Mostrar código-fonte de Axiomas de probabilidade

{{mais-notas|ciência=sim|data=fevereiro de 2014}}
{{Wikificação|ciência=sim|data=fevereiro de 2014}}
{{Fundamentos de probabilidade}}
Os '''axiomas da probabilidade''' ou os '''axiomas de Kolmogorov''' são uma definição geralmente usada para se referir para as três propriedades de uma série de subconjuntos de <math>S</math>, chamado de [[Álgebra de Borel|<math>\sigma</math>-álgebra]] (pronuncia-se '''sigma-álgebra''' ou campo de [[Émile Borel|Borel]]), denotado por <math>\mathbb{B}\,</math>, se <math>\mathbb{B}\,</math> satisfaz às propriedades:
* <math>\emptyset</math> ∈ <math>\mathbb{B}\,</math> (o [[conjunto vazio]] é um elemento de <math>\mathbb{B}\,</math>);
* Se <math>A</math> ∈ <math>\mathbb{B}\,</math>;
* Se {{math|''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ...}} ∈ <math>\mathbb{B}\,</math>.<ref name="tamu">[http://www.stat.tamu.edu/~fliang/STAT610/st610ch1.pdf Probability Theory] por Faming Liang publicado pelo "Department of Statistics,  Texas A&M University"</ref>.
Na [[Teoria das probabilidades|teoria da probabilidade]] de [[Andrey Kolmogorov|Kolmogorov]], a [[probabilidade]] <math>P</math> de algum evento <math>E</math>, denotado por <math>P(E)</math>, geralmente é definida tal que <math>P</math> satisfaz os axiomas de Kolmogorov. O termo é em homenagem ao famoso matemático russo [[Andrey Kolmogorov]], que são descritos abaixo.<ref name="stanford">[http://statweb.stanford.edu/~cgates/PERSI/Courses/Phil166-266/Kolmogorov-Foundations.pdf FOUNDATIONS. OF THE. THEORY OF PROBABILITY] por A.N. KOLMOGOROV. publicado por "CHELSEA PUBLISHING" Segunda English Edição (1956)</ref>

Essas premissas podem ser resumidas como: seja (Ω, ''F'', ''P'') um espaço de medida intervalo com ''P'' (Ω) = 1.
Então (Ω, ''F'', ''P'') é um [[espaço de probabilidade]], com espaço amostral Ω, espaço de evento ''F'' e medida de probabilidade ''P''.
Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecido por alguns Bayesianos, é dado pelo [[Teorema de Cox]].

== Axiomas ==

=== Primeiro axioma ===
A probabilidade de um evento é um [[número real]] não negativo:
:<math>P(E)\in\mathbb{R}, P(E)\geq 0 \qquad \forall E \in \mathcal{F}</math>

Onde <math>\mathcal{F}</math> é o espaço de evento ([[Sigma-álgebra|<math>\sigma</math>-álgebra)]]. Em particular, <math>P(E)</math> é sempre finito, em contraste com mais geral da Teoria da Medida. As teorias que atribuem probabilidade negativa relaxam o primeiro axioma.

=== Segundo axioma ===
Este é o pressuposto da [[unidade de medida]]:  é que a probabilidade de que algum evento elementar em todo o espaço da amostra irá ocorrer é 1. Mais especificamente, não há eventos elementares fora do espaço amostral.
: <math>P(\Omega) = 1.</math>

Este é muitas vezes esquecido em alguns cálculos de probabilidade equivocadas, se você não pode definir com precisão todo o espaço amostral, então a probabilidade de qualquer [[subconjunto]] não pode ser definido.

=== Terceiro axioma ===
Este é o pressuposto de σ-aditividade:

Qualquer sequência contável de [[conjuntos disjuntos]] (sinônimo de ''eventos mutuamente exclusivos'') <math>E_1, E_2, ...</math> satisfaz

: <math>P(E_1 \cup E_2 \cup \cdots) = \sum_{i=1}^\infty P(E_i).</math>

Alguns autores consideram apenas finitamente e aditivos os espaços de probabilidade, caso em que se necessita apenas de uma álgebra de conjuntos, em vez de um σ-álgebra. Na [[distribuição de quasiprobabilidade]], em geral, o terceiro axioma é expandido, permitindo que a função de probabilidade assuma valores negativos.<ref>{{Citar web|url=https://physics.stackexchange.com/questions/223665/what-is-a-quasi-probability-distribution|titulo=quantum mechanics - What is a quasi-probability distribution?|acessodata=2023-02-03|website=Physics Stack Exchange|lingua=en}}</ref>

== Consequências ==
A partir dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para cálculo de probabilidades.

=== Monotonia ===
: <math>\quad\text{se}\quad A\subseteq B\quad\text{então}\quad P(A)\leq P(B).</math>

=== A probabilidade do conjunto vazio ===
: <math>P(\emptyset)=0.</math>

=== O  limite numérico ===
Ele segue imediatamente a partir da propriedade de monotonicidade:
: <math>0\leq P(E)\leq 1\qquad \text{∀} E\in F.</math>

== Provas ==
As provas dessas propriedades são interessantes e esclarecedoras. Eles ilustram o poder do terceiro axioma, e sua interação com os restantes dois axiomas. Ao estudar [[teoria da probabilidade]] axiomática, muitas consequências profundas seguem a partir desses três meros axiomas. A fim de verificar a propriedade de monotonicidade, partimos: <math>E_1=A</math> and <math>E_2=B\backslash A</math>,Quando <math>\quad A\subseteq B \text{ and } E_i=\emptyset</math> for <math>i\geq 3</math>. É fácil de ver que os conjuntos <math>E_i</math>.São disjuntos dois a dois e <math>E_1\cup E_2\cup\ldots=B</math>. Assim, obtemos a partir do terceiro axioma de que:
: <math>P(A)+P(B\backslash A)+\sum_{i=3}^\infty P(\emptyset)=P(B).</math>
Desde a esquerda o lado desta equação é uma série de números não-negativos, e que converge para:
: <math>P(B)</math> o qual é finito, obtêm-se ambos <math>P(A)\leq P(B)</math> e <math>P(\emptyset)=0</math>.
A segunda parte da declaração é visto por contradição se:  <math>P(\emptyset)=a</math> em seguida o lado esquerdo não é inferior a:
: <math>\sum_{i=3}^\infty P(E_i)=\sum_{i=3}^\infty P(\emptyset)=\sum_{i=3}^\infty a = \begin{cases} 0 & \text{if } a=0, \\ \infty & \text{if } a>0. \end{cases}</math>
Se <math>a>0</math> obtemos uma contradição, para que a soma não ultrapasse <math>P(B)</math> que é finito. Assim, <math>a=0</math>. Nós mostramos como um subproduto da prova de monotonia que <math>P(\emptyset)=0</math>.

== Mais consequências ==
Outra propriedade importante é:
: <math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).</math>
Esta é a chamada lei além de probabilidade, ou a regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que'' A'''' ou'''''' B irá acontecer é a soma das probabilidades de que'' A'' vai acontecer e que'' B'' vai acontecer, menos a probabilidade de que ambos'' A'''' e'''' B'' vão acontecer. Isso pode ser estendido para o [[princípio da inclusão-exclusão]].
: <math>P(\Omega\setminus E) = 1 - P(E)</math>
Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento'' não'' acontecer é 1 menos a probabilidade de que isso acontecerá.

== Exemplo simples: moeda-lance ==
Considere um lançamento único de uma moeda, assuma que a moeda será ou cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos).
A suposição é feita para saber se a moeda é honesta (Isto é, sua distribuição de massa é igualitária e sem deformidades que a faça tender para um dos lados).
Podemos definir:
:<math>\Omega = \{H,T\}</math>
:<math>F = \{\emptyset, \{H\}, \{T\}, \{H,T\}\}</math>
Axiomas de Kolmogorov implicam que:
: <math>P(\emptyset) = 0</math>
A probabilidade de ''cara ou coroa'' é 1.
: <math>P(\{H,T\}) = 1</math>
A probabilidade de cara'' mais coroa'' é 1.
: <math>P(\{H\}) + P(\{T\}) = 1</math>
A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroa é 1.

== Ver também ==
* [[Lei da probabilidade total]]
* [[Medida (matemática)]]
* [[Sigma-álgebra|σ-álgebra]]
* [[Teoria da Probabilidade]]
* [[Probabilidade condicional]]

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* Von Plato, Jan, 2005 ", der Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung" em [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness, I.]], ed'' Escritos marco na Matemática ocidentais.''. Elsevier: 960-69. {{en}}
* {{citar web| autor1 = Glenn Shafer | autor2 = Vladimir Vovk | titulo = As origens e o legado de Kolmogorov de Grundbegriffe | url = http://www.probabilityandfinance.com/articles/04.pdf}}

== Ligações externas ==
{{Wikilivros|Probabilidade e Estatística}}
* [Http://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/ # KolProCal Kolmogorov `s cálculo de probabilidades], Stanford Encyclopedia of Philosophy.
* [Http://mws.cs.ru.nl/mwiki/prob_1.html # M2 Definição formal]de probabilidade no sistema de Mizar, e a [http://mmlquery.mizar.org/cgi-bin/mmlquery/emacs_search?input=(symbol+Probability+%7C+notation+%7C+constructor+%7C+occur+%7C+th)+ordered+by+number+of+ref lista de teoremas] formalmente provado sobre isso.

{{Portal3|Matemática}}

[[Categoria:Teoria das probabilidades]]
[[Categoria:Teoria da medida]]