Mostrar código-fonte de Categoria de relações

{{imagem múltipla
<!-- Parâmetros essenciais -->
| alinhar     = direita
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<!-- Parâmetros extras -->
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|imagem1=Relations category.svg
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|legenda1=Categoria de relações '''Rel'''.
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|alt2='''Rel<sup>op</sup>'''
}}
Na [[matemática]], a [[categoria (matemática)|categoria]] '''Rel''' tem a classe de [[conjunto (matemática)|conjuntos]] como [[objeto (teoria das categorias)|objetos]] e [[relação binária]]s como [[morfismo (teoria das categorias)|morfismos]].

Um morfismo (ou flecha) ''R'' : ''A'' → ''B'' nesta categoria é uma relação entre os conjuntos ''A'' e ''B'', então {{nowrap| ''R'' ⊆ ''A'' × ''B''}}.

A [[Composição de relações|composição de duas relações]] ''R'': ''A'' → ''B'' e ''S'': ''B'' → ''C'' é dada por
:(''a'', ''c'') ∈ ''S'' <small>o</small> ''R'' ⇔ para algum ''b'' ∈ ''B'', (''a'', ''b'') ∈ ''R'' e (''b'', ''c'') ∈ ''S''.<ref>{{cite book|authorlink = Saunders Mac Lane|last1=Mac Lane|first1=S. |title=Categories for the Working Mathematician|date=1988|publisher=Springer|isbn=0-387-90035-7|page=26|edition=1st}}</ref>

'''Rel''' também já foi chamado de "categoria de correspondências de conjuntos".<ref>{{Cite book| last=Pareigis| first=Bodo| title=Categories and Functors| year=1970 |page=6| isbn=978-0-12-545150-5| publisher=[[Academic Press]]| series=Pure and Applied Mathematics| volume=39}}</ref>

== Propriedades ==
A categoria '''Rel''' possui a [[Categoria dos conjuntos|categoria de conjuntos]] '''Set''' como uma (ampla) [[Subcategoria (teoria das categorias)|subcategoria]], onde a flecha {{nowrap| ''f'' : ''X'' → ''Y''}} em '''Set''' corresponde à relação {{nowrap| ''F'' ⊆ ''X'' × ''Y''}} definida por {{nowrap|1= (''x'', ''y'') ∈ ''F'' ⇔ ''f''(''x'') = ''y''}}.{{Nota de rodapé|Esta categoria é chamada de '''Set'''Rel por Rydeheard e Burstall}}<ref>{{cite book |first=George |last=Bergman |chapter=§7.2 RelSet |title=An Invitation to General Algebra and Universal Constructions |publisher=Henry Helson |date=1998 |isbn=0-9655211-4-1 |pages= |url=http://math.berkeley.edu/~gbergman/245/index.html}}</ref>

Um morfismo em '''Rel''' é uma relação, e o morfismo correspondente na [[categoria oposta]] a '''Rel''' tem as setas invertidas, então é a [[relação inversa]]. Assim, '''Rel''' contém sua oposta e é [[dual (teoria das categorias)|auto-dual]].<ref name="MB&CW">{{cite book |last1=Barr |first1=Michael |url=https://math.mcgill.ca/triples/Barr-Wells-ctcs.pdf |title=Category Theory for Computing Science |last2=Wells |first2=Charles |date=1990 |publisher=Prentice Hall |isbn=978-0131204867 |location= |pages=181 |author1-link=Michael Barr (mathematician) |author2-link=Charles Wells (mathematician)}}</ref>

A [[involução (matemática)|involução]] representada pela inversão da relação fornece o '''dagger''' para tornar '''Rel''' uma [[categoria dagger]].

A categoria possui dois [[functor]]s em si mesma dados pelo [[functor hom]]: Uma [[relação binária]] ''R'' ⊆ ''A'' × ''B'' e sua transposição ''R''<sup>T</sup> ⊆ ''B'' × ''A'' podem ser compostas tanto como ''R R''<sup>T</sup> quanto como ''R''<sup>T</sup> ''R''. A primeira composição resulta em uma [[Relação_binária#Definição|relação homogênea]] em ''A'' e a segunda em ''B''. Como as imagens desses funtores hom estão em '''Rel''' própria, neste caso hom é um [[functor hom interno]]. Com seu functor hom interno, '''Rel''' é uma [[categoria fechada]], e além disso, uma [[categoria compacta dagger]].

A categoria '''Rel''' pode ser obtida a partir da categoria '''Set''' como a [[categoria Kleisli]] para o [[monad (teoria das categorias)|monad]] cujo functor corresponde ao [[conjunto das partes]], interpretado como um functor covariante.

Talvez um pouco surpreendente à primeira vista seja o fato de que o [[Produto (teoria das categorias)|produto]] em '''Rel''' é dado pela [[união disjunta]]<ref name=MB&CW/>{{rp|181}} (em vez do [[produto cartesiano]] como é em '''Set'''), e o mesmo ocorre com o [[coproduto]].

'''Rel''' é [[Categoria monoidal fechada|monoidal fechada]], se definirmos tanto o produto monoidal ''A'' ⊗ ''B'' quanto o [[functor hom interno]] ''A'' ⇒ ''B'' pelo [[produto cartesiano]] de conjuntos. Também é uma [[categoria monoidal]] se definirmos o produto monoidal pela união disjunta de conjuntos.<ref>{{cite arXiv |eprint=1908.02633 |last1=Fong |first1=Brendan |author2=David I Spivak |title=Supplying bells and whistles in symmetric monoidal categories |year=2019 |class=math.CT }}</ref>

A categoria '''Rel''' foi o protótipo para a estrutura algébrica chamada de [[alégora (teoria das categorias)|alégora]] por [[Peter J. Freyd]] e Andre Scedrov em 1990.<ref>{{cite book |first1=Peter J. |last1=Freyd |author1-link=Peter J. Freyd |first2=Andre |last2=Scedrov |title=Categories, Allegories |publisher=North Holland |date=1990 |isbn=0-444-70368-3 |pages=79, 196 |url=}}</ref> Começando com uma [[categoria regular]] e um funtor ''F'': ''A'' → ''B'', eles observam propriedades do funtor induzido Rel(''A,B'') → Rel(''FA, FB''). Por exemplo, ele preserva composição, conversão e interseção. Tais propriedades são então usadas para fornecer axiomas para uma alegoria.

== Relações como objetos ==
David Rydeheard e [[Rod Burstall]] consideram que '''Rel''' possui objetos que são relações homogêneas. Por exemplo, ''A'' é um conjunto e ''R'' ⊆ ''A'' × ''A'' é uma relação binária em ''A''. Os morfismos desta categoria são funções entre conjuntos que preservam uma relação: Dizemos que ''S'' ⊆ ''B'' × ''B'' é uma segunda relação e ''f'': ''A'' → ''B'' é uma função tal que <math>xRy \implies f(x)Sf(y),</math> então ''f'' é um morfismo.<ref name=R&B>{{cite book |first1=David |last1=Rydeheard |first2=Rod |last2=Burstall |author2-link=Rod Burstall |title=Computational Category Theory |publisher=Prentice-Hall |date=1988 |isbn=978-0131627369 |pages=41 |url=}}</ref>

A mesma ideia é avançada por Adamek, Herrlich e Strecker, onde eles designam os objetos (''A, R'') e (''B, S''), conjunto e relação.<ref>{{cite book |first1=Juri |last1=Adamek |first2=Horst |last2=Herrlich |first3=George E. |last3=Strecker |chapter=§3.3, example 2(d) |title=Abstract and Concrete Categories |publisher=KatMAT Research group, [[University of Bremen]] |location= |date=2004 |orig-year=1990 |isbn= |pages=22 |url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20220811222404/http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf |archive-date=2022-08-11 }}</ref>

{{Notas e referências}}

[[Categoria:Teoria das categorias]]