Mostrar código-fonte de Conjunto pré-compacto

Em [[matemática]], um [[conjunto]] em um [[espaço topológico]] é dito '''pré-compacto''' ou '''totalmente limitado''' se seu [[fecho]] é um conjunto compacto.

Em [[Topologia (matemática)|topologia]] e em áreas relacionadas da matemática, um conjunto totalmente limitado é um espaço que pode ser coberto por um número finito de subconjuntos de qualquer ``tamanho" pré-fixado (onde o significado de tamanho aqui depende do contexto). Quanto menor o tamanho fixado, mais subconjuntos serão necessários, mas qualquer tamanho específico pré-fixado deve apenas demandar um número finito de subconjuntos. Uma noção relacionada é a de conjunto totalmente limitado, no qual apenas um subconjunto do espaço precisa ser coberto. Todo subconjunto de um espaço totalmente limitado é um conjunto totalmente limitado; porém, mesmo se um espaço não é totalmente limitado, alguns de seus subconjuntos ainda serão.

O termo pré-compacto é, por vezes usado com o mesmo significado, mas 'pré-compacto' é também usado para designar relativamente compactos. Num [[espaço métrico]] [[completo]], estes significados coincidem, mas em geral não.

== Definição para um Espaço Métrico ==

Um [[espaço métrico]] <math> (M,d) </math> é '''totalmente limitado''' 
se, e somente se, para todo número real <math> \epsilon >0  </math> existe
um subconjunto finito <math> F </math> de <math> M </math>
tal que para cada <math> m </math> em <math> M </math> temos <math> d(m, F)< \epsilon </math>. 
Note que <math> F </math> depende de <math> \epsilon </math>.

Todo espaço totalmente limitado é [[limitado]], mas a recíproca não é verdadeira em geral.
Por exemplo, um conjunto infinito com a [[métrica discreta]] é limitado mas não totalmente limitado.

Se M é um [[espaço euclidiano]] e d é a [[distância euclidiana]], então um subconjunto (com a [[topologia induzida]]) é totalmente limitado se, e somente se, é limitado.

== Definição em Outros Contextos==

A [[forma lógica]] simbólica geral para a [[definição]] é: Um subconjunto ''S'' de um espaço ''X'' é um conjunto totalmente limitado se, e somente se, dado qualquer tamanho  ''E'', existe um [[número natural]] ''n'' e uma [[família de subconjuntos|família]] ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ..., ''A''<sub>''n''</sub> de subconjuntos de ''X'', tal que ''S'' está contido na [[união (teoria dos conjuntos)|união]] desta família (em outras palavras, a família é uma  ''cobertura finita'' de ''S''),e tal que cada conjunto ''A''<sub>''i''</sub> da família é de tamanho ''E'' (ou menor). Simbolicamente:

:<math> \forall \; {E}>0,\; \exists \; {n \in \mathbb{N}},\; \exists \; { A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq ; X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{ e }\; \forall {i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{tamanho}(A_{i}) \leq E \right ). \! </math>
O espaço  ''X'' é um espaço totalmente limitado se, e somente se é um conjunto totalmente limitado quando considerado como um subconjunto de si próprio. 

(Pode-se também definir espaços totalmente limitados diretamente, e então definir um conjunto como totalmente limitado se, e somente se é totalmente limitado quando considerado como um [[subespaço (topologia)|subspaço]].)


{{mínimo sobre|matemática}}

[[Categoria:Topologia (matemática)]]