Mostrar código-fonte de Conjunto

{{Mais notas|data=agosto de 2019}}
'''Conjunto''' é um conceito-chave ''primitivo''{{nota de rodapé|Conceito primitivo: axioma, abstração, noção aceita sem definição absoluta}}  do ramo matemático da [[Teoria dos conjuntos|Teoria dos Conjuntos]].<ref>{{Citar livro|url=http://worldcat.org/oclc/940080590|título=Fundamentos de matemática elementar|ultimo=Iezzi, Gelson, 1939-|primeiro=|data=2013|editora=Atual|ano=|volume=v. 1|local=São Paulo|páginas=18-19|isbn=9788535716801|oclc=940080590|acessodata=27 de janeiro de 2020|Subtítulo=Conjuntos e Funções}}</ref> A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de [[Elemento (matemática)|pertinência]]: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x ''pertence'' a A.<ref name="LIMA, Elon Lages 2004">LIMA, Elon Lages. Curso de análise volume 1. 11ª edição, 2004. Página 2.  ISBN 9788524401183 </ref>

Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a [[multiplicidade]], mas não a [[ordem]], é relevante, é chamada [[multiconjunto]]. Dizemos que dois conjuntos são iguais [[Se e somente se|se, e somente se]], cada elemento de um é também elemento do outro. <ref>[http://www.brasilescola.com/matematica/conjunto.htm Conjuntos]</ref>

== Importância ==

Um conjunto é considerado um dos conceitos mais básicos da [[matemática]], sendo o elemento principal da [[teoria dos conjuntos]].

==Notação matemática==
É possível descrever o mesmo conjunto de três maneiras diferentes, por:
# '''extensão''': listando os seus elementos (ideal para conjuntos pequenos e finitos);
# '''compreensão''': definindo uma propriedade<ref>{{citar livro |ultimo=Menezes |primeiro=Paulo Blauth |data=2008 |titulo=Matemática Discreta para Computação e Informática |edicao=2ª |local=Porto Alegre |editora=[[Editora Bookman|Bookman]] |pagina=3, 38-39 |isbn=978-85-7780-269-2}}</ref> de seus elementos (o que, se for feito de forma descuidada, pode gerar problemas, tais como o [[paradoxo de Russell]], em '''[[Principia mathematica]]''');
# '''representação gráfica''': usando [[Diagrama de Venn|Diagramas de Venn]].

A notação padrão em [[Matemática]] lista os elementos separados por [[Vírgula|vírgulas]] e delimitados por [[Chave (pontuação)|chaves]] (o uso de "[[Parêntese|parênteses]]" ou "[[colchetes]]" é incomum e, em determinados contextos, considerado incorreto). Um certo conjunto A, por exemplo, poderia ser representado como:
<math display="block">A=\left\{1, 2, 3 \right\}</math>

Como a ordem não importa em conjuntos, isso é equivalente a escrever, por exemplo:
<math display="block">A=\left\{1, 2, 2, 1, 3, 2\right\}</math>
Um certo conjunto A também fica definido (ou determinado, ou caracterizado) quando se dá uma regra que permita decidir se um objeto arbitrário pertence ou não a A. Por exemplo, a frase "B é o conjunto dos [[Triângulo retângulo|triângulos retângulos]]" define perfeitamente o conjunto B, já que permite decidir se um objeto qualquer é ou não elemento de B.<ref name="LIMA, Elon Lages 2004" /> O mesmo conjunto A do parágrafo anterior 
poderia ser representado por uma regra: 
<math display="block">A= \left\{ x\,|\,x \mbox{ é um número inteiro tal que } 0 < x < 4 \right\}</math>

ou ainda:
<math display="block">A= \left\{ x\,:\,x \mbox{ é um número natural tal que } 1 \le  x \le  3 \right\}</math>

Note que as propriedades ou descrições de um conjunto são representadas dentro das '''{}''', após os elementos e separadas destes por ''':''' ou por '''|'''.
Também é possível representar graficamente os conjuntos. O [[Diagrama de Venn|Diagrama de Venn-Euler]] é a representação gráfica dos conjuntos, através de entidades geométricas.

== Conceitos essenciais ==

* '''Conjunto''': representa uma coleção de objetos, geralmente representado por [[Letras maiúsculas|letras ''maiúsculas'']];
* '''Elemento''': qualquer um dos componentes de um conjunto, geralmente representado por [[Letras minúsculas|letras ''minúsculas'']];
* '''Pertinência''': é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto. Se <math>a</math> é um elemento do conjunto <math>A,</math> podemos dizer que o elemento <math>a</math> pertence ao conjunto <math>A</math> e podemos escrever <math>a \in A</math>. Se <math>a</math> '''não''' é um elemento de <math>A</math>, nós podemos dizer que o elemento <math>a</math> '''não''' pertence ao conjunto <math>A</math> e podemos escrever <math>a \not\in A.</math> 


=== Subconjuntos próprios e impróprios ===
[[Imagem:Venn A subset B.svg|thumb|Diagrama de Venn para <math>A \subseteq B</math>|direita|x200px]]
{{Ver artigo principal|[[Subconjunto]]}}
Se <math>A</math> e <math>B</math> são conjuntos e todo o elemento <math>x</math> pertencente a <math>A</math> também pertence a <math>B</math>, então o conjunto <math>A</math> é dito um [[subconjunto]] do conjunto <math>B</math>, denotado por <math>A \subseteq B</math>. Note que esta definição inclui o caso em que <math>A</math> e <math>B</math> possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (<math>A=B</math>, é equivalente a <math>A \subseteq B</math> e <math>B \subseteq A</math>). Se <math>A \subseteq B</math> e ao menos um elemento pertencente a <math>B</math> não pertence a <math>A</math>, então <math>A</math> é chamado de [[subconjunto próprio]] de <math>B</math>, denotado por <math>A \subset B</math>. Todo conjunto é subconjunto dele mesmo, entretanto não se enquadra na definição de [[subconjunto próprio]], e é chamado de ''subconjunto impróprio''.

=== Conjunto vazio ===
{{Ver artigo principal|[[Conjunto vazio]]}}
É o conjunto que não possui elemento. Ele é representado pelos símbolos <math>\{\}</math> ou <math>\emptyset</math>. Nunca use para demonstrar um conjunto vazio esta representação <math>\{\emptyset\}</math>, pois ela indica que há um elemento dentro deste conjunto o que o torna um [[conjunto unitário]]. Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por <math>\{ \}</math>ou <math>\emptyset</math>.

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais, uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

=== Cardinalidade ===
{{Ver artigo principal|[[Cardinalidade]]}}
Se um conjunto tem <math display="inline">n</math> elementos, onde <math display="inline">n</math> é um [[número natural]] (incluindo o 0), então diz-se que o conjunto é um [[conjunto finito]] com '''cardinalidade,''' ou número [[Número cardinal|cardinal]] <math display="inline">n</math>.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático [[Georg Cantor]]. Neste caso, a cardinalidade poderá ser <math>\aleph_0</math> ([[Aleph (matemática)|aleph-0]]), <math>\aleph_1, \aleph_2 ....</math> 

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto <math>A</math> é denotada por <math>|A|</math>. Se para dois conjuntos <math>A</math> e <math display="inline">B</math> é possível fazer uma relação um-a-um entre seus elementos, então <math> |A|=|B| .</math>

=== Conjunto potência ou das partes ===
{{Ver artigo principal|[[Conjunto de partes]]}}
O conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto dado <math>A</math> é chamado de ''conjunto potência'' (ou ''conjunto das partes'') de <math>A</math>, denotado por <math>P(A).</math> O conjunto potência é uma [[álgebra booleana]] sobre as operações de união e interseção.

Sendo o conjunto dado <math>A</math> finito, com <math>n</math> elementos, prova-se que o número de subconjuntos, isto é, o número de elementos do conjunto potência ou conjunto das partes de <math>A</math> é <math>2^n,</math> ou seja, a [[cardinalidade]] do conjunto das partes de <math>A</math> é igual a <math>2^n.</math> Como existe uma [[bijecção]] entre o conjunto das partes de <math display="inline">A</math> e o conjunto <math>\{0,1\}^A,</math> é usual representar-se <math display="inline">P(A)</math> por <math>2^A.</math> 

O [[Teorema de Cantor]] estabelece que <math>|A| < |P(A)|.</math> 

=== Produto cartesiano ===
{{Ver artigo principal|[[Produto cartesiano]]}}
O [[produto cartesiano]] de dois conjuntos ''A'' e ''B'' é o conjunto de [[Par ordenado|pares ordenados]]:

<math display="block">A \times B= \{(a,b) : a \in A \land b \in B\}</math>

A soma ou [[união disjunta]] de dois conjuntos ''A'' e ''B'' é o conjunto

<math display="block">A + B = A \times \{0\} \cup B \times \{1\}.</math>

== Operações com conjuntos ==

De maneira semelhante ao que ocorre com os [[números]], também existem operações matemáticas com conjuntos. Nos exemplos são utilizados [[Diagrama de Venn|diagramas de Venn]] para ilustrar.

{| class="wikitable"
|-
! Operação !! Operador !! Definição !! Exemplo
|-
| [[União (matemática)|União]] || <math>\cup</math> ||A [[união (matemática)|união]] (ou reunião) de dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math> é o conjunto <math>A \cup B</math> composto dos elementos que pertencem a um dos conjuntos <math>A</math> ou <math>B</math>  ou a ambos. A união de N conjuntos <math>S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cdots \cup S_N = \cup_{i=1}^N S_i</math> é o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao menos a um dos conjuntos <math>S_i</math>. A união entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por <math>A \cup B=\{\forall x | x\in A \lor x\in B\}</math>.|| [[Imagem:Venn0111.svg|thumb|<math>A \cup B</math>|centro]]
|-
| [[Interseção]] ||<math>\cap</math> ||A [[interseção]] de dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math> é o conjunto <math>A \cap B</math> composto dos elementos que pertencem simultaneamente aos dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math>. A definição formal da interseção é <math>A \cap B =
 \{\forall x | x\in A \land x\in B\}</math>.|| [[Imagem:Venn0001.svg|thumb|<math>A \cap B</math>|centro]]
|-
| [[Complementar]] ||<math>A^c</math> ou <math>U \setminus A</math>||O [[Complementar|complemento]] <math>A^c</math> (ou <math>U \setminus A</math>) de um conjunto <math>A</math> se refere aos elementos que não estão no conjunto <math>A</math>. Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa a um [[conjunto universo]] <math>U</math>, isto é, o complemento de <math>A</math> em relação a <math>U</math>. É o mesmo que <math>U</math><math>-</math><math>A</math>. O conjunto <math>A^c</math> é formado pelos elementos de <math>U</math> que não pertencem a <math>A</math>, formalmente definida por <math>A^c = \{\forall x | x \in U \land  x \notin A \}</math> || [[Imagem:Venn1010.svg|thumb|<math>A^c</math>|centro]]
|-
| [[diferença (matemática)|Diferença]] || <math>\setminus</math> ou <math>-</math> ||A [[diferença (matemática)|diferença]] <math>A \setminus B</math> (ou <math>A</math><math>-</math><math>B</math>) entre dois conjuntos <math>A</math> e <math>B</math> é o conjunto dos elementos que pertencem a <math>A</math> e que não pertencem a <math>B.</math> A diferença entre dois conjuntos pode ser definida formalmente por <math>A \setminus B = \{\forall x | x \in A \land x \notin B\}</math>.|| [[Imagem:Venn0100.svg|thumb|<math>A \setminus B</math>|centro]]
|}
Em uma expressão que envolve mais de dois conjuntos, deve-se seguir um conjunto de regras<ref>{{Citar web |ultimo=Wladis |primeiro=Claire |url=http://www.cwladis.com/math100/Lecture4Sets.htm |titulo=Compound operations on sets |data= |acessodata=2020-09-12 |website=Math 100 Online |publicado= |outros=Página inicial do curso: http://www.cwladis.com/math100/begincourse.html}}</ref> para estabelecer a ordem de execução das operações:

# Da mesma forma que com números, faz-se primeiramente o que está entre parênteses. Se houver mais de um conjunto de parênteses, resolve-se de dentro para fora;
# Em seguida, calcula-se os complementos;
# As operações de união, interseção e diferença possuem a mesma prioridade. Desta forma, deve-se utilizar parênteses para indicar qual operação deve ser executada primeiro. Dito isso, uma expressão como <math>A \cup B - C</math> não possui solução definida, visto que <math>(A \cup B) - C \neq A \cup (B - C)</math>.

==Conjuntos compostos por números==
<small>Nota: Nesta seção, ''a'', ''b'' e ''c'' são [[Número natural|números naturais]], enquanto ''r'', ''s'', ''t'' e ''u'' são [[Número real|números reais]].</small>
# [[Número natural|Números naturais]] são usados para contar. O símbolo <math>\mathbb{N}</math> usualmente representa este conjunto. Na literatura matemática, é possível encontrar textos que incluem o zero como número natural e textos que não incluem.
# [[Número primo|Números primos]] aparecem na fatoração de números inteiros. O símbolo <math>\mathbb{P}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Número inteiro|Números inteiros]] aparecem como soluções de equações como <var>x</var> + <var>a</var> = <var>b</var>. O símbolo <math>\mathbb{Z}</math> usualmente representa este conjunto (do termo alemão ''Zahlen'' que significa ''números'').
# [[Número racional|Números racionais]] aparecem como soluções de equações como <var>a</var> + <var>bx</var> = <var>c</var>. O símbolo <math>\mathbb{Q}</math> usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).
# [[Número irracional|Números irracionais]] são números reais que não são números racionais. O símbolo <math>\mathbb{I}</math> ou a operação <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Número algébrico|Números algébricos]] aparecem como soluções de [[Equação polinomial|equações polinomiais]] (com coeficientes inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo <math>\mathbb{A}</math>  usualmente representa este conjunto.
# [[Número transcendental|Números transcendentais]] são números reais que não são números algébricos. O símbolo <math>\mathbb{T}</math> ou a operação <math>\mathbb{R}\setminus\mathbb{A}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Número real|Números reais]] incluem os números algébricos e os números transcendentais. O símbolo <math>\mathbb{R}</math> usualmente representa este conjunto. (O estudo destes conjuntos é tão importante que recebe até nome específico: [[análise real]].)
# [[Números imaginários]] aparecem como soluções de equações como <var>x</var> ² + r = 0 onde r > 0. O símbolo <math>i</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Números complexos]] é a soma dos números reais e dos imaginários: <math>r + si.</math> O símbolo <math>\mathbb{C}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Quaterniões|Números quaterniões]] é a soma de números reais e de três números imaginários de unidades distintas: <math>r + si + tj + uk.</math> O símbolo <math>\mathbb{H}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Octoniões|Números octoniões]] é a soma de números reais e de sete números imaginários de unidades distintas. O símbolo <math>\mathbb{O}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Número complexo hiperbólico|Números complexos hiperbólicos]] é a soma de números reais com uma unidade que satisfaz <math>\jmath^2 = 1</math> e <math>\jmath \neq \pm 1.</math> Os números complexos hiperbólicos são da forma <math>r + s\jmath.</math> Aqui tanto <var>r</var> quanto <var>s</var> podem ser iguais a zero. O símbolo <math>\mathbb{R}^{1,1}</math> usualmente representa este conjunto.
# [[Número p-ádico|Números p-ádicos]] são uma extensão dos números inteiros, onde <var>p</var> é um número primo. Os símbolos <math>\mathbb{Z}_p</math> usualmente representam estes conjuntos. (não confundir com inteiros módulo <var>p</var>)
# [[Número ordinal|Números ordinais]] aparecem em [[Teoria dos Conjuntos]]. Não existe o conjunto dos números ordinais.
# [[Número cardinal|Números cardinais]] aparecem em [[Teoria dos Conjuntos]]. Um número cardinal é um número ordinal que não é equipotente a nenhum ordinal menor do que ele. Não existe o conjunto dos números cardinais.

== Ver também ==
{{Wikilivros|Matemática elementar|Conjuntos}}

{{Referências}}
{{notas}}

{{Commonscat|Set theory}}
{{div col}}
*[[Filosofia da matemática]]
*[[Lógica matemática]]
*[[Teoria dos conjuntos]]
*[[Multiconjunto]]
*[[Hiperconjunto]]
*Em [[análise real]]: [[conjunto aberto]], [[conjunto fechado]], [[fecho]]
*''[[Principia mathematica]]''
* [[Habitação social|Conjuntos habitacionais]]
{{div col end}}

{{Teoria dos conjuntos}}
{{Fundamentos da matemática}}
{{Controle de autoridade}}
{{Portal3|Matemática}}
{{DEFAULTSORT:Conjunto}}

[[Categoria:Teoria dos conjuntos]]
[[Categoria:Objetos matemáticos]]