Mostrar código-fonte de Condição de Paley-Wiener

Em análise de sinais, a '''condição de Paley-Wiener''', também conhecida como '''teorema de Paley-Wiener''' e '''critério de Paley-Wiener''', estabelece uma condição necessária e suficiente para determinar se um dado sistema é [[sistema causal|causal]], a partir de sua [[resposta em frequência]].

Se a resposta no [[domínio do tempo]] for dada por h(t)<ref group="nota">Ou seja, h(t) é a saída do sistema quando um [[Delta de Dirac|impulso unitário]] é aplicado na entrada.</ref>, então, se o sistema é causal,
* a energia de h(t) é finita (condição de '''estabilidade''' da resposta)<ref group="nota">A energia de um sinal h(t) é calculada por meio do [[Teorema de Parseval]]/[[Teorema de Plancherel]]/fórmula de Rayleigh.</ref><ref group="nota">Uma maneira alternativa de enunciar essa condição é dizer que h(t) é uma [[função de quadrado integrável]]</ref>, e
* h(t) = 0 para t < 0 (condição de '''causalidade''' da resposta).
O teorema de Paley-Wiener estabelece que, se as condições acima são satisfeitas, então a resposta no [[domínio da frequência]] do sistema, dada por H(ω)<ref group="nota">Ou seja, a [[Transformada de Fourier]] de h(t).</ref>, é também limitada tal que

<math>\int_{-\pi}^{\pi} \left| \ln ( H(\omega) ) \right| \; d \omega \;<\; \infty \;\;\;\;\; (1a)</math>

Inversamente, se a equação (1a) é satisfeita e a energia de H(ω) é finita, então as condições de estabilidade e [[causalidade]] do sistema são satisfeitas. Nesse caso, pode-se escrever a resposta em frequência na forma

<math>H(\omega) \;=\; H_m(\omega) \;=\; |H(\omega)| \cdot e^{i \cdot \phi(\omega)} \;\;\;\;\; (2a)</math>

onde φ(ω) é a '''resposta em fase''' do sistema<ref name="Poularikas">A. Poularikas - ''The Z-Transform'' '''in''' A. Poularikas (''org'') - ''The Transforms and Applications Handbook'', 2nd. edition, Boca Raton: CRC, 2000, Cap. 6, pag. 530</ref>. Quando escrita nessa forma, H(ω) é chamada de '''função de transferência de mínima fase''' porque todos os seus zeros estão localizados na metade esquerda do plano complexo<ref name="Hahn1">S. Hahn - ''The Hilbert Transforms'' '''in''' A. Poularikas - ''op.cit.'', Cap. 7, pag. 639</ref>.

A equação (1a) pode ser alternativamente expressa no domínio do tempo da maneira seguinte:

<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\ln (|h(t)|)|}{1 \;-\; t^2} \; dt \;<\; \infty \;\;\;\;\; (1b)</math>

A equação (1b) estabelece que a amplitude da resposta do sistema (|h(t)|) não pode se aproximar de 0 mais rapidamente que uma [[função exponencial]] qualquer<ref name="Hahn2">S. Hahn - ''op.cit.'', Cap. 7, pag. 630</ref>. Além disso, h(t) pode ser nula apenas em um número finito de pontos, nunca em um intervalo, porque nesse caso o valor do módulo do logaritmo seria infinito.<ref name="Hahn1"/>.

Uma terceira formulação [[matemática]] é a seguinte:

<math>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{|\ln (|H(\omega)|)|}{1 \;+\; \omega^2} \; d \omega \;<\; \infty \;\;\;\;\; (1c)</math>

que estabelece, para a resposta em frequência, uma condição similar à estabelecida pela equação (1b) para a resposta no domínio do tempo<ref name="Hahn1"/>.

== Notas ==
<references group="nota"/>

== Ver também ==
* [[Transformada de Hilbert]]
* [[Relações de Kramers–Kronig]]

{{Referências}}

[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Análise harmônica]]
[[Categoria:Teoremas em análise complexa]]