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A '''alternativa de Fredholm''', termo [[matemático]] decorrente de seu formulador [[Ivar Fredholm]], é um dos [[teoremas de Fredholm]] e um resultado na [[teoria de Fredholm]]. A alternativa pode ser expressa de diversas formas: como um teorema da [[álgebra linear]], um teorema das a [[EquaÇão integral|equações integrais]], ou ainda um teorema dos [[Operador de Fredholm|operadores de Fredholm]]. Uma parte dos resultados da alternativa estabelece que um número complexo não nulo no [[Espectro (matemática)|espectro]] de um [[operador compacto]] é um [[Valor próprio|autovalor]].

==Álgebra Linear==
Se ''V'' é um [[espaço vetorial]] ''n''-dimensional e <math>T:V\to V</math> é uma [[transformação linear]], então exatamente uma das seguintes conclusões é satisfeita:
#Para cada vetor ''v'' em ''V'' existe um vetor ''u'' em ''V'' tal que <math>T(u) = v</math>. Em outras palavras, T é uma [[função sobrejectiva|transformação sobrejetiva]].
#<math>\dim(\ker(T)) > 0</math>.

==Equações Integrais==
Seja <math>K(x,y)</math> um [[Transformada integral|núcleo integral]], e consideremos a equação homogênea, denominada [[equação integral de Fredholm]],

:<math>\lambda \phi(x)- \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = 0</math>

e a equação não-homogênea

:<math>\lambda \phi(x) - \int_a^b K(x,y) \phi(y) \,dy = f(x).</math>

A alternativa de Fredholm estabelece que, para qualquer [[número complexo]] fixo não negativo <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>, ou a primeira equação tem uma solução não trivial, ou a segunda equação tem uma solução para todo <math>f(x)</math>.

Uma condição suficiente para a garantia deste teorema é que <math>K(x,y)</math> seja quadraticamente integrável no retângulo <math>[a,b]\times[a,b]</math> (onde ''a'' e/ou ''b'' podem ser menos ou mais infinito).

==Análise Funcional==
Resultados obtidos com o [[operador de Fredholm]] generalizam os resultados aqui obtidos para espaços vetoriais de dimensão infinita, os [[Espaço de Banach|espaços de Banach]].

===Correspondência===
Livremente falando, a correspondência entre as versões baseadas na álgebra linear e em equações integrais é estabelecida a seguir. Seja

:<math>T=\lambda - K</math>

ou, em notação indicial,

:<math>T(x,y)=\lambda \delta(x-y) - K(x,y)</math>

sendo <math>\delta(x-y)</math> a [[Delta de Dirac|função generalizada Delta de Dirac]]. ''T'' pode ser interpretado como um [[Transformação linear|operador linear]] atuando sobre um espaço de Banach ''V'' de funções <math>\phi(x)</math>, tal que

:<math>T:V\to V</math>

é dado por

:<math>\phi \mapsto \psi</math>

com <math>\psi</math> dado por

:<math>\psi(x)=\int_a^b T(x,y) \phi(y) \,dy</math> .

Nesta forma de expressão, a alternativa baseada em equações integrais podem ser vistas como correspondência à alternativa da álgebra linear.

===Alternativa===
Em termos mais precisos, a alternativa de Fredholm é aplicável somente quando ''K'' é um [[operador compacto]]. Da teoria de Fredholm, núcleos integrais contínuos são operadores compactos. A alternativa de Fredholm pode ser reformulada da seguinte forma: um <math>\lambda</math> não nulo é ou um autovalor de ''K'', ou pertence ao domínio do [[resolvente]]

:<math>R(\lambda; K)= (K-\lambda \operatorname{Id})^{-1}.</math>

== Bibliografia ==
*E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", ''Acta Math.'' , '''27'''  (1903)  pp.&nbsp;365–390.
*A. G. Ramm, "[https://web.archive.org/web/20120205041358/http://www.math.ksu.edu/~ramm/papers/419amm.pdf A Simple Proof of the Fredholm Alternative and a Characterization of the Fredholm Operators]", ''American Mathematical Monthly'', '''108''' (2001) p.&nbsp;855.
*{{link|en|2=http://eom.springer.de/f/f041470.htm|3=Teoremas de Fredholm}}
*{{link|en|2=http://mathworld.wolfram.com/FredholmAlternative.html|3=Alternativas de Fredholm}}

[[Categoria:Álgebra linear]]