Mostrar código-fonte de Constante Omega

A '''constante ômega''' é uma [[Lista de constantes matemáticas|constante matemática]] definida como o único [[número real]] que satisfaz a equação

: <math>\Omega e^\Omega = 1.</math>

Onde {{Math|&Omega;}} é o valor de {{Math|''W''(1)}}, e {{Mvar|W}} é [[Função W de Lambert|a função {{Mvar|W}} de Lambert]] . O nome é ômega vem da alternativa para a função {{Mvar|W}} de Lambert, chamada também de ''função ômega'' . O valor numérico de {{Math|&Omega;}} é dado por

: {{Math|1=&Omega; = {{gaps|0.56714|32904|09783|87299|99686|62210|...}}}}
: {{Math|1=1/&Omega; = {{gaps|1.76322|28343|51896|71022|52017|76951|...}}}}

== Propriedades ==

=== Representação de ponto fixo ===
A identidade definidora pode ser expressa, por exemplo, como

: <math>\ln(\tfrac{1}{\Omega})=\Omega.</math>

ou

: <math>-\ln(\Omega)=\Omega</math>

ou

: <math>e^{-\Omega}=\Omega.</math>

=== Computação ===
Pode-se calcular {{Math|&Omega;}} [[Método iterativo|iterativamente]], começando com uma estimativa inicial {{Math|&Omega;<sub>0</sub>}}, e considerando a [[sequência]]

: <math>\Omega_{n+1}=e^{-\Omega_n}.</math>

Esta sequência irá [[Limite de uma sequência|convergir]] para {{Math|&Omega;}} conforme {{Mvar|n}} aproxima do infinito. Isso ocorre porque {{Math|&Omega;}} é um [[Ponto fixo|ponto fixo atraente]] da função {{Math|''e''<sup>−''x''</sup>}} .

É muito mais eficiente usar a iteração

: <math>\Omega_{n+1}=\frac{1+\Omega_n}{1+e^{\Omega_n}},</math>

porque a função

: <math>f(x)=\frac{1+x}{1+e^x},</math>

além de ter o mesmo ponto fixo, também tem uma derivada que aí desaparece. Isso garante convergência quadrática; ou seja, o número de dígitos corretos é praticamente duplicado a cada iteração.

Usando [[método de Halley|o método de Halley]], {{Math|&Omega;}} pode ser aproximado com convergência cúbica (o número de dígitos corretos é aproximadamente triplicado com cada iteração): (ver também {{Link para secção|Lambert W function|Numerical evaluation}} ).

: <math>\Omega_{j+1}=\Omega_j-\frac{\Omega_j e^{\Omega_j}-1}{e^{\Omega_j}(\Omega_j+1)-\frac{(\Omega_j+2)(\Omega_je^{\Omega_j}-1)}{2\Omega_j+2}}.</math>

=== Representações integrais ===
Uma identidade devida a Victor Adamchik  é dada pela relação

: <math>\int_{-\infty}^\infty\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2} = \frac{1}{1+\Omega}.</math>

Outras relações devidas a I. Mező são<ref>{{Citar web |ultimo=István |primeiro=Mező |url=https://sites.google.com/site/istvanmezo81/others |titulo=An integral representation for the principal branch of Lambert the ''W'' function |acessodata=7 de novembro de 2017 |arquivourl=https://web.archive.org/web/20161228033902/https://sites.google.com/site/istvanmezo81/others |arquivodata=28 de dezembro de 2016}}</ref><ref>{{Citar arXiv|arxiv=2012.02480|nome=István|sobrenome=Mező|titulo=An integral representation for the Lambert W function|data=2020}}.</ref>

: <math>\Omega=\frac{1}{\pi}\operatorname{Re}\int_0^\pi\log\left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right) dt,</math>
: <math>\Omega=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt.</math>

As duas últimas identidades podem ser estendidas a outros valores da {{Mvar|W}} (ver também a {{Link para secção|Lambert W function|Representations}} ).

== Transcendência ==
A constante {{Math|&Omega;}} é [[Número transcendente|transcendental]] . Isso pode ser visto como uma consequência direta do [[Teorema de Lindemann–Weierstrass|teorema de Lindemann-Weierstrass]] . Para uma contradição, suponha que {{Math|&Omega;}} seja algébrico. Pelo teorema, {{Math|''e''<sup>−&Omega;</sup>}} é transcendental, mas {{Math|1=&Omega; = ''e''<sup>−&Omega;</sup>}}, o que é uma contradição. Portanto, deve ser transcendental.
{{referências}}
== Ligações externas ==
* {{MathWorld|urlname=OmegaConstant|title=Omega Constant}}
* {{Citation|título=Omega constant (1,000,000 digits)|url=http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html|periódico=[[Darkside communication group]] (in Japan)|acessodata=2017-12-25}}

[[Categoria:Constantes matemáticas]]