Mostrar código-fonte de Círculo

{{ver desambig|redir=Circular||Circular (desambiguação)}}
{{ver desambig|este=a reunião da circunferência com sua região interna|o contorno de um círculo|circunferência}}
[[Imagem:Circle-withsegments.svg|thumb|right|Uma [[circunferência]] com
{{linha de legenda|black solid 3px|comprimento da circunferência ''C''}}
{{linha de legenda|blue solid 2px|diâmetro ''D''}}
{{linha de legenda|red solid 2px|raio ''R''}}
{{linha de legenda|green solid 2px|centro ou origem ''O''}}]]
Na [[geometria]], um '''círculo''', por vezes chamado de '''disco''',{{TagNota|Em inglês, o termos utilizado é ''{{lang|en|disk}}'', de forma que em alguns livros, especialmente aqueles direcionados para o ensino superior, utilizem a palavra disco para se referir à figura, como pode ser observado em Geometria euclidiana plana, de [[João Lucas Marques Barbosa|Barbosa]],<ref>{{citar livro |ultimo=Barbosa |primeiro=João Lucas Marques |data=Agosto de 1997 |anooriginal=1995 |titulo=Geometria Euclidiana Plana |url=https://archive.org/details/geometriaeuclidianaplanajoaolucasempdfescrito/page/n19/mode/2up |local=Rio de Janeiro, RJ |editora=Sociedade Brasileira de Matemática |pagina=12 |isbn=978-85-85818-02-9 |citação=Todo ponto C que satisfaz a desigualdade ''{{overline|AC}}'' < ''r'' é dito estar dentro do círculo. Se, ao invés, ''{{overline|AC}}'' > ''r'', então C é dito estar fora do círculo. O conjunto dos pontos que estão dentro do círculo é chamado de ''disco'' de raio ''r'' e centro A.}}</ref> ou em Curso de análise, de [[Elon Lages Lima|Lima]].<ref>{{citar livro |ultimo=Lima |primeiro=Elon Lages |data=2014 |titulo=Curso de análise |local=Rio de Janeiro, RJ |editora=IMPA |pagina=19 |isbn=978-85-244-0375-0 |citação=Agora consideremos o disco D de centro na origem e raio 1. Temos D = {(x, y) ∈ '''R'''<sup>2</sup>; x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> ≤ 1}.}}</ref> No entanto, no ensino básico, a palavra utilizada é círculo, como pode ser observado nos livros didáticos das editoras [[FTD]],<ref>{{citar livro |ultimo1=Giovannni Jr. |primeiro1=José Ruy |ultimo2=Castrucci |primeiro2=Benedicto |data=2009 |titulo=A conquista da Matemática |volume=8 |local=São Paulo, SP |editora=FTD |pagina=330 |isbn=978-85-322-7013-9 |citação=A região da circunferência com a sua região interna denomina-se '''círculo'''.}}</ref> Editora do Brasil,<ref>{{citar livro |ultimo1=Andrini |primeiro1=Álvaro |ultimo2=Vasconcellos |primeiro2=Maria José |data=2015 |titulo=Praticando Matemática |volume=9 |local=São Paulo, SP |editora=Editora do Brasil |pagina=225 |isbn=978-85-10-05898-8 |citação=Juntando à circunferência os pontos do seu interior, obtemos um círculo.}}</ref> Edições SM,<ref>{{citar livro |ultimo1=Chavante |primeiro1=Eduardo Rodrigues |data=2015 |titulo=Convergências: Matemática |volume=9 |local=São Paulo, SP |editora=Edições SM |pagina=182 |isbn=978-85-418-0967-2 |citação= '''Círculo''' é uma figura geométrica plana correspondente à união de uma circunferência com todos os pontos do seu interior.}}</ref> e [[Moderna]].<ref>{{citar livro |data=2007 |titulo=Projeto Araribá: Matemática |volume=8 |local=São Paulo, SP |pagina=227 |isbn=978-85-16-05518-9 |editora=Círculo é a região do plano formada por uma circunferência e sua região interna.}}</ref><ref>{{citar livro |ultimo1=Bianchini |primeiro1=Edwaldo |data=2018 |titulo=Matemática — Bianchini |volume=9 |local=São Paulo, SP |editora=Moderna |pagina=287 |isbn=978-85-16-11381-0}}</ref>}} é a região em um plano delimitada por uma [[circunferência]]. Um círculo é considerado fechado se contiver a [[circunferência]] que constitui seu limite, e aberto se não contiver.<ref>{{citation|título=Intuitive Concepts in Elementary Topology|series=Dover Books on Mathematics|primeiro=B. H.|último=Arnold|publicado=Courier Dover Publications|ano=2013|isbn=9780486275765|página=58|url=https://books.google.com/books?id=TsbDAgAAQBAJ&pg=PA58}}.</ref> Um círculo de raio {{mvar|r}} e centro {{mvar|O}} é geralmente denotado como {{math|''C''(''O''; ''r'')}}.

== Etimologia ==
A palavra círculo deriva do grego κίρκος/κύκλος (''kirkos''/''kuklos''), que é uma metátese do grego homérico κρίκος (''krikos''), que significa "aro" ou "anel".<ref>{{citar web |url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos |titulo=krikos |arquivourl=https://web.archive.org/web/20131106164504/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.04.0057%3Aentry%3Dkri%2Fkos|arquivodata=2013-11-06 |primeiro1=Henry George |ultimo1=Liddell |primeiro2=Robert |ultimo2=Scott |publicado=A Greek-English Lexicon |website=Perseus}}</ref> As origens das palavras [[circo]] e [[wiktionary:circuito|circuito]] estão intimamente relacionadas.

== Fórmulas ==
Em coordenadas cartesianas, o círculo aberto de centro {{math|''O''(a, b)}} e o raio {{mvar|R}} é dado pela fórmula:<ref name="odm">{{citation|título=The Concise Oxford Dictionary of Mathematics|primeiro1=Christopher|último1=Clapham|primeiro2=James|último2=Nicholson|publicado=Oxford University Press|ano=2014|isbn=9780199679591|url=https://books.google.com/books?id=c69GBAAAQBAJ&pg=PA138|página=138}}.</ref>

<math display="block">C(O; r)=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}</math>

enquanto o círculo fechado com o mesmo centro e raio é dado por:

<math display="block">\overline{C}(O; r)=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\le R^{2}\}.</math>

== Propriedades ==
O círculo tem [[Simetria circular e esférica|simetria circular]].<ref>{{citar livro|url=https://archive.org/details/iconssymmetries0000altm|título=Icons and Symmetries|último=Altmann|primeiro=Simon L.|data=1992|publicado=Oxford University Press|isbn=9780198555995|acessourl=|citação=disc circular symmetry.|língua=en}}</ref>

O círculo aberto e o fechado não são topologicamente equivalentes (ou seja, não são [[Homeomorfismo|homeomórficos]]), pois têm propriedades topológicas diferentes um do outro. Por exemplo, todo círculo fechado é [[Espaço compacto|compacto]], ao passo que todo círculo aberto não é compacto.<ref>{{citar livro|título=New Foundations for Physical Geometry: The Theory of Linear Structures|primeiro=Tim|último=Maudlin|publicado=Oxford University Press|ano=2014|isbn=9780191004551|página=339|url=https://books.google.com/books?id=kEbbAgAAQBAJ&pg=PA339}}.</ref> Entretanto, do ponto de vista da topologia algébrica, eles compartilham muitas propriedades: ambos são [[Espaço contráctil|contraíveis]]<ref>{{citar livro|título=Combinatorial Group Theory: A Topological Approach|volume=14|series=London Mathematical Society Student Texts|primeiro=Daniel E.|último=Cohen|publicado=Cambridge University Press|ano=1989|isbn=9780521349369|url=https://books.google.com/books?id=STc4AAAAIAAJ&pg=PA79|página=79}}.</ref> e, portanto, são [[Homotopia#Equivalência homotópica|homotopicamente equivalentes]] a um único ponto. Isso implica que seus [[Grupo fundamental|grupos fundamentais]] são triviais e todos os grupos de [[Homologia (matemática)|homologia]] são triviais, exceto o 0, que é isomórfico a {{math|'''Z'''}}. A [[característica de Euler]] de um ponto (e, portanto, também a de um círculo fechado ou aberto) é 1.{{TagNota|Em dimensões maiores, a característica de Euler de uma esfera fechada permanece igual a +1, mas a característica de Euler de uma esfera aberta é +1 para esferas de dimensão par e -1 para esferas de dimensão ímpar.<ref>{{citar livro|título=Introduction to Geometric Probability|primeiro1=Daniel A.|último1=Klain|primeiro2=Gian-Carlo|último2=Rota|autorlink2=Gian-Carlo Rota|páginas=46–50|publicado=Cambridge University Press|series=Lezioni Lincee|ano=1997}}</ref>}}

Todo mapa contínuo do círculo fechado para ele mesmo tem pelo menos um [[ponto fixo]] (não é necessário que o mapa seja [[Função bijectiva|bijetivo]] ou mesmo [[Função sobrejectiva|sobrejetivo]]); esse é o caso {{math|1=''n'' = 2}} do [[teorema do ponto fixo de Brouwer]].{{sfn|Arnold|2013|p=132}} A afirmação é falsa para o círculo aberto:{{sfn|Arnold|2013|loc=ex. 1|p=135}} considere, por exemplo, a função

<math display="block">f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)</math>

que mapeia cada ponto do [[círculo unitário]] aberto para outro ponto no circulo unitário aberto à direita do ponto dado. Mas para o círculo unitário fechado, ele fixa cada ponto no semicírculo {{math|1=x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1, x > 0}}.

== Como uma distribuição estatística ==
[[Imagem:Discdist.svg|miniaturadaimagem|A distância média de um local a partir de pontos em um círculo]]
Uma distribuição uniforme em um círculo unitário é ocasionalmente encontrada em [[estatística]]. Ela ocorre mais comumente em [[investigação operacional]] na matemática do planejamento urbano, onde pode ser usada para modelar uma população dentro de uma cidade. Outros usos podem tirar proveito do fato de ser uma distribuição para a qual é fácil calcular a probabilidade de que um determinado conjunto de desigualdades lineares seja satisfeito. (As [[Distribuição normal|distribuições gaussianas]] no plano exigem [[Integração numérica|quadratura numérica]]).

"Um argumento engenhoso por meio de funções elementares" mostra que a [[distância euclidiana]] média entre dois pontos no círculo é {{math|{{sfrac|128|45{{pi}}}} ≈ 0.90541}},<ref name="lew">{{citar periódico |ultimo1=Lew |primeiro1=John S. |ultimo2=Frauenthal |primeiro2=James C. |ultimo3=Keyfitz |primeiro3=Nathan |ISSN=00361445 |url=http://www.jstor.org/stable/2030357 |periódico=SIAM Review |número=3 |páginas=584–592 |publicado=Society for Industrial and Applied Mathematics |título=On the Average Distances in a Circular Disc |volume=20 |ano=1978}}</ref> enquanto a integração direta em [[coordenadas polares]] mostra que a distância média ao quadrado é 1.

Se for dado um local arbitrário a uma distância {{mvar|q}} do centro do círculo, também é interessante determinar a distância média {{math|''b''(''q'')}} dos pontos na distribuição até esse local e o quadrado médio dessas distâncias. O último valor pode ser calculado diretamente como {{math|q<sup>2</sup> + {{sfrac|1|2}}}}.

=== Distância média até um ponto interno arbitrário ===
[[Imagem:Cjcdiscin.svg|thumb|x170px|A distância média de um disco até um ponto interno]]
Para encontrar a distância {{math|''b''(''q'')}}, precisamos analisar separadamente os casos em que a localização é interna ou externa, ou seja, em que {{math|''q'' ≶ 1}}, e descobrimos que em ambos os casos o resultado só pode ser expresso em termos de [[Integral elíptica|integrais elípticas]] completas.

Se considerarmos uma localização interna, nosso objetivo (olhando para o diagrama) é calcular o valor esperado de {{mvar|r}} sob uma distribuição cuja densidade é {{math|{{sfrac|1|π}}}} para {{math|0 &le; ''r'' &le; ''s''(θ)}}, integrando em coordenadas polares centradas no local fixo para o qual a área de uma célula é {{math|''r'' d''r'' dθ}}&thinsp;; portanto

<math display="block">b(q) = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} \textrm{d}\theta \int_0^{s(\theta)} r^2 \textrm{d}r  = \frac{1}{3\pi} \int_0^{2\pi} s(\theta)^3 \textrm{d}\theta.</math>

Aqui {{math|''s''(θ)}} pode ser encontrado em termos de {{mvar|q}} e {{math|θ}} usando a [[lei dos cossenos]]. As etapas necessárias para avaliar a integral, juntamente com várias referências, podem ser encontradas no artigo de Lew ''et al''.;<ref name="lew" /> o resultado é que

<math display="block">b(q) = \frac{4}{9\pi}\biggl\{ 4(q^2-1)K(q^2) + (q^2+7)E(q^2)\biggr\} </math>

onde {{mvar|K}} e {{mvar|E}} são integrais elípticas completas do primeiro e segundo tipos.<ref>''[[Handbook of Mathematical Functions]]'', 17.3.</ref> {{math|''b''(0) {{=}} {{sfrac|2|3}}}}; {{math|''b''(1) {{=}} {{sfrac|32|9π}} ≈ 1.13177}}.

=== Distância média até um ponto externo arbitrário ===
[[Imagem:Cjcdiscex.svg|miniaturadaimagem|A distância média de um círculo até um ponto externo]]
Voltando a um local externo, podemos configurar a integral de maneira semelhante, desta vez obtendo

<math display="block">b(q) = \frac{2}{3\pi} \int_0^{\textrm{sin}^{-1}\tfrac{1}{q}} \biggl\{ s_{+}(\theta)^3-s_{-}(\theta)^3\biggr\} \textrm{d}\theta</math>

onde a lei dos cossenos nos diz que {{math|''s''<sub>+</sub>(θ)}} e {{math|''s''<sub>–</sub>(θ)}}  são as raízes para {{mvar|s}} da equação

<math display="block">s^2-2qs\,\textrm{cos}\theta+q^2\!-\!1=0.</math>

Portanto

<math display="block">s^2-2qs\,\textrm{cos}\theta+q^2\!-\!1=0.</math>

Podemos substituir {{math|''u'' {{=}} ''q'' sinθ }} para obter

<math display="block">s^2-2qs\,\textrm{cos}\theta+q^2\!-\!1=0.</math>

usando integrais padrão.<ref>Gradshteyn e Ryzhik 3.155.7 e 3.169.9, levando em conta a diferença de notação de ''Handbook of Mathematical Functions''. (Compare A&#x26;S 17.3.11 com G&#x26;R 8.113.) Este artigo segue a notação da A&S.</ref>

Portanto, novamente {{math|''b''(1) {{=}} {{sfrac|32|9π}}}} e também<ref>''Handbook of Mathematical Functions'', 17.3.11 et seq.</ref>

<math display="block">\lim_{q \to \infty} b(q) = q + \tfrac{1}{8q}.</math>

== Ver também ==
*[[Coroa circular]]
*[[Bola (matemática)]]
*[[Segmento circular]]

{{Notas e referências}}

{{Portal3|Matemática|Geometria}}

[[Categoria:Círculos| ]]
[[Categoria:Desenho geométrico]]
[[Categoria:Geometria euclidiana plana]]