Mostrar código-fonte de Cálculo vetorial

{{Cálculo}}
[[Ficheiro:Derivada vectorial.PNG|miniaturadaimagem|exemplo de Derivada vetorial de f(x1,x2) en x. f'(x;y)]]
{{PU-AO45|Cálculo vetorial|Cálculo vectorial}} configura uma área da [[matemática]] que trata da diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no [[espaço euclidiano]], <math>{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</math>. O termo "Cálculo vectorial" frequentemente é usado erroneamente como sinônimo de [[Cálculo com múltiplas variáveis|cálculo multivariável]], área que o abrange, assim como [[Derivada parcial|diferenciação parcial]] e [[Integral múltipla|integrais múltiplas]]. O Cálculo vectorial possui um importante papel na [[geometria diferencial]] e no estudo de [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]]. Ele é extensivamente utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de [[Campo eletromagnético|campos eletromagnéticos]], [[Campo gravitacional|campos gravitacionais]] e [[mecânica dos fluidos]].

== História ==
O Cálculo vectorial foi desenvolvido a partir da [[Quaterniões|análise quaterniônica]] por [[Josiah Willard Gibbs|Josiah W. Gibbs]] e [[Oliver Heaviside]] em torno do final do século 19. Grande parte de sua notação e terminologia foi estabelecida por [[Josiah Willard Gibbs|Gibbs]] e [[Edwin Bidwell Wilson|Edwin B. Wilson]], em seu livro ''Vector Analysis'', publicado em 1901.

== Definições e objetos ==

=== Campo escalar ===
{{Quote|''Artigo principal: [[Campo escalar]]''}}Um '''campo escalar''' associa um [[escalar]] a todo ponto no espaço. O [[escalar]] pode ser tanto um [[Número|número matemático]] ou uma [[Grandeza física|quantidade física]].Campos escalares têm de ser independentes de coordenadas, significando que quaisquer dois observadores usando o mesmo sistema de unidades concordarão no valor do campo em um mesmo ponto absoluto no espaço (ou [[Espaço-tempo|espaço tempo]]) quaisquer que sejam seus respectivos pontos de origem. [[Campo (física)|Campos]] escalares são comumente representados pelos campos de temperatura, pressão, potencial gravitacional, [[potencial elétrico]] e magnético.

=== Campo vectorial ===
{{Quote|''Artigo principal: [[Campo vectorial]]''}}Um '''campo vectorial''' ou '''campo de vectores''' é uma construção em [[cálculo vectorial]] que associa um [[Vector (espacial)|vector]] a todo ponto de uma [[Variedade (matemática)|variedade diferenciável]] (como um [[subconjunto]] do [[espaço euclidiano]], por exemplo). Isso é, um campo de vectores é uma função vectorial que associa um vector a cada ponto <math>P(x,y,z)</math> do espaço <math>xyz</math>, generalizadamente dada por <math>{\displaystyle \mathbf {\vec{F}} (x,y,z)=f(x,y,z)\mathbf {\vec{i}} +g(x,y,z)\mathbf {\vec{j}} +h(x,y,z)\mathbf {\vec{k}} }</math>.

Campos vectoriais são geralmente utilizados na [[física]] para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um [[fluido]] ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma [[força]], tal como a força [[Campo magnético|magnética]] ou [[Gravidade|gravitacional]], bem como o campo elétrico <math>\overrightarrow{E}(x,y,z,t)</math> e o campo magnético <math>\overrightarrow{B}(x,y,z,t)</math>relacionando as componentes ponto a ponto.

Comumente são representados os campos vectoriais em apresentações mais simplórias, em planos, representações 3D, no entanto campos vetoriais são formados por um número infinito de vetores o que torna exemplos mais complexos com representação apenas por recursos gráficos computacionais.

=== Vectores e pseudo vectores ===
Em tratamentos mais rigorosos, pode-se distinguir campos pseudovectoriais e campos pseudoescalares, os quais são idênticos a campos vectoriais e campos escalares, com a exceção de que seus sinais são trocados sob uma circunstância de reversão de orientação.

O rotacional de um campo vectorial, por exemplo, é considerado um campo pseudovectorial e, se seu sinal é alterado, o rotacional apontará na direção oposta.

Essa distinção é esclarecida e elaborada na álgebra geométrica, como descrita abaixo.

== Álgebra vectorial ==
As operações algébricas em Cálculo vectorial são referidas como álgebra vectorial, sendo definida para um [[espaço vectorial]] e globalmente aplicada a um [[campo vectorial]]. As operações algébricas elementares são:
{| class="wikitable"
!Operação
!Notação
!Descrição
|-
![[Vetor (matemática)#Adição|Adição de vectores]]
|<math>{\displaystyle {\mathbf {\vec{v}} }_{1}+{\mathbf {\vec{v}} }_{2}}</math>
|Adição de dois campos vectoriais, resultando em um campo vectorial.
|-
![[Vetor (matemática)#Multiplicação por escalares|Multiplicação por escalar]]
|<math>{\displaystyle a{\mathbf {\vec{v}}}}</math>
|Multiplicação de um campo escalar e um campo vectorial, resultando em um campo vectorial.
|-
![[Produto escalar|Produto interno]]
|<math>{\displaystyle {\mathbf {\vec{v}}}_{1}\cdot {\mathbf {\vec{v}}}_{2}}</math>
|Multiplicação de dois campos vectoriais, resultando em um campo escalar.
|-
![[Produto vectorial|Produto externo]]
|<math>{\displaystyle{\mathbf{\vec{v}}}_{1}\times{\mathbf{\vec{v}}}_{2}}</math>
|Multiplicação de dois vectores no <math>{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}</math>, resultando em um (pseudo) campo vectorial.
|}

== Operadores e teoremas ==
<blockquote>''Artigo principal: [[Identidades do cálculo vetorial|Identidades do cálculo vectorial]]''</blockquote>

=== Operadores diferenciais ===
<blockquote>''Artigo principal: [[Gradiente]], [[Divergência|Divergente]], [[Rotacional]] e [[Laplaciano]]''</blockquote>O cálculo vectorial estuda diferentes operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vectoriais, que geralmente são expressados em termos do operador [[del]] (<math>\vec{\nabla}</math>), também conhecido como "nabla". Os três operadores vectoriais elementares são:
{| class="wikitable"
!Operação
!Notação
!Descrição
!Analogia notacional
!Domínio/Imagem
|-
![[Gradiente]]
|<math>\vec{\nabla}f \equiv grad f</math>
|Mensura a taxa e a direção de crescimento em um campo escalar.
|[[Vetor (matemática)#Multiplicação por escalares|Multiplicação por escalar]].
|Produz um campo vectorial a partir de um campo escalar.
|-
![[Divergência|Divergente]]
|<math>\vec{\nabla}\cdot\vec{F} \equiv div \vec{F}</math>
|Mensura o escalar de uma fonte ou sumidouro em um dado ponto de um campo vectorial.
|[[Produto escalar|Produto interno]].
|Produz um campo escalar a partir de um campo vectorial.
|-
![[Rotacional]]
|<math>\vec{\nabla}\times\vec{F}\equiv rot\vec{F}</math>
|Mensura a tendência de rotação em torno de um ponto que encontra-se em um campo vectorial.
|[[Produto vetorial|Produto externo]].
|Produz um campo (pseudo) vectorial a partir de um campo vectorial.
|-
! colspan="5" |<math>f\ denota\ um\ campo\ escalar\ e\ \vec{F}\ denota\ um\ campo\ vectorial</math>
|}

Um campo vetorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar <math>\psi</math> tal que <math>\overrightarrow{F}_{cons} = \nabla\psi</math> . Diz-se, neste caso, que <math>\psi</math> é o potencial associado a F . 

Um campo vetorial F diz-se solenoidal quando <math>\nabla . F = 0</math>. E se F é solenoidal, existe um campo vetorial A tal que <math> F = \nabla \times A </math>.

Um campo vetorial F diz-se irrotacional quando <math>\nabla \times F = 0</math>. E assim sendo conservativo, ou seja, <math>\nabla . F = 0 \ \longrightarrow F = \nabla \times A</math> e <math>\nabla \times F = 0 \longrightarrow \overrightarrow{F}_{cons} = \nabla\psi</math>

Naturalmente, os dois operadores de Laplace também são muito utilizados:
{| class="wikitable"
!Operação
!Notação
!Descrição
!Domínio/Imagem
|-
![[Laplaciano#Definição do laplaciano escalar|Laplaciano]]
|<math>\Delta f\equiv  \vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla} f\equiv \nabla^2 f </math>
|Mensura a diferença entre o valor do campo escalar com a sua média através de esferas infinitesimais.
|Não altera a natureza do campo.
|-
![[Laplaciano#Definição do laplaciano vetorial|Laplaciano vectorial]]
|<math>\nabla^2 \vec{F} \equiv \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot \vec{F}) - \vec{\nabla}\times(\vec{\nabla}\times \vec{F})</math>
|Mensura a diferença entre o valor do campo vectorial e a sua média através de esferas infinitesimais.
|Não altera a natureza do campo.
|-
! colspan="4" |<math>f\ denota\ um\ campo\ escalar\ e\ \vec{F}\ denota\ um\ campo\ vectorial</math>
|}

=== Teoremas de integrais ===
Os três operadores vectoriais elementares possuem teoremas correspondentes que generalizam o [[teorema fundamental do cálculo]] para dimensões superiores:
{| class="wikitable"
!Teorema
!Afirmação
!Descrição
|-
![[Teorema do Gradiente]]
|<math>\int_{L[a\rightarrow b]\subset\mathbb{R}^n}^{} \vec{\nabla}\varphi \cdot d\vec{r} = \varphi(b)-\varphi(a)</math>
|A integral de linha do gradiente de um campo escalar é igual à diferença de valores do campo escalar nos limites de integração. É análogo ao [[teorema fundamental do cálculo]].
|-
![[Teorema da divergência|Teorema da Divergência]]
|<math>\underbrace{ \int\cdots\int_{V\subset\mathbb{R}^n}^{}}_{n\ dimens\tilde{o}es} \vec{\nabla}\cdot\vec{F}\ dV = \underbrace{ \oint\cdots\oint_{\partial V}^{}}_{n-1\ dimens\tilde{o}es} \vec{F}\cdot d\vec{S}</math>
|A integral do divergente de um campo vectorial sobre um sólido <math>n</math> dimensional é igual ao [[Fluxo (física)|fluxo]] do campo vectorial através da superfície fechada de <math>n-1</math> dimensões que delimita o sólido.
|-
!Teorema do Rotacional ou Teorema de Kelvin-Stokes
|<math>\iint_{\Sigma\subset\mathbb{R}^3}^{} \vec{\nabla}\times\vec{F} \cdot d\vec{\Sigma} = \oint_{\partial \Sigma}^{} \vec{F}\cdot d\vec{r}</math>
|A integral do rotacional de um campo vectorial sobre uma superfície no <math>\mathbb{R}^3</math> é igual à [[integral de linha]] do campo vectorial sobre a curva fechada que delimita a superfície.
|-
! colspan="3" |<math>\varphi\ denota\ um\ campo\ escalar\ e\ \vec{F}\ denota\ um\ campo\ vectorial</math>
|}
Em duas dimensões, os teoremas da Divergência e do rotacional reduzem-se ao Teorema de Green:

{| class="wikitable"
!Teorema
!Afirmação
!Descrição
|-
![[Teorema de Green]]
|<math>\iint_{A\subset \mathbb{R}^2}^{}{\biggl({\partial M\over\partial x}-{\partial L\over\partial y}\biggr)}dA = \oint_{\partial A}^{} (L\ dx + M\ dy)</math>
|A integral do divergente ou rotacional de um campo vectorial sobre alguma região do <math>\mathbb{R}^2</math> é igual ao fluxo ou [[integral de linha]] do campo vectorial sobre a [[curva]] fechada que delimita a região.
|-
! colspan="3" |
|}

== Aplicações do cálculo vectorial ==

=== Aproximação linear ===
{{Quote|''Artigo principal: [[Aproximação linear]]''}}A Aproximação linear consiste em um recurso utilizado que substitui uma função de maior complexidade por outra função,  linear, que apresenta uma imagem semelhante na vizinhança do ponto analisado. Dada uma função diferenciável <math>f(x,y)</math> com valores reais, é possível aproximar <math>f(x,y)</math> para <math>(x,y)</math> próximo de <math>(a,b)</math> através da relação <math>f(x,y)\approx f(a,b)+{{\partial f(a,b)\over \partial x}(x-a)}+{{\partial f(a,b)\over \partial y}(y-b)}</math>.

O lado direito representa a equação do plano tangente ao gráfico de <math>z=f(x,y)</math> em <math>(a,b)</math>.

=== Otimização ===
{{Quote|''Artigo principal: [[Otimização]]''}}Para uma função continuamente [[Derivada#Diferenciabilidade|diferenciável]] de múltiplas variáveis reais, um ponto <math>P</math> configura um [[Ponto crítico (funções)#Identificação de pontos críticos de funções|ponto crítico]] se todas as derivadas parciais da função em P são iguais a zero ou, em outras palavras, se o seu gradiente é nulo. Os valores críticos são os valores da função nos [[Ponto crítico (funções)#Identificação de pontos críticos de funções|pontos críticos]].

Se a função é [[Função suave|suave]], ou pelo menos continuamente diferenciável duas vezes, o ponto crítico pode ser tanto um máximo local, um mínimo local ou um [[ponto de sela]]. 

=== Gradiente de um Campo ===
O conceito de gradiente na Física está intrinsecamente associado ao conceito de campos conservativos e de função potencial, na matemática também se define campo vetorial conservativo. No que se refere à Física, temos campos conservativos relacionados a campos que conservam a energia do sistema, ou seja, não há perdas de energia, a exemplo de dissipação por atrito ou efeito joule. Dessa forma, dada uma função potencial <math>\psi(x,y,z)</math>, basta calcular o gradiente do mesmo para encontrar o campo conservativo associado à <math>\psi</math>. <math>\overrightarrow{F}_{cons} = \nabla\psi</math> .

Sendo <math>\psi</math> uma função explícita de x,y,z

<math>\overrightarrow{F}_{cons}(x,y,z) = (d\psi/dx)\overrightarrow{i}+(d\psi/dy)\overrightarrow{j}+(d\psi/dz)\overrightarrow{k}</math>

==== - Gradiente de Potenciais Centrais ====
Muitos modelos de potenciais físicos são considerados centrais, ou seja, possuem uma função potencial <math>\psi</math>que corresponde a uma função implícita de algumas variáveis (<math>\psi(x,y,z)</math>=<math>\psi(r)</math>), tomando elas como x,y,z, podemos aplicar [[regra da cadeia]] para chegar as seguintes expressões:

<math>{d\psi \over dx} = {d\psi \over dr}*{dr \over dx} = \psi'(r)*{\partial^2(x^2+y^2+z^2)^{1/2}\over\partial x}</math><math>=\psi'(r)*[(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}]*x => {d\psi(r) \over dx} = \psi'(r)*x/r</math>

A soma das derivadas em relação as componentes da função retoma o gradiente da função:

<math>\nabla\psi(r) = \left  (\frac{\psi'(r)}{r} \right )*(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k})</math>

<math>\nabla\psi(r) = \psi'(r)*\widehat{r}</math>

=== Modelo de Condução Térmica<ref>{{citar web|url=http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM524/aula_em524_pdf/aula-23.pdf|titulo=TRANSFERÊNCIA DE CALOR
POR CONDUÇÃO|data=|acessodata=04/07/2019|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref> ===
O fluxo de calor q” (taxa de calor por unidade de área) depende da área onde ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial.

A taxa de calor por unidade de área que cruza uma superfície cuja normal é n, é função do gradiente de temperatura, <math>{dT \over dn}</math>, e da constante de proporcionalidade, k .

<math>\vec\dot{q''}=\vec\dot\frac{Q}{A} = -k \ {\partial T \over \partial n }</math>

Como temos fluxo de calor na direção x e na direção y podemos escrever: 

<math>\vec\dot{q''} = - \vec{i}\vec\dot{qx''} - \vec{j}\vec\dot{qy''}</math>

<math>\vec\dot{q''}=\vec\dot\frac{Q}{A} = - \vec{i}k \ {\partial T \over \partial x } - \vec{j}k \ {\partial T \over \partial y }</math>

E dessa forma chegamos a equação  de Fourier para fluxo de calor. Com o fluxo dependendo do gradiente de temperatura e da constante k:

<math>\vec\dot{q''} = - k \nabla T</math>

Utilizando o balanço de energia abaixo:

<math>\dot{E} \ entra - \dot{E} \ sai + \dot{E} \ gerado = \dot{E} \ acumulado</math>

Se o sistema se encontra em regime permanente (<math>\dot{E} \ acumulado = 0</math>) e não possui geração interna de calor (<math>\dot{E} \ gerado = 0</math>) temos as seguintes constatações: 

<math>\nabla . \vec\dot{q''}=0</math>

<math>\vec\dot{q''} = - k \nabla T </math>

<math>\nabla . (-k\nabla T ) = \nabla^2 T = 0</math>

<br />

=== Modelo de Transferência de massa ===
A [[equação diferencial]] governante é obtida fazendo um balanço diferencial sobre um elemento cartesiano.

{taxa molar de a que entra no volume de controle} - {taxa molar de a que sai do volume de controle} + {taxa molar de a gerada no volume de controle} = { taxa molar de a que acumula no volume de controle}.

Dessa forma, temos:

<math> (N_{a,x|x}dydz) - (N_{a,x|x+dx}dydz) + (N_{a,y|y}dxdz) - (N_{a,y|y+dy}dxdz) + (N_{a,z|z}dxdy) - (N_{a,z|z+dz}dxdy) + Ra'''dxdydz= \frac {\partial C_{a}}{\partial t}dxdydz </math>

Onde:

* <math>  Ra'''dxdydz </math> é o termo de geração de massa (reação química);
* <math> \frac {\partial C_{a}}{\partial t}dxdydz </math> é o termo de acúmulo;
* <math> N_{a} </math> é o fluxo molar de a.

Dividindo pelo volume <math> dxdydx </math> e fazendo o limite pra zero, temos:

<math> \lim_{dx\longrightarrow 0} \frac{(N_{a,x})-(N_{a,x})_{x+dx}}{dx} + \lim_{dy\longrightarrow 0} \frac{(N_{a,y})-(N_{a,y})_{y+dy}}{dy}+ \lim_{dz\longrightarrow 0} \frac{(N_{a,z})-(N_{a,z})_{z+dz}}{dz}+ \lim _{dV\longrightarrow0}R_{a}'''= \lim_{dV\longrightarrow0} \frac {\partial C_{a}} {\partial t} </math>

Da definição de derivada, podemos concluir:

<math> -\frac{dN_{a,x}}{dx}-\frac{dN_{a,y}}{dy}- \frac {dN_{a,z}}{dz}+R_{a}''' = \frac {\partial C_{a}}{\partial t} </math>

Onde podemos simplificar:

<math> -\frac{dN_{a,x}}{dx}-\frac{dN_{a,y}}{dy}- \frac {dN_{a,z}}{dz} = -\nabla.N_{a} </math>

Assim, temos a Equação governante da Transferência de Massa:

'''<math> -\nabla.N_{a} + R_{a}'''=\frac {\partial C_{a}}{\partial t} </math>'''

'''Condições iniciais'''

* Em t=0,  <math> \forall z  </math>, <math> C_{a}=C_{a,i} </math>;
* Em t=0,  <math> \forall z  </math>, <math> y_{a}=y_{a,i} </math>;

onde <math> y </math> é a fração molar de a.

Ou seja, as condições iniciais são de concentração e fração molar constante.

'''Condições de contorno'''

a) Condição de contorno de primeira ordem (especifica a variável)

Em <math> z=0 </math> e t>0, <math> y_{a}=y_{a,o} </math>, ou <math> C_{a}=C_{a,0} </math> (conhecidos e constantes):

* Se a solução é pura de a: <math> y_{a,0}=\frac {PV_{sat.a}}{P} </math>, e <math> C_{a,0}=\frac {PV_{sat.a}}{RT} </math>;
* Se a solução é mistura de a e b: <math> y_{a,0}=\frac {P_{a}}{P} </math>, e <math> C_{a,0}=\frac {P_{a}}{RT} </math>.

b) Condição de contorno de impermeabilidade (em superfícies isoladas ou simétricas)

Em <math> z=0 </math> e t>0, <math>\frac{dy_{a}}{dz}|_{z=0}=0</math>

c) Condição de contorno de superfície reativa

Para uma reação química qualquer <chem>a + c -> 2b</chem>:

* Se a reação é instantânea, ou seja ocorre rapidamente em  <math> z=0 </math>, dizemos que todo componente a é consumido para formam B, isto é <math> y_{a,0}=0 </math> e <math> C_{a,0}=0 </math>. A estequiometria da reação vai fornecer a relação entre <math> N_{a,z} </math> e

<math> N_{b,z} </math>, logo para a reação hipotética:

<math> N_{a,z}=-\frac{N_{b,z}}{2} </math>, <math> N_{a,z}=N_{c,z} </math> e <math> N_{b,z}=-2N_{a,z} </math>

* Se a reação química é lenta, logo, todo componente a não é consumido na fronteira, precisamos conhecer a cinética da reação:

<math>N_{a,z}|_{z=0}=-\kappa_nC_{a,0}^{n}</math>, onde <math>n</math> é a ordem de reação e <math>\kappa _n </math> é a constante da reação.

d) Condição de contorno convectiva em uma superfície<br />Em <math> z=0 </math> e t>0, <math>N_{a,z}|_{z=0}=\kappa_{c}(C_{a,z}-C_{\infty})</math>

=== Física e engenharia ===
Cálculo vectorial é especialmente útil no estudo de:
* [[Centro de massas|Centro de massa]]
* [[Teoria clássica de campos|Teoria clássica dos campos]]
* [[Cinemática]]
* [[Equações de Maxwell]]
*[[Teoria eletromagnética|Teoria Eletromagnética]]
*[[Mecânica dos fluidos|Mecânica dos Flúidos]]
*[[Condução térmica]]

== Ver também ==
*[[Álgebra linear]]
*[[Teorema de Stokes]]
*[[Teorema da Divergência]]
*[[Identidades de Green]]
*[[Integral de superfície]]
*[[Tensor]]

== Bibliografia ==
* {{Citar livro|sobrenome=Caparrini|nome=Sandro|título=The discovery of the vector representation of moments and angular velocity.|subtítulo=Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.|idioma=inglês|edição=|local=|editora=|ano=2002|páginas=|volumes=|isbn=|acessodata=}}
* {{Citar livro|sobrenome=Crowe|nome=Michael J.|título=A History of Vector Analysis|subtítulo=The Evolution of the Idea of a Vectorial System|idioma=inglês|edição=Reprint edition|local=|editora=Dover Publications|ano=1967|páginas=|volumes=|isbn=0-486-67910-1|acessodata=}}
* {{Citar livro|sobrenome=Marsden|nome=J. E.|título=Vector Calculus|subtítulo=|idioma=inglês|edição=|local=|editora=W. H. Freeman & Company|ano=1976|páginas=|volumes=|isbn=0-7167-0462-5|acessodata=}}
* Chen-To Tai (1995). ''[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7868 A historical study of vector analysis]''. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
* Barry Spain (1965). [[iarchive:VectorAnalysis|Vector Analysis]]. 2<sup>nd</sup> edition.
* Chen-To Tai (1995). ''[http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/7868 A historical study of vector analysis]''. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.
*Irene Strauch, 2008, Porto Alegre. Análise Vetorial. Porto Alegre: Departamento de Matemática Ufrgs, 2008. 
*Incropera, Frank, 2014. ''Fundamentos de Transferência de Calor e Massa.'' Editora LTC.

{{Referências}}
* ''Esta página foi traduzida e adaptada da [[:en:Vector_calculus|página análoga norte-americana]].''
* Projeto [https://www.ufrgs.br/reamat/index.html REAMAT]. [http://www.ufrgs.br/ufrgs/inicial Universidade Federal do Rio Grande do Sul]. 
* <math>\times</math>TRANSFERÊNCIA DE CALOR POR CONDUÇÃO. http://www.fem.unicamp.br/~franklin/EM524/aula_em524_pdf/aula-23.pdf<

{{Análise}}
{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Ciência|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Calculo Vetorial}}
[[Categoria:Cálculo vetorial]]