Mostrar código-fonte de Conjunto vazio

Em [[matemática]], mais especificamente em [[teoria dos conjuntos]], o '''conjunto vazio''' é o [[#Unicidade|único]] [[conjunto]] que não possui elementos. Dizemos que o seu tamanho ou [[cardinalidade]] é [[zero]]. Em algumas teorias de conjuntos a sua existência é postulada mediante o [[axioma do conjunto vazio]]; em outras é [[Dedução|deduzida]].

Um termo alternativo para conjunto vazio, porém inadequado, é ''[[conjunto nulo]]''<ref>{{smallcaps|Lipschutz}}, pp. 3 e 4</ref> que possui, em [[teoria da medida]], um significado técnico não-equivalente. Realmente, o conjunto vazio é, por definição de [[medida (matemática)|medida]], um conjunto de medida nula, mas é o único conjunto de medida nula sem elementos.

[[Imagem:Empty set symbol.svg|thumb|Símbolo usado para denotar o conjunto vazio|right]]

Uma [[Notação matemática|notação]] para o conjunto vazio, bastante comum, é "{ }"<ref>É um costume indicar conjuntos enumeráveis pela mera disposição de seus elementos entre "{" e "}". Não obstante, o conjunto vazio é enumerável e esta é, pois, uma notação natural.</ref>. Duas outras notações, igualmente comuns, são "<math>\varnothing</math>"<ref>O código [[Unicode]] para o símbolo {{unicode|∅}} é U+2205 (ver [http://www.unicode.org/charts/PDF/U2200.pdf Unicode Standard 5.2]). Em [[TeX]], <math>\varnothing</math> é codificado por <tt>\varnothing</tt>.</ref> e "<math>\emptyset</math>"<ref><math>\emptyset</math> é codificado, em [[TeX]], por <tt>\emptyset</tt>.</ref>. Estas foram introduzidas pelo grupo [[Bourbaki]] (mais especificamente por [[André Weil]]), em [[1939]], e são inspiradas na letra [[Ø]] do alfabeto dano-norueguês (e não possuem, de maneira alguma, relação com a letra grega [[Φ]])<ref>[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic]</ref>. Outras notações para o conjunto vazio, de uso menos frequente, são "Λ" e "0"<ref>{{smallcaps|Conway}}, p. 12</ref>.

== Unicidade ==
Uma consequência direta do [[axioma da extensão]] é
: ''Existe um <u>único</u> conjunto vazio''.

Ora, se <math>U</math> e <math>V</math> são conjuntos distintos, deduz-se com o axioma da extensão que
: <math>(\exists x)(x \in U \setminus V \lor x \in V \setminus U).</math>
Mas isto, por sua vez, implica
: <math>(\exists x)(x \in U \lor x \in V).</math>
Logo, <math>U</math> e <math>V</math> distintos não podem ser ambos vazios.

Apenas em palavras:

: ''Se dois conjuntos são diferentes então, pela [[Contraposição|contrapositiva]] do axioma da extensão, um deles possui um elemento que o outro não possui. Como os conjuntos em questão são vazios, não possuem elemento algum e, assim, somos obrigados a admitir que são iguais''.

== Propriedades ==
Muitas propriedades sobre conjuntos são trivialmente satisfeitas pelo conjunto vazio. Por exemplo, para mostrar que um conjunto <math>B</math> é subconjunto de um conjunto <math>A</math>, é necessário mostrar que todo elemento de <math>B</math> é também um elemento de <math>A</math>. E, logicamente, para mostrar que <math>B</math> não é subconjunto de <math>A</math>, é preciso exibir um elemento de <math>B</math> que não seja elemento de <math>A</math>. Assim, em particular, como <math>\varnothing</math> não possui elementos, não é possível mostrar que <math>\varnothing</math> não é subconjunto de um conjunto dado <math>A</math>. Logo, somos obrigados a aceitar que <math>\varnothing \subset A</math> qualquer que seja o conjunto <math>A</math>.

Tal como se argumenta em favor de que <math>\varnothing \subset A</math> para todo conjunto <math>A</math>, mostra-se que o conjunto vazio é um conjunto aberto da reta. De fato, para mostrar que <math>\varnothing</math> é aberto precisa-se mostrar que todo ponto de <math>\varnothing</math> é ponto interior. Como <math>\varnothing</math> não possui pontos, não possui também pontos que não são interiores e, assim, é, por impossibilidade de prova em contrário, um aberto da reta.

Em geral, para refutar que um conjunto <math>A</math> não possui uma propriedade <math>p</math> é necessário exibir um <math>x\in A</math> que invalida a propriedade, isto é, tal que <math>p(x)</math> é falsa. Assim, como <math>\varnothing</math> não possui elementos, é comum não se poder mostrar que <math>\varnothing</math> não possui uma dada propriedade <math>p</math>. Dizemos que tais propriedades são verdadeiras por vacuidade (isto é, por impossibilidade de mostrar-se o contrário).

=== Propriedades topológicas ===
* O conjunto vazio é ''[[Conjunto aberto|aberto]]''. De fato, por definição de [[Topologia (matemática)|topologia]]; ou ainda, como argumentado acima, porque não contém pontos que não sejam interiores.
* O conjunto vazio é ''[[Conjunto fechado|fechado]]''. Por definição de topologia, o espaço inteiro é sempre aberto. Deste modo, como complementar de aberto é fechado, segue que o vazio é fechado. Noutros termos, um conjunto é fechado quando contém todos os seus pontos de acumulação. Como <math>\varnothing</math> não possui pontos, não existem sequências de pontos <math>(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\subset\varnothing</math> e, assim, <math>\varnothing</math> não possui pontos de acumulação e é, portanto, fechado.
* O conjunto vazio é ''[[Conjunto compacto|compacto]]''. Como todo conjunto finito é compacto, <math>\varnothing</math> é compacto. Mais trivialmente, como <math>\varnothing</math> está contido em todo conjunto, em particular nos abertos, qualquer coleção finita de abertos cobre <math>\varnothing</math>.
* O conjunto vazio é ''[[Conjunto conexo|conexo]]''. Ora, para que <math>\varnothing</math> fosse desconexo, seria preciso que existissem dois abertos <math>U</math> e <math>V</math> não-vazios e disjuntos tais que <math>U \cup V = \varnothing</math>. Agora, a união de dois conjuntos não-vazios é sempre não-vazia e, portanto, <math>U \cup V \neq \varnothing</math> para quaisquer abertos não-vazios <math>U</math> e <math>V</math>.

=== Supremo e ínfimo ===
Uma vez que o conjunto vazio não possui elementos, quando considerado como um subconjunto de um [[Relação de ordem|conjunto ordenado]], todo elemento do conjunto ordenado é uma cota superior e, também, uma cota inferior para o conjunto vazio. Por exemplo, quando considerado como um subconjunto de <math>\mathbb{R}</math>, munido da ordem usual, todo número real é tanto uma cota superior como uma cota inferior para o conjunto vazio<ref>{{smallcaps|Thomson}}, {{smallcaps|Bruckner}} & {{smallcaps|Bruckner}}, p. 9</ref>. Assim, na reta real estendida, temos
: <math>\sup\varnothing=\min(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=-\infty</math>
e
: <math>\inf\varnothing=\max(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=+\infty.</math>

=== Teoria das categorias ===
Dado um conjunto <math>A</math> qualquer, <math>\varnothing \times A = \varnothing</math> e, assim, existe uma única [[função (matemática)|função]] <math>f : \varnothing \rightarrow A</math>, a ''função vazia''. Como resultado, o conjunto vazio é o único ''[[objeto inicial]]'' na ''[[categoria dos conjuntos]]''.

Podemos ainda fazer do conjunto vazio um ''[[espaço topológico]]'', chamado ''espaço vazio'', definindo sobre ele a seguinte ''topologia'': <math>\tau = \{\varnothing\}</math>. Este espaço topológico é o único objeto inicial na ''categoria dos espaços topológicos''.

== Questões filosóficas ==
Se por um lado o [[conceito]] de conjunto vazio é comum e amplamente aceito em matemática, por outro permanece como uma curiosidade [[Ontologia|ontológica]], sendo discutido por [[Filosofia|filósofos]] e [[Lógica matemática|lógicos]].

O conjunto vazio não é o mesmo que ''[[nada]]''; é um conjunto com nada ''dentro'' e um conjunto é sempre ''algo''. Esta questão pode ser melhor ilustrada com a analogia: uma sacola vazia, mesmo que vazia, ainda existe; e isto não se discute. Darling (2004) explica que o conjunto vazio não é nada senão "o conjunto de todos os triângulos com quatro lados, de todos os números maiores do que nove e menores do que oito, e o conjunto de todos os [[Abertura (xadrez)|movimentos de abertura]], em [[xadrez]], que envolvam um [[Rei (xadrez)|rei]]."

O [[silogismo]] popular
: ''Nada é melhor do que a eterna felicidade. Um sanduíche de presunto é melhor do que nada. Logo, um sanduíche de presunto é melhor do que a eterna felicidade''
é, frequentemente, usado para demonstrar a relação filosófica entre o conceito de nada e de conjunto vazio. Darling escreve que a diferença pode ser vista quando se reescreve as afirmações "Nada é melhor do que a eterna felicidade" e "Um sanduíche de presunto é melhor do que nada" em linguagem mais matemática. De acordo com Darling, as duas afirmações são, respectivamente, equivalentes a "O conjunto de todas as coisas que são melhores do que a eterna felicidade é <math>\varnothing</math>" e "O conjunto {sanduíche de presunto} é melhor do que o conjunto <math>\varnothing</math>". Enquanto a primeira frase é uma [[comparação]] entre elementos de conjuntos, a segunda é uma comparação entre dois conjuntos<ref>{{smallcaps|Darling}}, p. 106</ref>.

== Ver também ==
* [[Conjunto unitário]]
* [[Urelemento]]

==Notas==
<references/>

== Referências ==
* {{citar livro
| sobrenome = Conway
| nome = Jonh B
| autorlink = John Conway
| título = Functions of One Complex Variable
| idioma = inglês
| edição = 2nd
| ISBN = 0-387-90328-3
| ano = 1978
| páginas = 322
}}
* {{citar livro
| sobrenome = Darling
| nome = D. J
| ano = 2004
| idioma = inglês
| título = The universal book of mathematics
| editora = John Wiley and Sons
| ISBN = 0-471-27047-4
}}
* {{citar livro
| sobrenome = Halmos
| nome = Paul R
| autorlink = Paul Halmos
| título = Teoria ingênua dos conjuntos
| editora = Ciência Moderna
| ano = 2001
| local = Rio de Janeiro
| ISBN = 85-7393-141-8
| páginas = 178
| notas = Tradução de Lázaro Coutinho
}}
* {{citar livro
| sobrenome = Jech
| nome = Thomas J
| autorlink = Thomas_Jech
| idioma = inglês
| ano = 2003
| título = Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded
| editora = Springer
| ISBN = 3-540-44085-2
}}
* {{citar livro
| sobrenome = Lipschutz
| nome = Seymour
| autorlink = Seymour Lipschutz
| título = Teoria dos conjuntos
| editora = McGraw-Hill do Brasil Ltda
| ano = 1976
| local = Recife
| notas = Tradução de Fernando Vilain Heusi da Silva
}}
* {{smallcaps|Thomson}}, Brian S.; {{smallcaps|Bruckner}}, Judith B.; {{smallcaps|Bruckner}}, Andrew M., 2008. ''[http://classicalrealanalysis.info/com/Elementary-Real-Analysis.php Elementary Real Analysis]'' <span style="color:#555;">(em inglês)</span>, 2nd ed. Prentice Hall. 740 p. {{ISBN|978-1434843678}}

==Ligações externas==
*''[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Empty_set Empty set]'' em ''[[:en:Encyclopedia_of_Mathematics|Encyclopedia of Mathematics]]'' {{en}}
*{{MathWorld |title=Empty Set |urlname=EmptySet }} {{en}}
*''[http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Empty_Set Definition:Empty set]'' em ''ProofWiki'' {{en}}
*''[https://web.archive.org/web/20130921054941/http://www.proofwiki.org/wiki/Empty_Set_Unique Empty Set Unique]'' em ''ProofWiki'' {{en}}


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