Mostrar código-fonte de Arbelos


[[Ficheiro:Arbelos.svg|direita|miniaturadaimagem|320x320px| Um arbelos (região cinza)]]
[[Ficheiro:Arbelos_sculpture_Netherlands_1.jpg|miniaturadaimagem| Escultura de Arbelos em Kaatsheuvel, Holanda]]
Em [[geometria]], um '''arbelos''' é uma região plana delimitada por três [[Semicírculo|semicírculos]] com três vértices, de modo que cada canto de cada semicírculo é compartilhado com um dos outros (conectado), todos do mesmo lado de uma [[Reta|linha reta]] (a ''linha de base'' ) que contém seus [[Diâmetro|diâmetros]].<ref name="wolfram">{{MathWorld|title=Arbelos|urlname=Arbelos}}</ref>

A mais antiga referência conhecida a esta figura está no ''Livro de Lemmas'' de [[Arquimedes]], onde algumas de suas propriedades matemáticas são declaradas como Proposições 4 a 8.<ref name="archBLprop4">Thomas Little Heath (1897), ''The Works of Archimedes''. </ref> A palavra ''arbelos'' é grega para 'faca de sapateiro'. A figura está intimamente relacionada com a [[Corrente de Papo]].

== Propriedades ==
Dois dos semicírculos são necessariamente côncavos, com diâmetros arbitrários {{Mvar|a}} e {{Mvar|b}} ; o terceiro semicírculo é convexo, com diâmetro {{Mvar|''a''+''b''.}}
[[Ficheiro:Arbelos_diagram_with_points_marked.svg|direita|miniaturadaimagem|320x320px| Alguns pontos especiais nos arbelos.]]

=== Área ===
A área do arbelos é igual à área de um círculo de diâmetro {{overline|HA}}.

'''Prova''': para a prova, reflita o arbelos sobre a linha através dos pontos {{Mvar|B}} e {{Mvar|C}}, observando que duas vezes a área do arbelos é o que sobra quando as áreas dos dois círculos menores (com diâmetros {{Mvar|{{overline|BA}}}} e {{Mvar|{{overline|AC}}}}) são subtraídos da área do círculo maior (com diâmetro {{Mvar|{{overline|BC}}}}). Já que á área do círculo é proporcional ao quadrado do diâmetro ([[Os Elementos|Elementos]] de [[Euclides]], Livro XII, Proposição 2; não precisamos saber que a [[constante de proporcionalidade]] é {{Math|{{sfrac|{{pi}}|4}}}}), o problema se reduz a mostrar que <math>2|AH|^2 = |BC|^2 - |AC|^2 - |B|^2</math>. O comprimento {{Mvar|{{abs|BC}}}} é igual à soma dos comprimentos  {{Mvar|{{abs|BA}}}} e {{Mvar|{{abs|AC}}}}, logo a equação se simplifica para <math>|AH|^2 = |BA||AC|</math>. Logo, podemos afirmar que o comprimento do segmento {{Mvar|{{overline|AH}}}} é a [[média geométrica]] dos comprimentos dos segmentos {{Mvar|{{overline|BA}}}} and {{Mvar|{{overline|AC}}}}. Agora (ver figura abaixo) o triângulo {{Mvar|BHC}}, sendo inscrito ao semicírculo, tem um ângulo reto no ponto {{Mvar|H}} (Elementos, Livro III, Proposição 31), e consequentemente {{Mvar|{{abs|HA}}}} é de fato uma "média proporcional" entre {{Mvar|{{abs|BA}}}} e {{Mvar|{{abs|AC}}}} (Elementos, Livro VI, Proposição 8, Porisma). Esta prova aproxima o antigo argumento grego; [[Harold P. Boas]] cita um artigo de [[Roger B. Nelsen]]<ref name="RBNelsen_2002">{{Citar periódico |título=Proof without words: The area of an arbelos |data=2002 |periódico=Math. Mag. |número=2 |ultimo=Nelsen |primeiro=R B |pagina=144 |doi=10.2307/3219152 |jstor=3219152 |volume=75}}</ref> que implementou a ideia como uma [[prova visual]].<ref>{{Citar periódico |url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/reflections-on-the-arbelos |título=Reflections on the Arbelos |periódico=[[The American Mathematical Monthly]] |número=3 |ultimo=Boas |primeiro=Harold P. |ano=2006 |paginas=236–249 |doi=10.2307/27641891 |jstor=27641891 |volume=113}}</ref>
[[Ficheiro:Arbelos_proof2.svg|centro]]

=== Retângulo ===
Sejam {{Mvar|D}} e {{Mvar|E}} os pontos onde os segmentos {{Mvar|{{overline|BH}}}} e {{Mvar|{{overline|CH}}}} interceptam os semicírculos {{Mvar|AB}} e {{Mvar|AC}}, respectivamente. O [[quadrilátero]] {{Mvar|ADHE}} é na verdade um [[retângulo]] .

: ''Prova'' : {{Mvar|∠BDA}}, {{Mvar|∠BHC}}, e {{Mvar|∠AEC}} são ângulos retos porque estão inscritos em semicírculos (pelo [[Teorema de Tales (círculo)|teorema de Tales]]). O quadrilátero {{Mvar|ADHE}} portanto, tem três ângulos retos, portanto é um retângulo. ''[[QED]]''

=== Tangentes ===
A linha {{Mvar|DE}} é tangente ao semicírculo {{Mvar|BA}} em {{Mvar|D}} e ao semicírculo {{Mvar|AC}} em {{Mvar|E}} .

: ''Prova'' : Como {{Mvar|∠BDA}} é um ângulo reto, {{Mvar|∠DBA}} é igual a {{math|{{sfrac|π|2}}}} menos ''{{mvar|∠DAB}}''. Contudo, ''{{mvar|∠DAH}}'' é igual a {{math|{{sfrac|π|2}}}} menos ''{{mvar|∠DAB}}'' (já que ''{{mvar|∠HAB}}'' é um ângulo reto). Logo, os triângulos ''{{mvar|DBA}}'' e ''{{mvar|DAH}}'' são [[Semelhança (geometria)|similares]]. Com isso, ''{{mvar|∠DIA}}'' é igual a ''{{mvar|∠DOH}}'', onde ''{{mvar|I}}'' é o ponto médio de ''{{mvar|{{overline|BA}}}}'' e ''{{mvar|O}}'' é o ponto médio de ''{{mvar|{{overline|AH}}}}''. Mas ''{{mvar|∠AOH}}'' é uma linha reta, então ''{{mvar|∠DOH}}'' e ''{{mvar|∠DOA}}'' são [[ângulos suplementares]]. Portanto a soma de ''{{mvar|∠DIA}}'' e ''{{mvar|∠DOA}}'' é π. ''{{mvar|∠IAO}}'' é um ângulo reto. A soma dos ângulos em qualquer quadrilátero é 2π, então no quadrilátero ''{{mvar|IDOA}}'', ''{{mvar|∠IDO}}'' deve ser um ângulo reto. Mas ''{{mvar|ADHE}}'' é um retângulo, então o ponto médio ''{{mvar|O}}'' de ''{{mvar|{{overline|AH}}}}'' (a diagonal do retângulo) também é o ponto médio de ''{{mvar|{{overline|DE}}}}'' (a outra diagonal do retângulo). Como ''{{mvar|I}}'' (definido como o ponto médio de ''{{mvar|{{overline|BA}}}}'') é o centro do semicírculo ''{{mvar|BA}}'', e o ângulo ''{{mvar|∠IDE}}'' é um ângulo reto, então ''{{mvar|DE}}'' é tangente ao semicírculo ''{{mvar|BA}}'' em ''{{mvar|D}}''. Por raciocínio análogo, ''{{mvar|DE}}'' é tangente ao semicírculo ''{{mvar|AC}}'' em ''{{mvar|E}}''. ''[[Q.E.D.]]''

=== Círculos de arquimedes ===
A altitude {{Mvar|AH}} divide os arbelos em duas regiões, cada uma limitada por um semicírculo, um segmento de linha reta e um arco do semicírculo externo. Os círculos [[Círculos inscrito e exinscrito em um triângulo|inscritos]] em cada uma dessas regiões, conhecidos como [[Círculos gêmeos de Arquimedes|círculos de Arquimedes]] dos arbelos, têm o mesmo tamanho.

== Variações e generalizações ==
[[Ficheiro:F-belos.svg|direita|miniaturadaimagem| Exemplo de um ''f'' -belos]]
O parbelos é uma figura semelhante ao arbelos, que usa segmentos [[Parábola|de parábola]] em vez de semicírculos. Uma generalização que compreende arbelos e parbelos é o ''f'' -belos, que usa um certo tipo de funções diferenciáveis semelhantes.<ref>Antonio M. Oller-Marcen: [http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201310.pdf "The f-belos"]. </ref>

No modelo de meio plano de Poincaré do [[Geometria hiperbólica|plano hiperbólico]], um arbelos modela um triângulo ideal .

== Etimologia ==
[[Ficheiro:Arbelos_Shoemakers_Knife.jpg|direita|miniaturadaimagem| O tipo de faca de sapateiro que deu nome à figura]]
O nome ''arbelos'' vem do [[Língua grega antiga|grego]] ἡ ἄρβηλος ''he árbēlos'' ou ἄρβυλος ''árbylos'', que significa "faca de sapateiro", uma faca usada por sapateiros desde a antiguidade até os dias atuais, cuja lâmina se diz assemelhar-se à figura geométrica.

== Ver também ==

* Quádruplos de Arquimedes
* Círculo de bancarrota
* Círculos de Schoch
* Linha Schoch
* Círculos Woo
* [[Corrente de Papo|Cadeia de Papo]]
* [[Salinon]]

== Referências ==
<references>
<ref name="wolfram">{{MathWorld|title=Arbelos|urlname=Arbelos}}</ref>
<ref name="archBLprop4">Thomas Little Heath (1897), ''The Works of Archimedes''. </ref>
</references>

== Bibliografia ==

* {{Citar livro|título=Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle|ultimo=Johnson, R. A.|editora=Dover Publications|ano=1960|localização=New York|páginas=116&ndash;117|isbn=978-0-486-46237-0|edição=reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin}}
* {{Citar livro|url=https://archive.org/details/excursionsingeom0000ogil/page/51|título=Excursions in Geometry|ultimo=Ogilvy|primeiro=C. S.|editora=Dover|ano=1990|páginas=[https://archive.org/details/excursionsingeom0000ogil/page/51 51&ndash;54]|isbn=0-486-26530-7|autorlink=C. Stanley Ogilvy}}
* {{Citar periódico |título=The parbelos, a parabolic analog of the arbelos |periódico=Amer. Math. Monthly |número=10 |ultimo=Sondow |primeiro=J. |ano=2013 |paginas=929–935 |arxiv=1210.2279 |doi=10.4169/amer.math.monthly.120.10.929 |volume=120}} [[American Mathematical Monthly]], 120 (2013), 929-935.
* {{Citar livro|url=https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/5|título=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry|ultimo=Wells|primeiro=D.|editora=Penguin Books|ano=1991|localização=New York|páginas=[https://archive.org/details/penguindictionar0000well/page/5 5&ndash;6]|isbn=0-14-011813-6|url-access=registro}}

== Ligações Externas ==

* {{Commonscat em linha}}
* {{Wikcionário em linha}}
[[Categoria:Geometria]]