Mostrar código-fonte de Cicloide

{{Mais-fontes|data=janeiro de 2021}}[[Imagem:Cycloid animated.gif|thumb|290px|right|A vermelho uma ciclóide gerada por um círculo em movimento]]
Chama-se '''cicloide''' a curva definida por um ponto de uma [[circunferência]] que rola sem deslizar sobre uma reta<ref>Carvalho, Benjamin - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1988, cap. 13, p. 278</ref>. 

Uma cicloide invertida é a solução para o problema da [[braquistócrona]]. 

:[[Ficheiro:Cycloid r=2.png|thumb|370px|Desenho de uma ciclóide gerada por um circunferência de raio ''r''=2]]

Um cicloide iniciado na origem de um sistema de eixos, criado por uma circunferência de raio ''r'', consiste nos pontos (''x'',''y'') com

<math display="block">x = r(t - \,\mathrm{sen}\, t)</math>
<math display="block">y = r(1 - \cos t)</math>
em que ''t'' é um parâmetro real, e corresponde ao centro do círculo que rola.

Se visto como uma [[função (matemática)|função]] ''y''(''x''), é [[Derivada|diferenciável]] em toda a sua extensão excepto no ponto em que atinge o eixo do ''x''; a inclinação nesse ponto corresponde a infinito. Satisfaz a [[Equação diferencial ordinária|equação diferencial]]:

<math display="block">\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}</math>

== Histórico ==
Antes da curva ser conhecida propriamente como cicloide, ela começou a ser estudada por Nicholas Cusa(1471 – 1464) e pelo teólogo matemático francês, Charles Bouvalles (1471 – 1553). O estudo de ambos não tratava da Cicloide em si, mas de algo muito similar a ela: a quadratura da circunferência. Em 1564, nasce o italiano [[Galileu Galilei]], cientista, artista, com uma genialidade eminente. Como a história diz, Galileu um dia estava na janela, apenas observando o ambiente, quando começou a reparar no movimento da roda de uma charrete que passava. Interessado em descobrir que curva gerada por esse movimento, Galileu utilizou, primeiramente, chapas metálicas para demonstrá-la. Sem muito sucesso, Galileu sugeriu que a curva poderia formar um belo arco de uma ponte. Ele também concluiu que a área do arco da cicloide é exatamente três vezes a área do círculo que a gera. De fato, ele estava correto, o que foi demonstrado, posteriormente, por Roberval. Portanto, cabe a Galileu o batismo da curva. 
[[Ficheiro:Galileu.png|miniaturadaimagem|Galileu Galilei]]

A “Helena da matemática” e o “[[Pomo da discórdia]]” foram nomes que representaram a Curva Cicloide no século XVI, tamanha era a discussão que ela gerou na época. O frade [[Marin Mersenne]] (1588 – 1688), que estudou com [[René Descartes]], é conhecido pela sua famosa fórmula “[[Primo de Mersenne|primos de Mersenne]]”, também participou dessa história. Por intermédio de um colega da igreja em que trabalhou, conheceu os trabalhos de Galileu e em 1630 propôs um desafio para Descartes, Fermat, Roberval e outros matemáticos da época: sugeriu que a cicloide fosse a curva utilizada para os diferentes testes infinitesimais , gerando assim discussões sobre a curva.

Em 1658, [[Blaise Pascal]], sentiu uma dor de [[dente]] fortíssima e não conseguia dormir por isso. Ao meio da dor, resolveu se distrair estudando a Curva Cicloide, e para seu espanto, a dor desapareceu. Tomou isso como um sinal de Deus, mostrando que estudar a matemática não lhe desagradava. Pascal, então, propôs alguns problemas sobre a resolução da Cicloide, propondo premiações aos participantes, o que acabou não acontecendo.  

Após esse período, a Cicloide só voltou a ser discutida quando apareceram os problemas da Tautócrona e da Braquistócrona. 

== Parametrização da curva cicloide ==
[[Ficheiro:Cicloide vetores.png|alt=|miniaturadaimagem|443x443px|Figura 1 - Movimento da cicloide]]
A [[parametrização]] será feita pela decomposição de vetores. Para isso, será utilizado o Software [[GeoGebra|Geogebra]]© como ferramenta de apoio para verificar o movimento da Cicloide com maior clareza. 

O parâmetro é ''<math>\theta</math>''variando entre <math>0 \leq  \theta \leq 2\pi ,</math> e ''a'' o raio da circunferência. Olhando para o “Passo 2” da Figura 1, os vetores estão indicados:

Iremos escrever o vetor <math>\vec{OP}</math>como:

<math>\vec{OP}=\vec{OC}+\vec{CP}</math>

Ao observar a Figura 2, verificamos que quando a circunferência gira um certo ângulo <math>\theta,</math> o comprimento do segmento ''OT'' é igual ao arco <math>\widehat{PT},</math> que nada mais é do que <math>a\theta,</math> isto é:

<math>\left\vert OT \right\vert = Arco \widehat{PT} = a\theta</math>

Portanto, os vetores <math>\vec{OC}</math> e <math>\vec{CP}</math>são:

<math>\vec{OC}</math>= <math>\vec{OT}</math>+ <math>\vec{TC}</math>

<math>\vec{OC}=\bigl(a\theta,0\bigr)+\bigl(0,a\bigr)</math>

<math>\vec{OC}=\bigl(a\theta,a)</math>   '''(l)'''

[[Ficheiro:Cicloide fig 2.png|alt=|miniaturadaimagem|369x369px|Figura 2 - Vetores]]
Logo, <math>\vec{CP}</math>é:

<math>\vec{CP}=(asen\theta,-acos\theta)</math>    '''(ll)'''

De (I) e (II), temos que:

<math>\vec{OP}=a(\theta-sen\theta,1-cos\theta)</math>

Ao final, as [[Equação paramétrica|equações paramétricas]] da Cicloide são:

<math>x(\theta)=a(\theta-sen\theta)</math>

<math>y(\theta)=a(1-cos\theta)</math>

== Construções da cicloide e de suas retas tangente e normal ==
[[Ficheiro:Ciclo 1.png|alt=|miniaturadaimagem|304x304px|Figura 3 - O ponto ''P'' gerando a curva cicloide]]

A construção da cicloide será feita por pontos, pois se trata de uma curva não construível com régua e compasso. Para se compreender tal construção, imagine que ao longo do período em que a circunferência geradora completa uma volta, sejam registrados flashes do seu movimento em diferentes intervalos de tempo, identificando algumas posições do ponto ''P'' gerador. Nas figuras seguintes, o comprimento do segmento <math>\vec{PQ}</math> é igual ao comprimento da circunferência geradora. Além disso, tanto <math>\vec{PQ}</math> quanto a circunferência estão divididos em oito partes iguais.

[[Ficheiro:Ciclo 2.png|alt=|miniaturadaimagem|301x301px|Figura 4 - O ponto ''P'' gerando a curva cicloide]]
Com raio ''P7'' (ou ''P1'') e centros em ''1''’ e 7’, traça-se arcos que determinam em ''s1'' dois pontos da cicloide. Com raio ''P6'' (ou ''P2'') e centros em ''2''’ e ''6''’, traça-se arcos que determinam em ''s2'' mais dois pontos. Com raio ''P5'' (ou ''P3'') e centros em ''3''’ e ''5''’, traça-se arcos que determinam em ''s3'' mais dois pontos.

[[Ficheiro:Ciclo 3.png|alt=|miniaturadaimagem|291x291px|Figura 5 - A curva cicloide]]
Por fim, determina-se em ''s4'' mais um ponto da cicloide, traçando-se por ''4''’ uma perpendicular a diretriz. Unindo-se de modo conveniente os pontos determinados obtém-se a cicloide.

Agora, passaremos à construção da tangente e da normal a uma cicloide por um ponto ''S.'' Por ''S'' traça-se uma paralela à diretriz determinando o ponto ''S''′ em ''C''. Seja ''T'' o ponto de tangência de ''C'' com a diretriz. Traça-se por ''S'' a reta ''n'' paralela à reta ''S′T''. Por ''S'' traça-se a reta ''t'' perpendicular a ''n'' . As retas ''t'' e ''n'' são, respectivamente, a tangente e a normal à cicloide no ponto ''S''.
<br />
[[Ficheiro:Ciclo 5.png|alt=|miniaturadaimagem|328x328px|Figura 6 - Retas normal e tangente]]

==Encurtada==
o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada<ref name="epi">[http://www.instructioneducation.info/Mechsub/mech3_3.pdf] Movimentos com vínculos, página visitada em 20-07-2011.</ref>. 

==Alongada==
Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.<ref name="epi" /> 

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* HOUAISS, Antônio, ''Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa'' Tomo II, Lisboa:Círculo dos Leitores, 2003, ISBN 972-42-2809-8
* {{en}} [http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=02260001&seq=9 Cornell University Library-Tratado sobre ciclóides-Secção I]
*<ref>{{citar web|url=http://eadcampus.spo.ifsp.edu.br/pluginfile.php/7464/mod_resource/content/0/TCC_Ana%20Cordeiro.pdf|titulo=O que é a Curva Cicloide: Ideias Centrais no Ensino da Matemática|data=2013|acessodata=04/04/2019|publicado=Instituto Federal de São Paulo|ultimo=Cordeiro|primeiro=Ana Carolina}}</ref>O que é a Curva Cicloide: Ideias Centrais no Ensino da Matemática
*(em inglês) The University of Georgia-Parametric equations for cycloid<ref>{{citar web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/emat6680fa07/gilbert/assignment%2010/gayle&greg-10.htm|titulo=Parametric Equations for a Cycloid|acessodata=05/04/2019|publicado=The University of Georgia|ultimo=Gilbert|primeiro=Gayle}}</ref>
*(em inglês) The cycloid <ref>{{citar web|url=https://tqft.net/papers/cycloid.pdf|titulo=The cycloid|data=01/10/1997|ultimo=Morrison|primeiro=Scott|publicado=|acessodata=05/04/2019}}</ref>

==Ver também==
*[[Lista de construções do desenho geométrico]]

{{Referências}}

== Ligações externas ==
* {{en}} [http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html Weisstein, Eric W., ''Cycloid'', em MathWorld]
* {{es}} [https://web.archive.org/web/20091212011141/http://www.recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trocoides.htm Demonstração prática dos ciclóides]
*<ref>{{citar web|url=http://www.scielo.br/pdf/rbef/v37n2/0102-4744-rbef-37-02-2309.pdf|titulo=Uma abordagem geométrica ao problema da braquistócrona|data=2015|acessodata=05/04/2019|publicado=Universidade do estado do Rio de Janeiro|ultimo=De Andrade|ultimo2=Filho}}</ref>Uma abordagem geométrica ao problema da braquistócrona
* [https://web.archive.org/web/20111123010050/http://www.trucuriwindows.net/trucurivideo/video/at82JX3hL7E/Cicl%C3%B3ide-Epicl%C3%B3ide-e-Hipocicl%C3%B3ide.html] Animação da cicloide, epicicloide, hipocicloide. Página acessada em 24 de julho de 2011.

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{{Controle de autoridade}}

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[[Categoria:Geometria]]
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[[Categoria:Desenho geométrico]]
<references />