comentou que ele era muito grande e ultrapassava a marca. Outro matemático, [[Wang Fan]] (228-266), forneceu <math>\pi \approx 142/45 \approx 3,156</math>.<ref>Schepler, Herman C. (1950), “The Chronology of Pi”, Mathematics Magazine 23 (3): 165–170, {{ISSN|0025-570X}}.</ref> Todos esses valores empíricos para {{pi}} eram precisos para dois dígitos (ou seja, uma casa decimal). Liu Hui foi o primeiro matemático chinês a fornecer um algoritmo rigoroso para o cálculo de {{pi}} para qualquer precisão. O próprio cálculo de Liu Hui com um polígono de 96 lados forneceu uma precisão de cinco dígitos: {{math|π ≈ 3,1416}}.

Liu Hui observou em seu comentário no ''[[Os nove capítulos da arte matemática]]'',<ref>Needham, Volume 3, 66.</ref> que a relação do perímetro de um hexágono inscrito com o diâmetro da circunferência era três, então {{pi}} deve ser maior que três. Ele passou a fornecer uma descrição detalhada passo-a-passo de um algoritmo iterativo para calcular {{pi}} com qualquer precisão estabelecida com base em bisseção de polígonos; ele calculou {{pi}} entre 3,141024 e 3,142708 com um polígono de 96 lados; ele sugeriu que 3,14 era uma aproximação boa o suficiente, e expressou {{pi}} como 157/50; ele admitiu que este número era um pouco pequeno. Inventou mais tarde um engenhoso [[#Método rápido|método rápido]] para melhorá-lo, e obteve {{math|π ≈ 3,1416}} com apenas um polígono de 96 lados, com uma precisão comparável à de um polígono de 1536 lados. Sua contribuição mais importante nessa área foi seu algoritmo simples iterativo para {{pi}}.

==Área de um círculo==
[[Imagem:Cutcircle.svg|miniatura|direita|A área no interior de um círculo é igual ao raio multiplicado por metade da circunferência, ou {{math|''A''}} = {{math|''r''}} x {{math|''C''}}/2 = {{math|''r''}} x {{math|''r''}} x {{pi}}.]]

Liu Hui argumentou:

:"''Multiplique um lado de um hexágono pelo raio (de sua [[circunferência circunscrita]]), e então multiplique este resultado por três, para obter a área de um [[dodecágono]]; se cortarmos um hexágono em um dodecágono, multiplicarmos seu lado pelo seu raio e, novamente, multiplicarmos por seis, obtemos a área de um polígono de 24 lados; quanto mais fino cortamos, menor a perda em relação à área do círculo, portanto, com mais corte após corte, a área do polígono resultante coincidirá e se tornará uma com o círculo; não haverá perda''".

Aparentemente, Liu Hui já havia dominado o conceito do limite<ref>Notado a primeira vez pelo matemático japonês [[Yoshio Mikami]]</ref>
:<math>\lim_{N \to \infty}</math> área do polígono de <math>N</math> lados = área do círculo.

Também, Liu Hui provou que a área de um círculo é metade de seu perímetro multiplicado por seu raio. Ele registrou:

"''Entre um polígono e um círculo, há excesso de raio. Multiplique o excesso de raio por um lado do polígono. A área resultante excede o limite do círculo''".

No diagrama {{math|''d''}} = excesso de raio. Multiplicando {{math|''d''}} por um lado resulta no oblongo {{math|ABCD}} que excede o limite do círculo. Se um lado do polígono é pequeno (i.e. existe um número muito grande de lados), então o excesso do raio é pequeno, então o excesso na área será pequeno.

Como visto no diagrama, quando {{math|''N'' → ∞}}, {{math|''d'' →  0}}, e {{math|ABCD → 0}}.

"''Multiplique o lado de um polígono pelo seu raio, e a área duplica; portanto, multiplique metade do perímetro pelo raio para obter a área do círculo''".

Quando {{math|''N'' → ∞}}, metade do perímetro do polígono de {{math|''N''}} lados aproxima um semicírculo, assim metade do perímetro de um círculo multiplicada por seu raio é igual à área do círculo. Liu Hui não explicou em detalhes esta dedução. No entanto, é evidente usando o "princípio do complemento in-out" de Liu Hui, que ele forneceu nos ''nove capítulos sobre a arte matemática'': recortar uma forma geométrica em partes, reorganizar as partes para formar outra forma, a área das duas formas serão idênticas.

Assim, rearranjando os seis triângulos verdes, três triângulos azuis e três triângulos vermelhos em um retângulo com largura = 3{{math|''L''}} e altura {{math|''R''}} mostra que a área do dodecágono = 3{{math|''RL''}}.

Em geral, multiplicar metade do perímetro de um {{math|''N''}}-polígono pelo seu raio produz a área de um 2{{math|''N''}}-polígono. Liu Hui usou este resultado repetidamente em seu algoritmo {{pi}}.

==Desigualdade {{pi}} de Liu Hui==
[[Imagem:Liuhui Pi Inequality.svg|miniatura|direita|Desigualdade {{pi}} de Liu Hui]]

Liu Hui provou uma desigualdade envolvendo {{pi}} considerando a área de polígonos inscritos com lados {{math|''N''}} e 2{{math|''N''}}.

No diagrama, a área amarela representa a área de um {{math|''N''}}-polígono, denotada por <math>A_N</math>, e a área amarela mais a área verde representa a área de um 2{{math|''N''}}-polígono, denotada por <math>A_{2N}</math>. Portanto, a área verde representa a diferença entre as áreas do 2 {{math|''N''}}-polígono e do ''N''-polígono:

:<math>D_{2N}=A_{2N}-A_N.</math>

A área vermelha é igual à área verde, e assim também é <math>D_{2N}</math>. Então

:área amarela + área verde + área vermelha = <math>A_{2N} + D_{2N}.</math>

Seja <math>A_{C}</math> a área do círculo. Então

:<math>A_{2N} < A_{C} < A_{2N} + D_{2N}.</math>

Se o raio da circunferência é assumido ser 1, então obtemos a desigualdade de Liu Hui:

:<math> A_{2N} < \pi < A_{2N} + D_{2N}.</math>

==Algoritmo iterativo==
[[Imagem:Liuhui geyuanshu.svg|miniatura|direita|Algoritmo de Liu Hui para {{pi}}]]

Liu Hui começou com um hexágono inscrito. Seja {{math|M}} o comprimento de um lado {{math|AB}} do hexágono, {{math|''r''}} o raio do círculo.

Bisseccionando {{math|AB}} com a linha {{math|OPC}}, {{math|AC}} torna-se um lado do [[dodecágono]] (12-polígono), seja seu comprimento {{math|m}}. Seja o comprimento de {{math|PC}} {{math|j}} e o comprimento de {{math|OP}} {{math|G}}.

{{math|AOP}}, {{math|APC}} são dois triângulos retângulos. Liu Hui usou o [[Teorema de Pitágoras#História|teorema de Gou Gu]] repetitivamente:

: <math>{} G^2 = r^2 - \left(\tfrac{M}{2}\right)^2</math>
: <math>{} G = \sqrt{r^2- \tfrac{M^2}{4}}</math>
: <math>{} j = r - G = r - \sqrt{r^2- \tfrac{M^2}{4}}</math>
: <math>{} m^2 = \left(\tfrac{M}{2}\right)^2 + j^2</math>
: <math>{} m = \sqrt{\left(\tfrac{M}{2}\right)^2 + j^2}</math>
: <math>{} m = \sqrt{\left(\tfrac{M}{2}\right)^2 + \left(r - G\right)^2}</math>
: <math>{} m = \sqrt{\left(\tfrac{M}{2}\right)^2 + \left(r - \sqrt{r^2- \tfrac{M^2}{4}}\right)^2}</math>

A partir daqui, existe agora uma técnica para determinar {{math|m}} de {{math|M}}, que dá o comprimento do lado de um polígono com o dobro do número de arestas. Começando com um [[hexágono]], Liu Hui pode determinar o comprimento lateral de um dodecágono usando esta fórmula. Então continue repetidamente para determinar o comprimento lateral de um 24-polígono, dado o comprimento lateral de um dodecágono. Ele poderia fazer isso de forma recursiva quantas vezes fosse necessário. Sabendo como determinar a área destes polígonos, Liu Hui poderia então aproximar {{pi}}.

Com <math>r = 10</math> unidades, ele obteve

: área do 48-polígono <math>{}A_{96} = 313 {584 \over 625} </math> 
: área do 96-polígono <math>{}A_{192} = 314 {64 \over 625} </math> 
: Diferença do 96-polígono e do 48-polígono:

:<math>{}D_{192}  = 314\frac{64}{625} - 313\frac{584}{625} = \frac{105}{625}</math>

:da desigualdade de Liu Hui para {{pi}}:

:<math> A_{2N} < A_{C} < A_{2N} + D_{2N}.</math>

:Como {{math|''r''}} = 10, <math>A_{C} = 100 \times \pi</math>
:então:
:<math>{}314\frac{64}{625}<100 \times \pi <314 \frac{64}{625} +\frac{105}{625}</math>
::<math>{}314\frac{64}{625}<100 \times \pi <314 \frac{169}{625}</math>
:<math>{} 3,141024 < \pi < 3,142704.</math>

Ele nunca considerou {{pi}} como a média do limite inferior 3,141024 e do limite superior 3,142704. Ao invés sugeriu que 3,14 era um valor aproximado bom o suficiente para {{pi}}, e o expressou como a fração <math>\tfrac{157}{50}</math>; salientou que este número era ligeiramente menor que o exato.

Liu Hui efetuou seus cálculos com o [[sistema numérico de varas]], e expressou os resultados com frações. Contudo, a natureza iterativa do algoritmo de Liu Hui para {{pi}} é muito clara:

: <math> 2-m^2 =\sqrt{2+(2-M^2)}\, ,</math>

onde {{math|''m''}} é o comprimento de um lado do polígono de próxima ordem bissectado de {{math|''M''}}. O mesmo cálculo é feito repetidamente, cada passo requerendo somente uma adição e uma extração de raiz quadrada.

==Método rápido==
O cálculo de raízes quadradas de números irracionais não era uma tarefa fácil no século III com o [[sistema numérico de varas]]. Liu Hui descobriu um atalho comparando os diferenciais de área de polígonos, e constatou que a proporção da diferença na área de polígonos de ordem sucessiva era de aproximadamente 1/4.<ref>Yoshio Mikami: Ph.D. Dissertation 1932</ref>

Seja {{math|D}}<sub>{{math|N}}</sub> a diferença de áreas de um {{math|N}}-polígono e um ({{math|N}}/2)-polígono

: <math>D_N = A_N - A_{N/2}\,</math>.

Ele encontrou:

:<math>D_{96} \approx  \tfrac{1}{4} D_{48}</math>

:<math>D_{192} \approx  \tfrac{1}{4} D_{96}</math> {{ref|1|1}}

Então:

:<math>
\begin{align}
D_{384} & {} \approx  \tfrac{1}{4} D_{192} \\
D_{768} & {} \approx  \left(\tfrac{1}{4}\right)^2 D_{192} \\
D_{1536} & {} \approx  \left(\tfrac{1}{4}\right)^3 D_{192} \\
D_{3072} & {} \approx  \left(\tfrac{1}{4}\right)^4 D_{192} \\
& {} \ \ \vdots
\end{align}
</math>

Área do círculo de raio unitário&nbsp;=

: <math>{}\pi = A_{192} + D_{384} + D_{768}+D_{1536}+D_{3072} + \cdots \approx A_{192} + F \cdot D_{192}. \, </math>

Em que

: <math> F = \tfrac{1}{4} + \left(\tfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{4}\right)^3 + \left(\tfrac{1}{4}\right)^4 + \cdots=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\tfrac{1}{3}.</math>

Isso é tudo o que subsequentes áreas em excesso somam a um terço de <math>D_{192}</math>

: área do círculo unitário<math> {}=\pi \approx A_{192} + \left(\tfrac{1}{3}\right)D_{192} \approx {3927 \over 1250} \approx 3,1416.\,</math>{{ref|2|2}}

==Ver também==
*[[Método da exaustão]]
*[[Algoritmo de Zhao Youqin para π]]

==Notas==
:{{note|1|1}} Valor correto: 0.2502009052
:{{note|2|2}} Valor correto:
:<math>A_{192}= 3,1410319509</math>
:<math>D_{192}=0,0016817478</math>
:<math>\pi \approx A_{192}+ \frac{1}{3} D_{192}\approxeq 3,1410319509 +0,0016817478/3</math>

:<math>\pi \approx 3,1410319509 +0,0005605826</math>

:<math>\pi \approx 3,1415925335.</math>
<br>
O método rápido de Liu Hui era potencialmente hábil para fornecer aproximadamente o mesmo resultado de um 12288-polígono (3,141592516588) com apenas um 96-polígono.

{{Referências|col=2}}

==Leitura adicional==
*Needham, Joseph (1986). ''Science and Civilization in China'': Volume 3, Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books, Ltd.
*Wu Wenjun ed, ''History of Chinese Mathematics'' Vol III (em chinês) {{ISBN|7-303-04557-0}}

{{DEFAULTSORT:Algoritmo de Liu Hui para Pi}}
[[Categoria:Algoritmos de cálculo de Pi]]