Mostrar código-fonte de Cópula (estatística)

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{{esboço-matemática}}
Em [[estatística]], uma função '''cópula''' é usada como método geral para formular [[distribuições multivariadas]] de maneira que diversos tipos gerais de dependência possam ser representados <ref name = "Nelsen">{{citar livro | autor = Roger B. Nelsen | título = An Introduction to Copulas | idioma = inglês |isbn= 0-387-98623-5  | ano = 1999 }}</ref>

== Ideia básica ==
Considere duas variáveis aleatórias <math>X</math> e <math>Y</math> com [[distribuição cumulativa conjunta]] dada por <math>F_{X,Y}(x,y)</math> e distribuições cumulativas [[distribuições marginais|marginais]] dadas por <math>F_{X}(x)</math> e  <math>F_{Y}(y)</math>. Segundo o [[teorema de Sklar]],<ref name="Nelsen"/> para qualquer par de variáveis aleatórias existe uma função <math> C(u,v) </math> tal que:

: <math>F_{X,Y}\left(x,y\right) = C(F_{X}(x),F_{Y}(y))</math>

Sempre é possível fazer a transformação de variáveis

: <math> U = F_{X}\left(X\right)</math> e <math> V = F_{Y}\left(Y\right)</math>,

de forma que U e V possuem ambas distribuições marginais [[distribuição uniforme|uniformes]] no intervalo <math>[0,1]</math>. A distribuição cumulativa conjunta de U e V é dada pela própria função cópula:

: <math> F_{U,V}\left(u,v\right) = C(u,v) </math>

A função cópula C(u,v) contém todas as informações da [[distribuição de probabilidade]] que independem das distribuições marginais. Dessa forma, pode-se dizer que as cópulas codificam a dependência entre as variáveis. Com essa construção temos que a distribuição conjunta de variáveis aleatórias podem ser decompostas em distribuições marginais de cada uma das variáveis, que contém todas as informações sobre cada uma das variáveis correspondentes, e cópula, que contém toda a informação de como as variáveis dependem uma das outras.

== Definição formal ==

Uma '''cópula''' é uma [[distribuição cumulativa conjunta]] multivariada no [[cubo unitário]] n-dimensional <math>[0,1]^n</math> tal que todas as [[distribuições marginais]] são uniformes no intervalo <math>[0,1]</math>:

: <math> C\left(u_{1}, u_{2},\ldots,u_{n}\right)= C(\mathbf{u}) = \mathrm{Prob}\left(U_{1}<u_{1}, U_{2}<u_{2},\ldots,U_{n}<u_{n}\right) </math> com <math> u_{n} \in [0,1] </math>,
: <math> \operatorname{Prob}\left(U_{i} < u_{i}\right) = u_{i} </math> para todo <math> i \in \{1,2, \ldots, n\}</math>.

De maneira alternativa, uma função <math>C:\left[0,1\right]^n \rightarrow [0,1]</math> é dita uma cópula em n dimensões se:

: <math> C(\mathbf{u}) = 0 </math> sempre que ao menos uma das componentes de <math>\mathbf{u}</math> for nula,
: <math> C(\mathbf{u}) = u_{i} </math> sempre que todas as componentes de <math>\mathbf{u}</math> são iguais a 1, exceto a i-ésima, que é igual a <math>u_{i}</math>,

: <math> C(\mathbf{u})</math> é n-crescente, ou seja, todo <math>B=\times_{i=1}^{n}[x_i,y_i]\subseteq [0,1]^n</math> possui C-volume maior ou igual a 0, com C-volume definido por <math>\sum_{\mathbf z\in \times_{i=1}^{n}\{x_i,y_i\}} (-1)^{\operatorname{card}\{k\mid z_k=x_k\}} C(\mathbf z)</math>.

=== Caso n=2 ===
No caso bivariado, a função <math>C\left(u,v\right): [0,1]\times[0,1] \rightarrow [0,1] </math> é denominada uma cópula se:

: <math> C(0,v) = C\left(u,0\right) = 0 </math>,
: <math> C\left(u,1\right) = u </math> e  <math> C\left(1,v\right)=v</math>,
: Se <math>u_{1}\le u_{2}</math> e <math>v_{1}\le v_{2}</math>, então <math> C\left(u_{2},v_{2}\right) - C\left(u_{1},v_{2}\right) - C\left(u_{2},v_{1}\right) + C\left(u_{1},v_{1}\right) \ge 0</math>

== Limites de Fréchet-Hoeffding ==
As funções <math> W(u,v) = \max(0, u+v-1)</math> e <math> M(u,v) = \min(u,v) </math> são cópulas bivariadas e possuem a propriedade de limitar por cima e por baixo todas as outras cópulas possíveis. Assim, se <math> C(u,v) </math> é uma cópula em 2 dimensões, então:

: <math> W\left(u,v\right) \le C(u,v) \le M(u,v) </math> para quaisquer u e v no [[intervalo unitário]].

No caso multivariado também existem cópulas limítrofes dadas por:

:<math> W(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}) = \max \left(1-n+\sum_{i=1}^{n}u_{i},0\right)</math> e <math>M(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}) = \min \left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)</math>,

de tal forma que <math>W(\mathbf{u}) \le C(\mathbf{u}) \le M(\mathbf{u})</math>.

== Densidade de Cópula ==

A função densidade de probabilidade é dada por:

:<math> p_{X,Y}(x,y) =  \frac{\partial^2F_{X,Y}\left(x,y\right)}{\partial x \partial y} = c(F_{X}(x), F_{Y}(y)) p_{X}(x) p_{Y}(y)</math>

onde <math>p_{X}(x)</math> e <math>p_{Y}(y)</math> são as funções densidade de probabilidade marginais de X e Y respectivamente e a função:

:<math>c(u,v) = \frac{\partial^2}{\partial u \partial v}C(u,v)</math>

é dita a densidade de cópula. A densidade de cópula é também a função densidade de probabilidade conjunta para as variáveis U e V definidas acima.

== Cópulas importantes e famílias de cópulas ==
Nas aplicações em finanças e [[inferência estatística]] pode-se famílias de distribuições multivariadas construídas com cópulas parametrizadas por um ou mais parâmetros a serem encontrados através dos métodos estabelecidos de inferência ([[método dos momentos]], [[máxima verossimilhança]], [[estimação bayesiana]] de parâmetros, etc.). Abaixo algumas famílias conhecidas de cópulas são apresentadas com suas propriedades mais importantes.

=== Cópula trivial === 
Além das cópulas de Fréchet-Hoeffding, que indicam dependência máxima positiva e negativa, uma terceira cópula importante é aquela que indica dependência estatística nula, a cópula trivial ou cópula produto:

:<math>C\left(u,v\right) = uv </math>

Essa cópula é a que surge quando as variáveis são [[dependências estatística|estatisticamente independentes]], ou seja, quando a distribuição conjunta pode ser escrita como um produto das distribuições marginais. No caso multivariado a cópula produto é dada por:

:<math>C\left(\mathbf{u}\right) = \prod_{i=1}^{n} u_{i} </math>

=== Cópula Normal ou Gaussiana ===
A [[distribuição normal multivariada]] pode ser usada para construir uma família de cópulas através da mudança de variáveis indicada na introdução. Dessa forma se obtém uma família de cópulas parametrizadas pelos <math>n(n-1)/2</math> coeficientes independentes da matriz de correlação. A cópula gaussiana ou normal será portanto dada por:

: <math> C_{\hat{\Sigma}} (\mathbf{u}) = \frac{1}{\left[2\pi\det(\hat{\Sigma})\right]^{\frac{n}{2}}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}\left(u_{1}\right)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}\left(u_{2}\right)}\cdots\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}\left(u_{n}\right)}dx_{1} dx_{2}\ldots dx_{n} \exp\left[-\frac{1}{2} \mathbf{x}^{\mathrm{T}}\hat{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}\right]</math>

em que:

* <math>
\hat{\Sigma} = \begin{bmatrix}
    1 & \rho_{1,2} &  \cdots & \rho_{1,n} \\
    \rho_{2,1} & 1 & \cdots & \rho_{2,n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    \rho_{n,1} & \rho_{n,2} & \cdots & 1
    \end{bmatrix}
</math> é a matriz de correlação que parametriza a cópula e

* <math>\Phi(x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)</math> é a [[distribuição cumulativa]] de uma variável com [[distribuição normal]] padronizada e <math>\operatorname{erf}(x)</math> é a [[função erro]].

No caso bivariado ficamos com:

:<math>
C_{\rho}\left(u,v\right) = \frac{1}{2 \pi\sqrt{1-\rho^2}} \int_{-\infty}^{\Phi^{-1}\left(u\right)}dx\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}\left(v\right)}dy\exp \left (-
\frac{1}{2(1-\rho^2)}  \left [{x^2+y^2} -2\rho xy  \right ] \right )
</math>

onde <math>\rho</math> é a correlação que parametriza a cópula.

A cópula normal se reduz à cópula produto quando a matriz de correlação é diagonal, i. e., quando todas as correlações são nulas.

=== Cópula t ===
Assim como a cópula normal pode ser definida a partir da distribuição normal multivariada, a [[distribuição t de Student]] multivariada dá origem à cópula t.<ref>{{citar jornal | autor = Demarta S | coautores = McNeil A J | título = The t copula and related copulas | jornal = International Statistical Review | volume = 73 | numero = 1| paginas = 111-129 | ano = 2005 | url = http://www.ma.hw.ac.uk/~mcneil/ftp/tCopula.pdf | idioma = inglês}}</ref> A cópula t é dada por:

:<math> C_{\hat{\Sigma},\nu} (\mathbf{u}) = \frac{\Gamma(\frac{\nu+d}{2})}{\Gamma(\frac{\nu}{2})\sqrt{(\pi\nu)^{d}|\hat{\Sigma}|}}\int_{-\infty}^{t_{\nu}^{-1}\left(u_{1}\right)}dx_{1} \int_{-\infty}^{t_{\nu}^{-1}\left(u_{2}\right)}dx_{2} \ldots \int_{-\infty}^{t_{\nu}^{-1}\left(u_{n}\right)}dx_{n}\left[1+ \frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\hat{\Sigma}^{-1}\mathbf{x}}{\nu}\right]^{-\frac{\nu+d}{2}}</math>,

em que:
*<math>\hat{\Sigma}</math> é a matriz de correlações, como no caso da cópula normal,
*<math>\nu</math> é o parâmetro conhecido como número de graus de liberdade da distribuição t e
*<math>t_{\nu}(x)</math> é a distribuição cumulativa de uma distribuição Student t univariada padronizada.

Quando o número de graus de liberdade <math>\nu</math> é muito grande, a cópula t fica cada vez mais próxima da cópula gaussiana, ficando idêntica à mesma no limite <math>\nu \rightarrow \infty</math>.

=== Cópulas arquimedianas ===
Algumas cópulas podem ser escritas na forma:

:<math> C(u,v) = \phi\left(\phi^{-1}(u) + \phi^{-1}(v)\right)</math>

e são chamadas cópulas arquimedianas com função geradora <math>\phi(x)</math>. Qualquer função pode ser a [[função geradora]] de uma cópula arquimediana se satisfizer os critérios:
:<math> \phi \left(0\right) = 1 </math>
:<math> \lim_{x\rightarrow 0}\phi(x) = \infty </math>
:<math> \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x} < 0 </math>
:<math> \frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}x^2} > 0</math>

Cópulas dessa classe são usadas extensamente em [[econometria]], finanças e estatística por possuírem expressões analíticas extremamente simples para a maioria de seus momentos e parâmetros de dependência.

A cópula produto é uma cópula arquimediana com função geradora <math> \phi(x) = -\ln(x) </math>.
 {| class="wikitable"
|+  Mais importantes funcções geradoras para cópulas arquimedianas. <ref>Jan Marius Hofert (2010): ''Sampling Nested Archimedean Copulas
with Applications to CDO Pricing''. Dissertation at the University of Ulm</ref>
|-
! name !! função geradora <math>\,\phi(t)</math> !!  inversa da geradora <math>\,\phi^{-1}(t)</math> !! parameter
|-
|  Ali-Mikhail-Haq || <math>\frac{1-\theta}{\exp(t)-\theta}</math>  ||  <math>\log\left(\frac{1-\theta+\theta t}{t}\right)</math> || <math>\theta\in[0,1)</math>
|-
|  [[David Clayton|Clayton]]<ref>[[David Clayton|David G. Clayton]] (1978), "A model for association in bivariate life tables and its application in epidemiological studies of familial tendency in chronic disease incidence", ''Biometrika'' '''65''', 141–151. [http://links.jstor.org/sici?sici=0006-3444%28197804%2965%3A1%3C141%3AAMFAIB%3E2.0.CO%3B2-Y JSTOR (subscription)]</ref>
|| <math>\left(1+t\right)^{-1/\theta}</math>  ||  <math>t^{-\theta}-1\,</math> ||  <math>\theta\in(0,\infty)</math>
|-
|  Frank ||  <math>-\frac{\log(1-(1-\exp(-\theta))\exp(-t))}{\theta}</math> ||  <math>-\log\left(\frac{\exp(-\theta t)-1}{\exp(-\theta)-1}\right)</math> ||  <math>\theta\in(0,\infty)</math>
|-
|  [[Emil Julius Gumbel|Gumbel]] || <math>\exp\left(-t^{1/\theta}\right)</math>  ||  <math>\left(-\log(t)\right)^\theta</math> ||  <math>\theta\in[1,\infty)</math>
|-
|  [[statistical independence|Independence]] || <math>\exp(-t)\,</math>  || <math>-\log(t)\,</math>  ||
|-
|  Joe || <math>1-\left(1-\exp(-t)\right)^{1/\theta}</math>  || <math>-\log\left(1-(1-t)^\theta\right)</math>  ||  <math>\theta\in[1,\infty)</math>
|}
==== Cópula de Clayton ====
A cópula de Clayton é obtida usando a função geradora:
:<math> \phi(x) = \frac{1}{\alpha}(t^{-\alpha}-1) </math> ,

e é dada pela expressão:
:<math> C(u,v) = \max(\left[u^{-\alpha} + v^{-\alpha} -1 \right]^{-\frac{1}{\alpha}}, 0 ) </math>.

==== Cópula de Frank ====
A cópula de Frank é obtida usando a função geradora:
:<math> \phi(x) = -\ln\left(\frac{\exp(-\alpha t)-1}{\exp(-\alpha)-1}\right) </math> ,

e é dada pela expressão:
:<math> C(u,v) = -\frac{1}{\alpha}\ln\left(1+ \frac{(e^{-\alpha u}-1)(e^{-\alpha v}-1)}{e^{-\alpha}-1}\right)</math>.

== Estimação de cópulas ==
A função cópula pode ser estimada a partir dos métodos tradicionais de inferência paramétrica ou não-paramétrica.

=== Distribuição cumulativa empírica dos postos ===
O método mais simples e imediato é através da interpolação de um [[histograma]] dos postos. A partir de uma série de observações <math> (x_i, y_i)</math> com <math> i= 1,2,\ldots, N</math> das variáveis X e Y, definimos o posto <math>X_i</math> da seguinte forma:

# ordene os valores <math>x_{i}</math> de forma crescente,
# <math>X_{i}</math> é definido como a posição do valor <math>x_{i}</math> nessa sequência ordenada dividida pelo número de observações N.

analogamente <math>Y_{i}</math> é a posição de <math>y_{i}</math> na lista ordenada de todos os valores de Y normalizada pelo total N. As variáveis de posto <math>(X_i,Y_i)</math> são estimadores para as variáveis U e V da introdução. Dessa forma, uma estimativa para a cópula pode ser obtida estimando a distribuição cumulativa dos postos:
:<math>
C_n\left(\frac{j}{N}, \frac{k}{N}\right) = \frac{\text{Numero de pares de postos} (X_{i},Y_{i}) \text{tais que } X_{i} \leq X_{(j)} \text{ e } Y_{i} \leq Y_{(k)} }{N}.
</math>

Valores de C(u,v) não compreendidos pela expressão acima podem ser [[interpolação|interpolados]].

=== Método dos momentos ===
Uma outra forma de estimar a cópula associada a um certo conjunto de dados é usar uma família de cópulas <math>C(u,v|\theta)</math> com um série de parâmetros <math>\theta_1, \theta_2,\ldots, \theta_n</math>. Se são conhecidas expressões analíticas dos valores esperados com relação a esta cópula de n funções:
:<math>E\left[f_{i}(u,v)\right]=F_{i}(\theta)</math>,

pode-se obter n equações para os parâmetros <math>\theta</math> se houver estimativas para esses valores esperados a partir do conjunto de dados conhecido.

=== Método da máxima verossimilhança ===
O método da [[máxima verossimilhança]] pode ser aplicado a qualquer família distribuição de probabilidades com um certo número de parâmetros, e isso se aplica também a cópulas. O conjunto de parâmetros que maximiza a probabilidade dos dados observados:

:<math> \hat{\theta} = \arg\max_{\theta} L(\theta, {(x_{i},y_{i}), i=1..n}) =\arg\max_{\theta} \sum_{i=1}^{n} c\left(X_{i},Y_{i}|\theta\right)</math>,

onde <math>(X_{i},Y_{i})</math> são os postos definidos acima, oferece uma estimativa para a cópula dada por:

:<math>\hat{C}(u,v) = C\left(u,v|\hat{\theta}\right)</math>.

=== Inferência bayesiana ===
Priores para estimação bayesiana, paramétrica e não paramétrica, de cópulas, particularmente se for suposta uma estrutura arquimediana, são assuntos tratados em referências recentes enquanto se escreve esse artigo.<ref>{{citar jornal | título =Archimedean copula estimation using Bayesian splines smoothing techniques | autor = Philippe Lambert | jornal =  Source Computational Statistics & Data Analysis archive | volume = 51 | numero = 12 | paginas = 6307-6320 | ano = 2007 }}</ref><ref>{{citar jornal | título =Bayesian copula selection | autor = David Huarda | coautores =  Guillaume Évina ; Anne-Catherine Favre| jornal =  Computational Statistics & Data Analysis | volume = 51 | numero = 2 | paginas = 809-822  | ano = 2006 | url = http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6V8V-4H8FTRD-2&_user=10&_rdoc=1&_fmt=&_orig=search&_sort=d&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=3e6c2540ec046276e2e38d75a8803ef0 }}</ref><ref>{{citar livro | título = Fitting copulas to data | autor = Roberto de Matteis | ano = 2001 |local = Zurique | editora = Diploma Thesis apresentada à universidade de Zurique | url = http://www.gloriamundi.org/detailpopup.asp?ID=453057470 }}</ref><ref name="Dimitri">{{citar livro | título = Parametric and Bayesian non-parametric estimation of copulas | autor = Dimitris Nicoloutsopoulos | ano = 2005 | editora = Ph.D. Thesis apresentada à universidade de Londres}}</ref>

== Medidas de dependência ==

O conceito de [[medidas de dependência]] está intimamente ligado ao conceito de cópula. Alguns dos requisitos de Renyi<ref>{{citar jornal | autor = Renyi, A. | titulo = On measures of dependence. | jornal = Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. | volume = 10 | paginas = 441-451 | ano = 1959 | idioma = inglês}}</ref><ref>{{citar jornal | autor = Schweizer, B. |coautores = Wolff, E. F. | titulo = On nonparametric measures of dependence for random variables. | jornal = The Annals of Statistics | volume = 9 | numero = 4 | paginas = 879-885 | ano = 1981 | idioma = inglês}}</ref> para que um funcional possa ser considerado uma boa medida de dependência pode ser resumido no requisito de que dependa exclusivamente da densidade de cópula.

== Aplicações ==
==Ver também==
* [http://www.nonlin-processes-geophys.net/15/761/2008/npg-15-761-2008.html Schölzel and Friederichs (2008): "Copulas in climate research"]

==Referências==
=== Notas ===
<references/>
=== Gerais ===
==Ligações externas== 
* [http://www.unizar.es/galdeano/actas_pau/PDF/499.pdf What are Copulas?]

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