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[[Imagem:Venn1010.svg|thumb|220px|A área em vermelho é o complementar de ''A'' em ''U'', <math>A^c~~~=~~~U \setminus A</math>. <br> No exemplo, o conjunto ''A'' está representado pela circunferência em branco enquanto que o [[conjunto universo]] ''U'' é representado por todo o retângulo.]]
Em [[teoria dos conjuntos]], o '''complementar''' de um [[Conjunto#Subconjuntos_pr.C3.B3prios_e_impr.C3.B3prios|subconjunto]] <math>A\,</math> se refere a elementos que não estão no conjunto <math>A\,</math>. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um [[conjunto universo]] <math>U\,</math>, sendo o conjunto <math>A^{c}\,</math> o complementar de <math>A\,</math> formado pelos elementos de <math>U\,</math> que não pertencem a <math>A\,</math>. De maneira mais geral, define-se o complementar de <math>A\,</math> em relação a <math>B\,</math>, também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de <math>B\,</math> que não estão em <math>A\,</math>.

== Diferença de conjuntos ==

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[[diferença (teoria de conjuntos)]], [[complemento relativo]], [[subtração de conjuntos]] -->
===Definição===
Se {{math|''A''}} e {{math|''B''}} são conjuntos, então o '''complemento relativo''' de {{math|''A''}} em relação a {{math|''B''}} <ref name="Halmos-1960">{{harvnb|Halmos|1960|p=17}}.</ref>, também conhecido como '''diferença''' de {{math|''B''}} e {{math|''A''}} <ref>{{harvnb|Devlin|1979|p=6}}.</ref>, é o conjunto de elementos de {{math|''B''}} que não estão em {{math|''A''}}.

A diferença de B para A é geralmente denotada <math>B \setminus A</math>. Às vezes é escrito <math>B - A</math>, mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de {{Nowrap|{{math|''b'' - ''a''}}}}, onde ''b'' é tomado a partir de ''B'' e ''a'' a partir de ''A''.

Formalmente:
: <math>B \setminus A = \{ x\in B \mid x \notin A \}. </math>

=== Exemplos ===
* <math>\{ 1, 2, 3\} \setminus \{ 2,3,4\} = \{ 1 \}</math>.

* <math>\{ 2, 3, 4 \} \setminus \{ 1,2,3 \} = \{ 4 \} </math>.

* Se <math>\mathbb{R}</math> é o conjunto de [[Número real|números reais]] e <math>\mathbb{Q}</math> é o conjunto dos [[Número racional|números racionais]], então <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> é o conjunto dos [[Número irracional|números irracionais]].

=== Propriedades ===
Sejam ''A'', ''B'' e ''C'' três conjuntos. As seguintes [[Identidade (matemática)|identidades]] mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as [[Leis de De Morgan]]:
* <math>C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)</math>;

* <math>C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B) = (C \setminus A) \setminus B =
(C \setminus B) \setminus A</math>;
* <math>(A \cup B) \setminus C = (A \setminus C) \cup (B \setminus C)</math>;
* <math>C \setminus (B \setminus A) = (C \cap A) \cup (C \setminus B)</math>;
* Com o caso especialmente importante de que <math>C \setminus (C \setminus A) = (C \cap A)</math> demonstrando que a [[interseção]] pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
* <math>(B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)</math>;
* <math>(B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)</math>;
* <math>A \setminus A = \empty</math>;
* <math>\empty \setminus A = \empty</math>;
* <math>A \setminus \empty = A</math>.
[[File:Venn0010.svg|250px|thumb| Em vermelho, a '''diferença''' de {{math|''B''}} (círculo da direita) e {{math|''A''}} (círculo da esquerda):
<math>B \cap A^c = B \setminus A</math>]]

== Complementar do conjunto ==

===Definição===
Se {{math|''A''}} é um conjunto, então o '''complementar''' de {{math|''A''}} é o conjunto de elementos que não estão em {{math|''A''}}. Em outras palavras, se {{math|''U''}} é o [[conjunto universo|universo]] que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de {{math|''A''}} é a diferença entre os conjuntos {{math|''U''}} e {{math|''A''}}, sendo representado normalmente como: 
: <math>A^\complement = U \setminus A </math>.

Formalmente:

: <math>A^\complement = \{ x\in U \mid x \notin A \}. </math>

Outras notações incluem <math>A^c</math>, <math>\overline A</math>, <math>A'</math>, <math>\complement_U A</math>, e <math>\complement A</math>.<ref name="Bou">{{harvnb|Bourbaki|1970|p=E II.6}}.</ref>

===Exemplos===
* Assuma que o universo é o conjunto dos [[inteiro]]s. Se {{math|''A''}} é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de {{math|''A''}} é o conjunto de números pares. Se {{math|''B''}} é o conjunto de [[múltiplos]] de 3, então o complementar de {{math|''B''}} é o conjunto de números [[Aritmética modular|congruentes]] a 1 ou 2 módulo 3.

* Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto {{math|''A''}} é o naipe de espadas, então o complementar de {{math|''A''}} é a [[União (matemática)|união]] do naipe de copas, paus, e ouros.

===Propriedades===
Sejam {{math|''A''}} e {{math|''B''}} dois conjuntos no universo {{math|''U''}}. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares: 
: [[Teoremas de De Morgan]]:<ref name="Halmos-1960" />

::* <math>\left(A \cup B \right)^{\complement}=A^{\complement} \cap B^{\complement} .</math>
::* <math>\left(A \cap B \right)^{\complement}=A^{\complement} \cup B^{\complement} .</math>

: Leis de complementar:<ref name="Halmos-1960" />

::* <math>A \cup A^{\complement} = U .</math>
::* <math>A \cap A^{\complement} =\varnothing .</math>
::* <math>\varnothing^{\complement} =U.</math>
::* <math> U^{\complement} =\varnothing.</math>
::* <math>\text{Se }A\subset B\text{, então }B^{\complement}\subset A^{\complement}.</math>

: [[Involução (matemática)|Involução]] ou lei do duplo complementar: 

::* <math>\left(A^{\complement}\right)^{\complement}=A.</math>

: Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:

::* <math>A \setminus B = A \cap B^\complement.</math>
::* <math>(A \setminus B)^\complement = A^\complement \cup B.</math>
::* <math> A^\complement \setminus B^\complement = B \setminus A. </math>

As duas primeiras leis acima mostram que se {{math|''A''}} é não-vazio, [[subconjunto próprio]] de {{math|''U''}}, então {{math|{''A'', ''A''<sup>c</sup>}}} é uma [[Partition de um conjunto|partição]] de {{math|''U''}}.

== Notação em LaTeX ==

Na linguagem de diagramação de textos [[LaTeX]], o comando <code>\setminus</code><ref name="The Comprehensive LaTeX Symbol List">[http://ctan.unsw.edu.au/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf] The Comprehensive LaTeX Symbol List</ref> é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando [[backslash]]. Existe também um variante <code>\smallsetminus</code> disponível no pacote amssymb.

== Complementar em várias linguagens de programação ==

Algumas [[Linguagem de programação|linguagens de programação]] permitem a manipulação de [[Conjunto (tipo de dado abstrato)|conjuntos como estruturas de dados]], usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos <code>a</code> e <code>b</code>:

<!-- please keep in alphabetical order of programming language name -->

; [[.NET Framework]]
: <code>a.Except(b);</code>

; [[C++]]
: <code>set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin());</code>

; [[Clojure]]
: <code>(clojure.set/difference a b)</code><ref>[http://richhickey.github.com/clojure/clojure.set-api.html#clojure.set/difference] clojure.set API reference</ref>

; [[Common Lisp]]
: <code>set-difference, nset-difference</code><ref name="CLHS_set-difference">[http://www.lispworks.com/documentation/HyperSpec/Body/f_set_di.htm Common Lisp HyperSpec, Function set-difference, nset-difference].  Accessed on September 8, 2009.</ref>

; [[F# (linguagem de programação)|F#]]
: <code>Set.difference a b</code><ref name="FSharp_Set-difference">[https://msdn.microsoft.com/en-us/library/ee340332.aspx, Set.difference&lt;&apos;T&gt; Function (F#)]{{Ligação inativa|data=agosto de 2019}}. Accessed on July 12, 2015.</ref>

or

: <code>a - b</code><ref name="FSharp_Set-minus-operator">[https://msdn.microsoft.com/en-us/library/ee353414.aspx, Set.( - )&lt;&apos;T&gt; Method (F#)]{{Ligação inativa|data=agosto de 2019}}. Accessed on July 12, 2015.</ref>

; [[Falcon (linguagem de programação)|Falcon]]
: <code>diff = a - b</code><ref name="Falcon Array Subtraction">[http://falconpl.org/index.ftd?page_id=sitewiki&prj_id=_falcon_site&sid=wiki&pwid=Survival%20Guide&wid=Survival%3ABasic+Structures#Arrays, Array subtraction, data structures]. Accessed on July 28, 2014.</ref>

; [[Haskell (linguagem de programação)|Haskell]]
: <code>difference a b</code>
: <code>a \\ b</code><ref name="Data.Set">{{Citar web |url=http://haskell.org/ghc/docs/latest/html/libraries/containers/Data-Set.html |titulo=Data.Set (Haskell) |acessodata=2016-08-29 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090528080947/http://haskell.org/ghc/docs/latest/html/libraries/containers/Data-Set.html |arquivodata=2009-05-28 |urlmorta=yes }}</ref>

; [[Java (linguagem de programação)|Java]]
: <code>diff = a.clone();
: diff.removeAll(b);</code><ref name="J2SE_Set">[http://java.sun.com/j2se/1.5.0/docs/api/java/util/Set.html Set (Java 2 Platform SE 5.0)]. ''JavaTM 2 Platform Standard Edition 5.0 API Specification'', updated in 2004. Accessed on February 13, 2008.</ref>

; [[Julia (linguagem de programação)|Julia]]
: <code>setdiff</code><ref name="Julia_set">[http://julia.readthedocs.org/en/latest/stdlib/base/#set-like-collections] {{Wayback|url=http://julia.readthedocs.org/en/latest/stdlib/base/#set-like-collections|date=20141015191228}}. The Standard Library--Julia Language documentation. Accessed on September 24, 2014</ref>

; [[Mathematica]]
: <code>Complement</code><ref name="Mathematica_set">[http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Complement.html Complement]. ''Mathematica Documentation Center'' for version 6.0, updated in 2008. Accessed on March 7, 2008.</ref>

; [[MATLAB]]
: <code>setdiff</code><ref name="MATLAB_set">[http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/ref/setdiff.html Setdiff]. ''MATLAB Function Reference'' for version 7.6, updated in 2008. Accessed on May 19, 2008.</ref>

; [[OCaml]]
: <code>Set.S.diff</code><ref name="OCaml_Set_S_diff">[http://caml.inria.fr/pub/docs/manual-ocaml/libref/Set.S.html Set.S (OCaml)].</ref>

; [[GNU Octave|Octave]]
: <code>setdiff</code><ref>[https://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/index.html]. ''GNU Octave Reference Manual''</ref>

; [[PARI/GP]]
: <code>setminus</code><ref>{{Citar web |url=http://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/manuals/2.7.0/users.pdf |titulo=PARI/GP User's Manual |acessodata=2016-08-29 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20150911023711/http://pari.math.u-bordeaux.fr/pub/pari/manuals/2.7.0/users.pdf |arquivodata=2015-09-11 |urlmorta=yes }}</ref>

; [[Pascal (linguagem de programação)|Pascal]]
: <code>SetDifference := a - b;</code>

; [[Perl 5]]
: <syntaxhighlight lang="perl">
# for perl version >= 5.10
@a = grep {not $_ ~~ @b} @a;
</syntaxhighlight>

; [[Perl 6]]
: <syntaxhighlight lang="perl6">
$A ∖ $B
$A (-) $B # texas version
</syntaxhighlight>

; [[PHP]]
: <code>array_diff($a, $b);</code><ref>[http://php.net/manual/en/function.array-diff.php PHP: array_diff], PHP Manual</ref>

; [[Prolog]]
: <code>a(X),\+ b(X).</code>

; [[Python]]
: <code>diff = a.difference(b)</code><ref name="Python_set">[https://docs.python.org/2/library/stdtypes.html?highlight=difference#set.difference]. ''Python v2.7.3 documentation''. Accessed on January 17, 2013.</ref>
: <code>diff = a - b</code><ref name="Python_set" />

; [[R (linguagem de programação)|R]]
: <code>setdiff</code><ref>[https://cran.r-project.org/doc/manuals/fullrefman.pdf R Reference manual p. 410].</ref>

; [[Racket (linguagem de programação)|Racket]]
: <code>(set-subtract a b)</code><ref>[http://docs.racket-lang.org/reference/sets.html?q=set-subtract#%28def._%28%28lib._racket%2Fset..rkt%29._set-subtract%29%29]. ''The Racket Reference''. Accessed on May 19, 2015.</ref>

; [[Ruby (linguagem de programação)|Ruby]]
: <code>diff = a - b</code><ref>[http://www.ruby-doc.org/core/classes/Array.html Class: Array] Ruby Documentation</ref>

; [[Scala (linguagem de programação)|Scala]]
: <code>a.diff(b)</code><ref name="Scala_Set">[http://www.scala-lang.org/api/current/index.html#scala.collection.Set, scala.collection.Set]. ''Scala Standard Library'' 2.11.7, Accessed on July 12, 2015.</ref>

or

: <code>a -- b</code><ref name="Scala_Set"/>

; [[Smalltalk]] ([[Pharo]])
: <code>a difference: b</code>

; [[SQL]]
: <syntaxhighlight lang="sql">
SELECT * FROM A
EXCEPT
SELECT * FROM B
</syntaxhighlight>

; [[Unix shell]]
: <code>comm -23 a b</code><ref name="Unix_comm">[http://plan9.bell-labs.com/7thEdMan/ comm(1)], Unix Seventh Edition Manual, 1979.</ref>

== Ver também ==

* [[Conjunto]]
* [[Teoria ingênua dos conjuntos]]
* [[Diferença simétrica]]

{{Referências}}

== Ligações externas ==
* {{MathWorld |title=Complement |id=Complement }}
* {{MathWorld |title=Complement Set |id=ComplementSet }}

{{Teoria dos conjuntos}}

[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]