Mostrar código-fonte de Cardinais regulares e singulares

Em [[matemática]], especialmente em [[teoria de conjuntos]], um [[Número cardinal|cardinal]] é denominado '''regular''' se ele é igual a sua própria [[cofinalidade]]. Caso contrário, é dito '''singular'''.<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 132.</ref>

==Definições e exemplos==
Se abreviarmos ''[[cofinalidade]] de <math style="vertical-align:0%;">x</math>'' como <math style="vertical-align:-25%;">\mbox{cf}(x)</math>, podemos generalizar a definição acima para [[número ordinal|ordinais]] dizendo que <math style="vertical-align:0%;">\alpha</math> é regular se <math style="vertical-align:-25%;">\mbox{cf}(\alpha) = \alpha</math> e singular se <math style="vertical-align:-25%;">\mbox{cf}(\alpha) < \alpha</math>, pois <math style="vertical-align:-25%;">\mbox{cf}(\alpha)</math> ≤ <math style="vertical-align:0%;">\alpha</math> vale para todo ordinal.<ref>Ibid.</ref> De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal <math style="vertical-align:0%;">\kappa</math> é singular se resulta da união de uma quantidade menor que <math style="vertical-align:0%;">\kappa</math> de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que <math>\kappa</math>:

:<math> \kappa = \bigcup_{\alpha<\beta} ( A_\alpha ) \mbox{ tais que } \beta < \kappa \mbox { e } \left| A_\alpha \right| < \kappa \mbox{ para cada } \alpha<\beta </math><ref>[[#jech2006set|Jech [2006] ]], p. 32.</ref>

Por exemplo, [[Aleph (matemática)|<math style="vertical-align:-10%;">\aleph_\omega</math>]] é singular pois:

:<math> \aleph_\omega = \bigcup_{n < \omega} \aleph_n = \aleph_0 \cup \aleph_1 \cup \dots \cup \aleph_n \cup \dots \;\;</math> <ref>[[#hrbacekjech1999introduction| Hrbacek Jech [1999] ]], p. 161.</ref>

ou seja, [[Aleph (matemática)|<math style="vertical-align:-15%;">\aleph_\omega</math>]] é a união de <math style="vertical-align:-15%;">\omega = \aleph_0</math> conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que <math style="vertical-align:-15%;">\aleph_\omega </math>.

Por outro lado, <math>\omega</math> é regular, pois <math>\mbox{cf}(\omega) = \omega</math>.<ref name="Não-nomeado-xaSj-1">[[#kunen1980independence| Kunen [1980] ]], p. 33.</ref> Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito.<ref>[[#hrbacekjech1999introduction| Hrbacek Jech [1999] ]], p. 72.</ref>

==Cardinais regulares e o axioma da escolha==
Na teoria de conjuntos de [[Axiomas de Zermelo-Fraenkel|Zermelo-Fraenkel]] mais o [[axioma da escolha]], denominada '''ZFC''', pode ser demonstrado que a união [[enumerável]] de conjuntos enumeráveis é enumerável<ref>[[#barwise1999handbook|Jech [1973] ]], p. 48−49.</ref> e portanto <math style="vertical-align:-20%;">\aleph_1</math> é regular. Sem o axioma da escolha, <math style="vertical-align:-25%;">\mbox{cf}(\aleph_1) = \omega</math><ref name="Não-nomeado-xaSj-1"/> (que implica que <math style="vertical-align:-20%;">\aleph_1</math> é singular) é consistente com '''ZF''', se '''ZF''' é consistente.

Em '''ZFC''' é demonstrado que todo cardinal da forma <math style="vertical-align:-20%;">\aleph_{\alpha+1}</math> (denominado  ''cardinal sucessor'') é regular.<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 135.</ref> Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado ''cardinal limite'' e em <math style="vertical-align:-10%;">\aleph_\alpha</math> temos que <math style="vertical-align:0%;"> \alpha = \mbox{0} </math> ou <math> \alpha </math> é um [[ordinal limite]].<ref>[[#levy2002basicsettheory|Levy [2002] ]], p. 90.</ref> Em '''ZFC''' não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de <math>\omega</math>,<ref>Denominados [[Cardinal inacessível|''fracamente inacessíveis'']]</ref> se '''ZFC''' é consistente.<ref>[[#kunen1980independence| Kunen [1980] ]], p. 34.</ref>

{{referências}}

==Bibliografia==
* {{citar livro
|autor = Hrbacek, Karen
|coautor = Jech, Thomas
|título = Introduction to set theory
|idioma = inglês
|editora = Marcel Dekker
|local = New York
|ano = 1999
|edição = 3a.
|ref = hrbacekjech1999introduction
}}

* {{citar livro
|editor = Barwise, Jon
|autor = Jech, Thomas
|título = Handbook of mathematical logic
|idioma = inglês
|editora = Elsevier
|local = Amsterdam
|ano = 1999
|capítulo = About the Axiom of Choice
|página = 345−370
|ref = barwise1999handbook
}}

* {{citar livro
| ref = jech2006set
| título = Set theory
| autor = Jech, Thomas
| edição = 3a.
| ano = 2006
| editora = Springer
| local = Berlin
| idioma = inglês
| isbn = 3-540-44085-2
}}

* {{citar livro
| ref = kunen1980independence
| título = Set theory: an introduction to independence proofs
| autor = Kunen, Kenneth
| ano = 1980
| editora = Elsevier
| local = Amsterdam
| idioma = inglês
| isbn = 0-444-86839-9
}}

* {{citar livro
|autor = Levy, Azriel
|título = Basic set theory
|editora = Dover
|idioma = inglês
|local = Mineola, New York
|ano = 2002
|ref = levy2002basicsettheory
}}


[[Categoria:Matemática]]
[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Cardinalidade]]