Mostrar código-fonte de Càdlàg

Na [[matemática]], uma função '''càdlàg''' (do francês "'''c'''ontinue '''à''' '''d'''roite, '''l'''imite '''à''' '''g'''auche"), '''corlol''' (do inglês “'''c'''ontinuous '''o'''n (the) '''r'''ight, '''l'''imit '''o'''n (the) '''l'''eft”), ou '''càdlàe''' ('''c'''ontinua '''à''' '''d'''ireita, '''l'''imite '''à''' '''e'''squerda, tradução literal para português) é uma definida nos [[Número real|números reais]] (ou um [[Subcoinjunto|sub-conjunto]] dos mesmos) que é, em qualquer localização, [[Função contínua|contínua]] à direita e com [[Limite de uma função|limite]] à esquerda. Funções cádlag são importantes no estudo de [[Processo estocástico|processos estocásticos]] que admitem (ou mesmo exigem) saltos, ao contrário do [[movimento browniano]] que se mantém em caminhos contínuos. O conjunto de funções cádlág num dado [[Função (matemática)|domínio]] é conhecido como o '''espaço de Skorokhod'''.

Dois termos relacionados são '''cáglád''', do frânces "continue à gauche, limite à droite", ou '''càelàd''' (o oposto do '''cádlág''', contínua à esquerda, limite à direita), e '''càllàl''' de "continue à l'un, limite à l’autre" (contínua de um lado e limite do outro), para uma função que permanece càdlàg ou càglàd a cada ponto do seu domínio.

==Definição==

[[Image:Discrete probability distribution illustration.png|right|thumb|[[Função distribuição acumulada]] são exemplos de funções càdlàg.]]

Sendo {{nowrap|(''M'', ''d'')}} um [[espaço métrico]], e {{nowrap|''E'' ⊆ '''R'''}}. Uma função é chamada de '''càdlàg''' se, por cada {{nowrap|''t'' ∈ ''E''}},
* O limite à esquerda {{nowrap|''ƒ''(''t−'') :{{=}} lim<sub>''s↑t''</sub>&thinsp;''ƒ''(''s'')}} existe; e
* O limite à direita {{nowrap|''ƒ''(''t+'') :{{=}} lim<sub>''s↓t''</sub>&thinsp;''ƒ''(''s'')}} existe e é igual a ''ƒ''(''t'').
Isto é, ''ƒ'' é contínua à direita com os seus limites à esquerda.

==Exemplos==

* Todas as funções contínuas são funções càdlàg.
* Como consequência da sua definição, todas as [[Função distribuição acumulada|funções de distribuição cumuladas]] são funções càdlàg.
* A derivada à direita ''f<sub>+</sub>''' de qualquer [[função convexa]], ''f'' definido num intervalo aberto, é uma função càdlàg.

==Espaço Skorokhod==

O conjunto de todas as funções de ''E'' a ''M'' é vulgarmente descrita como {{nowrap|''D''(''E''; ''M'')}} (ou simplesmente ''D'') e é chamada '''espaço Skorokhod''', cujo nome advém do matemático Ucrâniano [[Anatoliy Skorokhod]]. Ao espaço Skorokhod pode ser anexado uma [[Topologia (matemática)|topologia]] que intuitivamente permite mexer um pouco no espaço tempo (ao contrário da tradicional topologia da [[convergência uniforme]] que apenas nos permite mexer no espaço. Para simplicidade considere {{nowrap|''E'' {{=}} [0, ''T'']}} e {{nowrap|''M'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}}.

Primeiro definimos um análogo do [[módulo de contínuidade]], {{nowrap|''ϖ′<sub>ƒ</sub>''(''δ'')}}. Por cada {{nowrap|''F'' ⊆ ''E''}}, temos
: <math>
    w_{f} (F) := \sup_{s, t \in F} | f(s) - f(t) |
  </math>
e, por {{nowrap|''δ'' > 0}}, define-se o '''módulo càdlàg''' como
: <math>
    \varpi'_{f} (\delta) := \inf_{\Pi} \max_{1 \leq i \leq k} w_{f} ([t_{i - 1}, t_{i})),
  </math>
onde o [[Supremo e ínfimo|ínfimo]] corre todas as partições {{nowrap|Π {{=}} {0 {{=}} ''t''<sub>0</sub> < ''t''<sub>1</sub> < … < ''t<sub>k</sub> {{=}} T''}}}, {{nowrap|''k'' ∈ '''N'''}}, com {{nowrap|min<sub>''i''</sub>&thinsp;(''t<sub>i</sub> − t''<sub>''i''−1</sub>) > ''δ''}}, Esta definição faz sentido para funções não càdlàg ''f'' (tal como o comum modulo de contínuidade faz sentido para funções discontínuas) e pode ser demonstrado que ''f'' é càdlàg [[se e somente se]] {{nowrap|''ϖ′<sub>ƒ</sub>''(''δ'') → 0}} como {{nowrap|''δ'' → 0}}.

Agora deixe-se Λ descrever todo o conjunto de funções [[Função monótona|estritamente crescentes]], contínuas [[Função bijectiva|bijectivas]] de ''E'' a si mesmo (estes são os movimentos no tempo). Seja
: <math>
    \| f \| := \sup_{t \in E} | f(t) |
  </math>
note-se a norma uniforme em funções em ''E''. Defini-se a '''métrica Skorokhod''' ''σ'' em ''D'' por
: <math>
    \sigma (f, g) := \inf_{\lambda \in \Lambda} \max \{ \| \lambda - I \|, \| f - g \circ \lambda \| \},
  </math>
onde {{nowrap|''I'':&thinsp;''E'' → ''E''}} é a função identidade. Em termos de movimento intuitivo, {{nowrap|{{!!}}''λ − I''{{!!}}}} mede a extensão do movimento no tempo, e {{nowrap|{{!!}}''ƒ − g○λ''{{!!}}}} mede a extensão do movimento no espaço.

Pode ser mostrado que o a métrica Skorokhod é, de facto, métrica. A topologia Σ gerada por ''σ'' é chamada de '''topologia Skorokhod''' em ''D''.

==Propriedades do espaço Skorokhod==

===Generalização da topologia uniforme===

O espaço ''C'' de funções contínuas em ''E'' é um [[subespaço topológico]] de ''D''. A topologia Skorokhod relativizada a ''C''  coincide com a topologia uniforme na mesma.

===Completude===

Pode ser mostrado que, apesar de ''D'' não ser um [[espaço completo]] com respeito à métric de Skorokhod ''σ'', existe uma métrica ''σ''<sub>0</sub> com respeito a que ''D'' é completo.

===Separabilidade===

Com respeito a quer ''σ'' ou ''σ''<sub>0</sub>, ''D'' é um [[espaço separável]]. Logo, um espaço Skorokhod é um [[Espaço poláco]].

===Estreitamento no espaço Skorokhod===

Por aplicação do [[teorema de Arzelà-Ascoli]], podemos mostrar que uma sequência (''μ<sub>n</sub>'')<sub>''n''=1,2,…</sub> de medida probabilistica no espaço Skorokhod ''D'' é ''estreita'' (sugerido do inglês, ''tigth'') se e somente se as duas próximas condições são satisfeitas:
: <math>
    \lim_{a \to \infty} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \| f \| \geq a \} \big) = 0,
  </math>
e
: <math>
    \lim_{\delta \to 0} \limsup_{n \to \infty} \mu_{n}\big( \{ f \in D \;|\; \varpi'_{f} (\delta) \geq \varepsilon \} \big) = 0\text{ for all }\varepsilon > 0.
  </math>

===Estrutura álgebrica e toplógica===

Sobre a topologia de Skorokhod e pontual adição de funções, ''D'' não é um grupo topológico, tal como pode ser visto no exemplo seguinte:

Seja <math> E=[0,2) </math> o intervalo da unidade e <math>f_n = \chi_{[1/n,2)} \in D</math> uma sequência de funções características.
Apesar de <math> f_n \rightarrow \chi_{[1,2)} </math> na topologia Skorokhod, a sequência <math> f_n - \chi_{[1,2)} </math> não converge para 0.

==Referências Blibliográficas==

* {{citar livro|autor =Billingsley, Patrick |título=Probability and Measure |publicado=John Wiley & Sons, Inc. |local=New York, NY |ano=1995 | isbn=0-471-00710-2}}
* {{citar livro|autor =Billingsley, Patrick |título=Convergence of Probability Measures |publicado=John Wiley & Sons, Inc. |local=New York, NY |ano=1999 | isbn=0-471-19745-9}}
{{Processos estocásticos}}
[[Categoria:Análise real]]
[[Categoria:Processos estocásticos]]