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{{DISPLAYTITLE:Conjunto difuso}}

Na [[matemática]], '''conjuntos difusos''', '''conjuntos nebulosos''' ou '''conjuntos fuzzy''', são [[Conjunto (matemática)|conjuntos]] aos quais os [[Elemento (matemática)|elementos]] têm graus de pertinência. Conjuntos difusos foram apresentados por [[Lotfi Asker Zadeh|Lotfi A. Zadeh]]<ref>L. A. Zadeh (1965) [http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf "Fuzzy sets"] {{Wayback|url=http://www-bisc.cs.berkeley.edu/Zadeh-1965.pdf |date=20071127005930 }}. ''Information and Control'' 8 (3) 338–353.</ref> e Dieter Klaua<ref>Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Deutsch. Akad. Wiss. Berlin 7, 859–876. A recent in-depth analysis of this paper has been provided by {{Citar periódico|titulo = An early approach toward graded identity and graded membership in set theory|url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165011409005326|jornal = Fuzzy Sets and Systems|data = 2010-09-16|paginas = 2369-2379|volume = 161|numero = 18|doi = 10.1016/j.fss.2009.12.005|primeiro = Siegfried|ultimo = Gottwald}}</ref> em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjuntos. Ao mesmo tempo, Salii (1965) definiu mais um tipo de estrutura chamada relação-L, que ele estudou em um contexto de algébra abstrata. Relações difusas, que são usadas atualmente em diferentes áreas, como [[linguística]] (De Cock, et al., 2000), [[tomada de decisão]] (Kuzmin, 1982) e [[clustering]] (Bezdek, 1978), são casos especiais de relações-L quando L é um intervalo unitário [0,1].

Em teoria clássica dos [[Teoria dos conjuntos|conjuntos]], a pertinência de elementos a um conjunto é avaliada em termos de acordo binário a uma [[Princípio da bivalência|condição bivalente]] — um elemento pertence ou não ao conjunto. No entanto, a teoria de conjuntos difusos permite a avaliação gradual da associação de elementos em um conjunto; isto é descrito como um auxílio a [[Função de pertinência(matemática)|função de pertinência]] valorada no intervalo unitário real [0,&nbsp;1]. Conjuntos difusos generalizam conjuntos clássicos, uma vez que a [[função indicadora]] dos conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência dos conjuntos difusos, somente se o último possui valores 0 ou 1.<ref>D. Dubois and H. Prade (1988) Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York.</ref> Na teoria dos conjuntos difusos, conjuntos bivalentes clássicos são frequentemente chamados de [[Conjuntos crisp|conjuntos ''crisp'']]. A teoria dos conjuntos difusos pode ser usada em uma larga escala de domínios em que a informação é incompleta ou imprecisa, tal como [[bioinformática]].<ref>Lily R. Liang, Shiyong Lu, Xuena Wang, Yi Lu, Vinay Mandal, Dorrelyn Patacsil, and Deepak Kumar, "FM-test: A Fuzzy-Set-Theory-Based Approach to Differential Gene Expression Data Analysis", BMC Bioinformatics, 7 (Suppl 4): S7. 2006.</ref>

Tem sido sugerido por Thayer Watkins que a etnia de Zadeh é um exemplo de conjunto difuso pois "seu pai era Turco-Iraniano e sua mãe era Russa. Seu pai foi um jornalista em Baku, Azerbaijão e na União Soviética. Lotfi nasceu em Baku em 1921 e viveu lá até sua família se mudar para Tehran em 1931."<ref>[http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/fuzzysets.htm "Fuzzy Logic: The Logic of Fuzzy Sets"]</ref>

== Definição ==
Um conjunto difuso é um par <math>(U, m)</math> onde <math>U</math> é um conjunto e <math>m\colon U \rightarrow [0,1].</math>

<math>\forall x\in U,</math> o valor de <math>m(x)</math> é chamado de '''grau''' de pertinência de <math>x</math> em <math>(U,m).</math> Para um conjunto finito <math>U=\{x_1,\dots,x_n\},</math> o conjunto difuso <math>(U, m)</math> é frequentemente denotado por <math>\{m(x_1)/x_1,\dots,m(x_n)/x_n\}.</math>

Seja <math>x \in U.</math> Então, <math>x</math> é chamado de '''não incluso''' no conjunto difuso <math>(U,m)</math> se {{nowrap|<math>m(x) = 0</math>}}, <math>x</math> é chamado '''totalmente incluso''' se {{nowrap|<math>m(x) = 1</math>}}, e <math>x</math> é chamado '''membro difuso''' se {{nowrap|<math>0 < m(x) < 1</math>.<ref>{{Citar web |url=http://www.aaai.org/aitopics/pmwiki/pmwiki.php/AITopics/FuzzyLogic |titulo=AAAI |acessodata=2015-07-04 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20080805071058/http://www.aaai.org/aitopics/pmwiki/pmwiki.php/AITopics/FuzzyLogic |arquivodata=2008-08-05 |urlmorta=yes }}</ref>}}
O conjunto <math>\{x\in U\mid m(x)>0\}</math> é chamado de '''suporte''' de <math>(U,m)</math> e o conjunto <math>\{x\in U\mid m(x)=1\}</math> é chamado seu '''núcleo'''. A função <math>m</math> é chamada de '''função de pertinência''' de um conjunto difuso <math>(U, m).</math>

Algumas vezes, as variantes mais gerais da noção de difusão são usadas, com as funções de pertinência tomando valores em uma (fixa ou variável) [[Estrutura algébrica|álgebra]] ou [[Estrutura de interpretação (lógica)|estrutura]] <math>L</math> de um dado tipo; normalmente se é exigido que tenha pelo menos um [[Conjunto parcialmente ordenado|poset]] ou [[reticulado]]. Estes são normalmente chamados de '''conjuntos ''L''-difusos''', para distingui-los de valores sobre o intervalo unitário. As funções de pertinência usuais com valores em [0,&nbsp;1] são então chamadas funções de pertinência [0,&nbsp;1]-valoradas. Esses tipos de generalizações foram primeiramente consideradas em 1967 por [[Joseph Goguen]], que foi um aluno de Zadeh.<ref>Goguen, Joseph A., 196, "''L''-fuzzy sets". ''Journal of Mathematical Analysis and Applications'' '''18''': 145–174</ref>

== Lógica difusa ==
{{Artigo principal|Lógica difusa}}

Como uma extensão do caso da [[lógica multivalorada]], valorações (<math>\mu : \mathit{V}_o \to \mathit{W}</math>) de [[variáves proposicionais]] (<math>\mathit{V}_o</math>) em um conjunto de graus de pertinência (<math>\mathit{W}</math>) podem ser consideradas como [[Função de pertinência(matemática)|funções de pertinência]] mapeando [[Lógica de primeira ordem|predicados]] em conjuntos difusos (ou mais formalmente, em um conjunto ordenado de pares difusos, chamado de uma relação difusa). Com essas valorações, a lógica multivalorada pode ser estendida para permitir [[premissa]]s a partir das quais conclusões gradativas podem ser extraídas.<ref>[[Siegfried Gottwald]], 2001. ''A Treatise on Many-Valued Logics''. Baldock, Hertfordshire, England: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1</ref>

Esta extensão é às vezes chamada "lógica difusa no sentido estrito" ao contrário da "lógica de sentido amplo," que originou-se nos campos da [[engenharia]] de controle [[Automação|automatizado]] e [[Engenheiro de conhecimento|engenharia de conhecimento]], e que engloba muitos tópicos envolvendo conjuntos difusos e "raciocínio aproximado".<ref>"The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning," ''Information Sciences'' '''8''': 199–249, 301–357; '''9''': 43–80.</ref>

Aplicações industriais de conjuntos difusos no contexto de "lógica difusa em um sentido amplo" podem ser encontradas em [[lógica difusa]].

== Números difusos ==
Um '''número difuso''' é um conjunto difuso [[Conjunto convexo|convexo]] e [[Constante de normalização|normalizado]] <math>\tilde{\mathit{A}}\subseteq\mathbb{R}</math> em que a função de pertinência é pelo menos segmentalmente [[função contínua|contínua]] e tenha o valor funcional <math>\mu_{A}(x)=1</math> em precisamente um elemento.

Isso pode ser comparado ao jogo chamado "adivinhe seu peso", onde alguém tenta adivinhar o peso do seu oponente com palpites cada vez mais corretos, e o jogador "ganha" se ele ou ela se aproxima o suficiente ao peso do oponente com o peso real completamente correto (mapeando cada um pela função de pertinência).

== Intervalo difuso ==
Um '''intervalo difuso''' é um conjunto incerto <math>\tilde{\mathit{A}}\subseteq\mathbb{R}</math> com um intervalo médio cujos elementos possuem o valor da função de pertinência <math>\mu_{A}(x)=1</math>. Como em números difusos, a função de pertinência deve ser [[Conjunto convexo|convexa]], [[Constante de normalização|normalizada]], ao menos segmentalmente [[função contínua|contínua]].<ref>"Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility," ''Fuzzy Sets and Systems'' '''1''': 3–28</ref>

== Equação da relação difusa ==
A equação de relação difusa é uma equação da forma A · R = B, onde A e B são conjuntos difusos, R é uma relação difusa, e A . R representa a composição de A com R.

== Definição axiomática de credibilidade ==
<ref>Liu, Baoding. "Uncertain theory: an introduction to its axiomatic foundations." Berlin: Springer-Verlag (2004).</ref> Seja A um conjunto não-vazio e P(A) o conjunto das partes de A. A função de conjunto <math> Cr </math> é conhecida como a medida de credibilidade se ela satisfaz as seguintes condições:

* Axioma 1: <math> Cr \lbrace A \rbrace = 1 </math>
* Axioma 2: Se B é um subconjunto de C, então, <math> Cr \lbrace B \rbrace \leq Cr \lbrace C \rbrace  </math>
* Axioma 3: <math>Cr \lbrace B \rbrace  + Cr \lbrace B^{c} \rbrace = 1</math>
* Axioma 4: <math> Cr \lbrace \cup A_{i} \rbrace = \sup_{i}(Cr(A_{i})) </math>, para todo evento <math>A_{i}</math>  com <math> \sup_{i} Cr \lbrace A_{i} \rbrace < 0.5</math>
Cr{B} indica o quão frequentemente o evento B ocorre.

== Teorema de inversão da credibilidade ==
<ref name="Não_nomeado-xdFI-1">Liu, Baoding, and Yian-Kui Liu. "Expected value of fuzzy variable and fuzzy expected value models." Fuzzy Systems, IEEE Transactions on 10.4 (2002): 445-450.</ref> Seja A uma varíável difusa com a função de pertinência u. Então para todo conjunto B de números reais, temos

:<math> Cr\lbrace A \in B \rbrace = \dfrac{1}{2}\left(\sup_{t \in B} u(t) + 1 - \sup_{t \in B^{c}} u(t)\right) </math>

== Valor esperado ==
<ref name="Não_nomeado-xdFI-1"/> Seja A uma variável difusa. Então o valor esperado é dado como

:<math> E[A] = \int_0^\infty Cr \lbrace A \geq t \rbrace \,dt - \int_{-\infty}^0 Cr \lbrace A \leq t \rbrace \,dt.</math>

== Entropia ==
<ref>Xuecheng, Liu. "Entropy, distance measure and similarity measure of fuzzy sets and their relations." Fuzzy sets and systems 52.3 (1992): 305-318.</ref> Seja A uma variável difusa com uma função de pertinência contínua. Então sua entropia é

:<math> H[A] = \int_{- \infty}^\infty S(Cr \lbrace A \geq t \rbrace )\,dt.</math>

onde
:<math> S(y) = -y \,\text{ln}y - (1 - y ) \,\text{ln}(1-y)</math>

== Generalizações ==
Existem muitas construções matemáticas semelhantes ou mais gerais que os conjuntos difusos. Desde que os conjuntos difusos foram apresentados em 1965, uma grande quantidade de novas construções matemáticas e teorias de tratamento de imprecisão, inexatidão, ambiguidade e incerteza têm sido desenvolvidas. Algumas dessas construções e teorias são extensões da teoria dos conjuntos difusos, enquanto outras tentam modelar matematicamente a imprecisão e incerteza de diferentes maneiras (Burgin and Chunihin, 1997; Kerre, 2001; Deschrijver and Kerre, 2003).

A diversidade de tais construções e teorias correspondentes incluem:
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* conjuntos de intervalo (Moore, 1966),
* conjuntos ''L''-fuzzy (Goguen, 1967),
* conjuntos desfocados (Gentilhomme, 1968),
* conjuntos difusos boolean-valorados (Brown, 1971),
* conjuntos difusos tipo-2 e conjuntos difusos tipo-n (Zadeh, 1975),
* conjuntos com valor de conjunto (Chapin, 1974; 1975),
* conjuntos difusos com valor de intervalo (Grattan-Guinness, 1975; Jahn, 1975; Sambuc, 1975; Zadeh, 1975),
* funções como generalizações de conjuntos e multi-conjuntos difusos (Lake, 1976),
* conjuntos difusos de níveis (Radecki, 1977)
* conjuntos indeterminados (Narinyani, 1980),
* conjuntos aproximativos (Pawlak, 1982),
* conjuntos difusos intuitivos (Atanassov, 1983),
* multi-conjuntos difusos (Yager, 1986),
* conjuntos ''L''-difusos intuitivos (Atanassov, 1986),
* multi-conjuntos aproximativos (Grzymala-Busse, 1987),
* conjuntos difusos aproximativos (Nakamura, 1988),
* conjuntos difusos real-valorados (Blizard, 1989),
* conjuntos vagos (Wen-Lung Gau and Buehrer, 1993),
* conjuntos-Q (Gylys, 1994)
* conjuntos sombreados (Pedrycz, 1998),
* conjuntos nível-'alfa' (Yao, 1997),
* conjuntos genuínos (Demirci, 1999),
* conjuntos suaves (Molodtsov, 1999),
* conjuntos difusos aproximativos e intuitivos (Cornelis, De Cock and Kerre, 2003)
* conjuntos embassados (Smith, 2004)
* conjuntos L-difusos aproximativos (Radzikowska and Kerre, 2004),
* conjuntos difusos aproximativos generalizados (Feng, 2010)
* conjuntos difusos aproximativos intuitivos (Thomas and Nair, 2011),
* conjuntos difusos suavemente aproximativos (Meng, Zhang and Qin, 2011)
* conjuntos aproximativos suavemente difusos (Meng, Zhang and Qin, 2011)
* multiconjuntos suaves (Alkhazaleh, Salleh and Hassan, 2011)
* multiconjuntos suaves fuzzy (Alkhazaleh and Salleh, 2012)
{{colend}}

== Ver também ==
{{colbegin||25em}}
* [[Incerteza]]
* [[Multiconjunto]]
{{colend}}

{{Referências}}

== Leituras futuras ==
{{refbegin}}
* Alkhazaleh, S. and Salleh, A.R. Fuzzy Soft Multiset Theory, Abstract and Applied Analysis, 2012, article ID 350600, 20 p.
* Alkhazaleh, S., Salleh, A.R. and Hassan, N. Soft Multisets Theory, Applied Mathematical Sciences, v. 5, No. 72, 2011, pp.&nbsp;3561–3573
* Atanassov, K. T. (1983) Intuitionistic fuzzy sets, VII ITKR's Session, Sofia (deposited in Central Sci.-Technical Library of Bulg. Acad. of Sci., 1697/84) (in Bulgarian)
* Atanasov, K. (1986) Intuitionistic Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 20, No. 1, pp.&nbsp;87–96
* Bezdek, J.C. (1978) Fuzzy partitions and relations and axiomatic basis for clustering, Fuzzy Sets and Systems, v.1, pp.&nbsp;111–127
* Blizard, W.D. (1989) Real-valued Multisets and Fuzzy Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 33, pp.&nbsp;77–97
* Brown, J.G. (1971) A Note on Fuzzy Sets, Information and Control, v. 18, pp.&nbsp;32–39
* Chapin, E.W. (1974) Set-valued Set Theory, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, pp.&nbsp;619–634
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* Chris Cornelis, Martine De Cock and Etienne E. Kerre, Intuitionistic fuzzy rough sets: at the crossroads of imperfect knowledge, Expert Systems, v. 20, issue 5, pp.&nbsp;260–270, 2003
* Cornelis, C., Deschrijver, C., and Kerre, E. E. (2004) Implication in intuitionistic and interval-valued fuzzy set theory: construction, classification, application, International Journal of Approximate Reasoning, v. 35, pp.&nbsp;55–95
* Martine De Cock, Ulrich Bodenhofer, and Etienne E. Kerre, Modelling Linguistic Expressions Using Fuzzy Relations, (2000) Proceedings 6th  International Conference on Soft Computing. Iizuka 2000, Iizuka, Japan (1–4 October 2000) CDROM. p.&nbsp;353-360
* Demirci, M. (1999) Genuine Sets, Fuzzy Sets and Systems, v. 105, pp.&nbsp;377–384
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*{{Citar periódico|titulo = Universes of Fuzzy Sets and Axiomatizations of Fuzzy Set Theory. Part II: Category Theoretic Approaches|url = http://link.springer.com/article/10.1007/s11225-006-9001-1|jornal = Studia Logica|data = 2006-10-20|issn = 0039-3215|paginas = 23-50|volume = 84|numero = 1|doi = 10.1007/s11225-006-9001-1|idioma = en|primeiro = Siegfried|ultimo = Gottwald}}
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* {{citar livro|editor=Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh|título=Mathematics of fuzzy sets: logic, topology, and measure theory|ano=1999|publicado=Springer|isbn=978-0-7923-8388-8|series=The Handbooks of Fuzzy Sets Series|volume=3}}
* Jahn, K. U. (1975) Intervall-wertige Mengen, Math.Nach. 68, pp.&nbsp;115–132
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* {{citar livro|autor1 =George J. Klir|autor2 =Bo Yuan|título=Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications|ano=1995|publicado=Prentice Hall|isbn=978-0-13-101171-7}}
* Kuzmin,V.B. Building Group Decisions in Spaces of Strict and Fuzzy Binary Relations, Nauka, Moscow, 1982    (in Russian)
* Lake, J. (1976) Sets, fuzzy sets, multisets and functions, J. London Math. Soc., II Ser., v. 12, pp.&nbsp;323–326
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* Y. Y. Yao, A comparative study of fuzzy sets and rough sets, Information Sciences, v. 109, Issue 1-4, 1998, pp.&nbsp;227 – 242
* Zadeh, L. (1975) The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning–I, Inform. Sci., v. 8, pp.&nbsp;199–249
* {{citar livro|autor =Hans-Jürgen Zimmermann|título=Fuzzy set theory—and its applications|ano=2001|publicado=Kluwer|isbn=978-0-7923-7435-0|edição=4th}}
* Gianpiero Cattaneo and Davide Ciucci, "Heyting Wajsberg Algebras as an Abstract Environment Linking Fuzzy and Rough Sets" in J.J. Alpigini et al. (Eds.): RSCTC 2002, LNAI 2475, pp.&nbsp;77–84, 2002. {{doi|10.1007/3-540-45813-1_10}}
{{refend}}

== Ligações externas ==
* [https://web.archive.org/web/20060412203555/http://www.uncertainty-in-engineering.net/uncertainty_models/fuzziness Uncertainty model Fuzziness]
* [http://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/505545/description#description Fuzzy Systems Journal]
* [http://www.scholarpedia.org/article/Fuzzy_sets ScholarPedia]
* [https://web.archive.org/web/20060531095455/http://www.uncertainty-in-engineering.net/uncertainty_methods/fuzzy_analysis/ The Algorithm of Fuzzy Analysis]
* [https://web.archive.org/web/20150706063813/http://tizhoosh.uwaterloo.ca/Research/fuzzy_image_processing.htm Fuzzy Image Processing]

[[Categoria:Lógica difusa]]
[[Categoria:Lógica]]