Mostrar código-fonte de Contração do comprimento

{{Descrição curta|Contração do comprimento na direção de propagação no espaço de Minkowski}}
[[Imagem:Relativistic wheels.gif|thumb|300px|right|Rodas que viajam a 9/10 da velocidade da luz. A velocidade do topo de uma roda é 0,994 c, enquanto a velocidade da parte inferior é sempre zero. É por isso que o topo é contraído em relação à parte inferior. Esta animação é feita com a suposição de que os raios de uma roda são muito mais elásticos do que sua circunferência. Caso contrário, pode haver uma ruptura dos raios ou da circunferência. No quadro referencial de repouso do centro de uma roda, as rodas são circulares e seus raios são retos e equidistantes, mas sua circunferência é contraída e exerce uma pressão sobre os raios.]]
{{Relatividade especial (barra lateral)|consequências}}
A '''contração de comprimento''' é o fenômeno em que o comprimento de um objeto em movimento é medido como sendo menor do que seu <!--[[:en:Proper length]]-->comprimento próprio, que é o comprimento medido no próprio <!--[[:en:Rest frame]]-->quadro referencial de repouso do objeto.<ref name=Dalarsson>{{Cite book |title=Tensors, Relativity, and Cosmology |edition=''2nd'' |first1=Mirjana |last1=Dalarsson |first2=Nils |last2=Dalarsson |publisher=''Academic Press'' |year=2015 |isbn=978-0-12-803401-9 |pages=106–108 |url=https://books.google.com/books?id=KZOZBgAAQBAJ |language=en}} [https://books.google.com/books?id=KZOZBgAAQBAJ&pg=PA106 Extrato da página 106]</ref> Ela também é conhecida como '''contração de Lorentz''' ou '''contração de Lorentz e FitzGerald''' (em homenagem a [[Hendrik Lorentz]] e [[George F. FitzGerald|George Francis FitzGerald]]) e geralmente só é perceptível em uma fração substancial da [[velocidade da luz]]. A contração de comprimento ocorre apenas na direção em que o corpo está viajando. Para objetos padrão, esse efeito é insignificante em velocidades cotidianas e pode ser ignorado para todos os propósitos regulares, tornando-se significativo apenas à medida que o objeto se aproxima da velocidade da luz em relação ao observador.

==História==
{{Artigo principal|História da relatividade especial}}
A contração do comprimento foi postulada por [[George F. FitzGerald|George FitzGerald]] (1889) e [[Hendrik Lorentz|Hendrik Antoon Lorentz]] (1892) para explicar o resultado negativo do [[Experiência de Michelson-Morley|experimento de Michelson e Morley]] e resgatar a hipótese do éter estacionário (<!--[[:Lorentz ether theory#Length contraction]]-->hipótese de contração de Lorentz e FitzGerald).<ref>{{Citation|author=FitzGerald, George Francis|year=1889|title=''The Ether and the Earth's Atmosphere''|journal=Science|volume=13|pages=390|doi=10.1126/science.ns-13.328.390|pmid=17819387|issue=328|bibcode = 1889Sci....13..390F|títulolink=s:The Ether and the Earth's Atmosphere|s2cid=43610293|language=en}}</ref><ref>{{Citation|last=Lorentz|first=Hendrik Antoon|year=1892|title=''The Relative Motion of the Earth and the Aether''|journal=Zittingsverlag Akad. V. Wet.|volume=1|pages=74–79|títulolink=s:Translation:The Relative Motion of the Earth and the Aether|language=en}}</ref> Embora FitzGerald e Lorentz tenham aludido ao fato de que campos eletrostáticos em movimento eram deformados ("Elipsóide de Heaviside" após [[Oliver Heaviside]], que derivou essa deformação da teoria eletromagnética em 1888), foi considerada uma <!--[[:en:Ad hoc hypothesis]]-->hipótese ''ad hoc'', porque naquela época não havia razão suficiente para assumir que as forças intermoleculares se comportavam da mesma forma que as eletromagnéticas. Em 1897, [[Joseph Larmor]] desenvolveu um modelo no qual todas as forças são consideradas de origem eletromagnética, e a contração do comprimento parecia ser uma consequência direta desse modelo. No entanto, foi demonstrado por [[Henri Poincaré]] (1905) que as forças eletromagnéticas sozinhas não podem explicar a estabilidade do elétron. Então ele teve que introduzir outra hipótese ''ad hoc'': forças de ligação que não são elétricas ([[Massa eletromagnética#Tensões de Poincaré e o problema de 4/3|tensões de Poincaré]]) que garantem a estabilidade do elétron, dão uma explicação dinâmica para a contração do comprimento e, assim, escondem o movimento do éter estacionário.<ref name=pais>{{Citation|author=Pais, Abraham|author-link=Abraham Pais|year=1982|title=<!--[[:en:Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein]]-->en:Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein|location=''New York''|publisher=''Oxford University Press''|isbn=0-19-520438-7|language=en}}</ref>

Lorentz acreditava que a contração do comprimento representava uma ''contração física'' dos átomos que compõem um objeto. Ele não previu nenhuma mudança fundamental na natureza do espaço e do tempo.<ref name="Miller1998">{{Cite book|last1=Miller|first1=Arthur I.|title=Albert Einstein's Special Theory of Relativity: Emergence (1905) and Early Interpretation (1905–1911)|date=1998|publisher=''Springer-Verlag''|location=''New York''|isbn=978-0-387-94870-6|language=en}}</ref>{{Rp|62–68}}  Lorentz esperava que a contração do comprimento resultasse em tensões compressivas em um objeto que deveriam resultar em efeitos mensuráveis. Tais efeitos incluiriam efeitos ópticos em meios transparentes, como rotação óptica<ref name="LorentzPolarization">{{Cite journal|last1=Lorentz|first1=H.A.|title=''The rotation of the plane of polarization in moving media''|journal=Huygens Institute – Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)|date=1902|volume=4|pages=669–678|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00014324.pdf|access-date=15-11-2018| bibcode=1901KNAB....4..669L|language=en}}</ref> e indução de refração dupla,<ref name="LorentzElectromagnetic">{{Cite journal|last1=Lorentz|first1=H. A.|title=''Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light''|journal=Huygens Institute – Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences (KNAW)|date=1904|volume=6|pages=809–831|url=http://www.dwc.knaw.nl/DL/publications/PU00014148.pdf|access-date=15-11-2018|bibcode=1903KNAB....6..809L|language=en}}</ref> e a indução de torques em condensadores carregados movendo-se em um ângulo em relação ao éter.

Lorentz ficou perplexo com experimentos como o [[Experiência de Trouton-Noble|experimento de Trouton e Noble]] e os <!--[[:en:Experiments of Rayleigh and Brace]]-->experimentos de Rayleigh e Brace, que falharam em validar suas expectativas teóricas.<ref name="Miller1998"/>

Para consistência matemática, Lorentz propôs uma nova variável de tempo, o "tempo local", chamado assim porque dependia da posição de um corpo em movimento, seguindo a relação {{Nowrap|1={{Prime|''t''}} = ''t'' − ''vx''/''c''<sup>2</sup>}}.<ref name="Lorentz1895">{{Cite book|last1=Lorentz|first1=Hendrik|title=Attempt at a Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Bodies (Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern)|date=1895|chapter=''Investigation of oscillations excited by oscillating ions''|chapter-url=https://en.wikisource.org/wiki/Translation:Attempt_of_a_Theory_of_Electrical_and_Optical_Phenomena_in_Moving_Bodies/Section_III|at=(''subsection'' § 31)|publisher=''E. J. Brill''|location=''Leiden''|url=https://en.wikisource.org/wiki/Translation:Attempt_of_a_Theory_of_Electrical_and_Optical_Phenomena_in_Moving_Bodies|language=en}}</ref> Lorentz considerou o tempo local não como "real"; em vez disso, representava uma mudança '''ad hoc'' de variável.<ref name="Bernstein2006">{{Cite book|last1=Bernstein|first1=Jeremy|title=Secrets of the Old One: Einstein, 1905|date=2006|publisher=''Copernicus Books (imprint of Springer Science + Business Media)''|isbn=978-0387-26005-1|language=en}}</ref>{{Rp|51,80}}

Impressionado pela "ideia mais engenhosa" de Lorentz, Poincaré viu mais no tempo local do que um mero truque matemático. Ele representava o tempo real que seria mostrado nos relógios de um observador em movimento. Por outro lado, Poincaré não considerou esse tempo medido como o "tempo verdadeiro" que seria exibido por relógios em repouso no éter. Poincaré não fez nenhuma tentativa de redefinir os conceitos de espaço e tempo. Para Poincaré, a transformação de Lorentz descrevia os estados ''aparentes'' do campo para um observador em movimento. Os ''estados verdadeiros'' permaneceram aqueles definidos com relação ao éter.<ref name="Darrigol2005">{{Cite journal|last1=Darrigol|first1=Olivier|title=''The Genesis of the Theory of Relativity''|journal=Séminaire Poincaré|date=2005|volume=1|pages=1–22|url=http://www.bourbaphy.fr/darrigol2.pdf|access-date=15-11-2018|bibcode=2006eins.book....1D|language=en}}</ref>

[[Albert Einstein]] (1905) é creditado<ref name=pais /> por remover o caráter ''ad hoc'' da hipótese de contração, derivando essa contração de seus postulados em vez de dados experimentais.<ref>{{Citation|doi=10.1002/andp.19053221004|author=Einstein, Albert|year=1905a|title=''Zur Elektrodynamik bewegter Körper''|journal=Annalen der Physik|volume=322|issue=10|pages=891–921|bibcode = 1905AnP...322..891E|url=http://www.physik.uni-augsburg.de/annalen/history/einstein-papers/1905_17_891-921.pdf|doi-access=free|language=de}}. Ver também: [http://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/ tradução em inglês].</ref> [[Hermann Minkowski]] deu a interpretação geométrica de todos os efeitos relativísticos ao introduzir seu conceito de [[espaço-tempo]] quadridimensional.<ref>{{Citation|author=Minkowski, Hermann|year=1909|title=''Raum und Zeit''|journal=Physikalische Zeitschrift|volume=10|pages=75–88|títulolink=s:de:Raum und Zeit (Minkowski)|language=de}}
:*Várias traduções em inglês na Wikisource: [[s:en:Space and Time|''Space and Time'']]</ref>

==Base na relatividade==
[[Imagem:Observer in special relativity.svg|thumb|Na relatividade especial, o observador mede eventos em relação a uma rede infinita de relógios sincronizados.]]
Primeiro é necessário considerar cuidadosamente os métodos para medir os comprimentos de objetos em repouso e em movimento.<ref name=born>{{Citation|author=Born, Max|author-link=Max Born|title=Einstein's Theory of Relativity|publisher=''Dover Publications''|year=1964|isbn=0-486-60769-0|url-access=registro|url=https://archive.org/details/einsteinstheoryo0000born|language=en}}</ref> Aqui, "objeto" significa simplesmente uma distância com pontos finais que estão sempre mutuamente em repouso, ou seja, que estão em repouso no mesmo [[Referencial inercial|quadro referencial inercial]]. Se a velocidade relativa entre um observador (ou seus instrumentos de medição) e o objeto observado for zero, então o <!--[[:en:Proper length]]-->comprimento próprio <math>L_0</math> do objeto pode ser simplesmente determinado pela superposição direta de uma haste de medição. No entanto, se a velocidade relativa for maior que zero, então pode-se proceder da seguinte forma:
[[Imagem:Lorentzkontraktion.svg|thumb|300px|right|''Contração de comprimento'': Três hastes azuis estão em repouso em S, e três hastes vermelhas em S'. No instante em que as extremidades esquerdas de A e D atingem a mesma posição no eixo de x, os comprimentos das hastes devem ser comparados. Em S, as posições simultâneas do lado esquerdo de A e do lado direito de C são mais distantes do que as de D e F, enquanto em S' as posições simultâneas do lado esquerdo de D e do lado direito de F são mais distantes do que as de A e C.]]
O observador instala uma fileira de relógios que são sincronizados a) pela troca de sinais de luz de acordo com a <!--[[:en:Einstein synchronisation]]-->sincronização de Poincaré e Einstein, ou b) pelo "transporte lento de relógio", ou seja, um relógio é transportado ao longo da fileira de relógios no limite da velocidade de transporte de [[Raiz (matemática)|desaparecimento]]. Agora, quando o processo de sincronização é concluído, o objeto é movido ao longo da fileira de relógios e cada relógio armazena o tempo exato em que a extremidade esquerda ou direita do objeto passa. Depois disso, o observador só precisa olhar para a posição de um relógio A que armazenou o tempo em que a extremidade esquerda do objeto estava passando, e um relógio B no qual a extremidade direita do objeto estava passando ''ao mesmo tempo''. É claro que a distância AB é igual ao comprimento <math>L</math> do objeto em movimento.<ref name=born /> Usando este método, a definição de [[Relatividade da simultaneidade|simultaneidade]] é crucial para medir o comprimento de objetos em movimento.

Outro método é usar um relógio indicando seu [[tempo próprio]] <math>T_0</math>, que está viajando de um ponto final da haste para o outro no tempo <math>T</math> conforme medido pelos relógios no quadro referencial de repouso da haste. O comprimento da haste pode ser calculado multiplicando seu tempo de viagem por sua velocidade, portanto <math>L_{0} = T\cdot v</math> no quadro referencial de repouso da haste ou <math>L = T_{0}\cdot v</math> no quadro referencial de repouso do relógio.<ref>{{Cite book|author1=Edwin F. Taylor|author2=John Archibald Wheeler|title=Spacetime Physics: Introduction to Special Relativity|year=1992|publisher=''W. H. Freeman''|location=''New York''|isbn=0-7167-2327-1|url=https://archive.org/details/spacetimephysics00edwi_0|language=en}}</ref>

Na mecânica newtoniana, a simultaneidade e a duração do tempo são absolutas e, portanto, ambos os métodos levam à igualdade de <math>L</math> e <math>L_0</math>. No entanto, na [[teoria da relatividade]], a constância da velocidade da luz em todos os quadros referenciais inerciais em conexão com a [[relatividade da simultaneidade]] e a [[dilatação do tempo]] destrói essa igualdade. No primeiro método, um observador em um quadro referencial alega ter medido os pontos finais do objeto simultaneamente, mas os observadores em todos os outros quadros referenciais inerciais argumentarão que os pontos finais do objeto ''não'' foram medidos simultaneamente. No segundo método, os tempos <math>T</math> e <math>T_0</math> não são iguais devido à dilatação do tempo, resultando em comprimentos diferentes também.

O desvio entre as medições em todos os quadros referenciais inerciais é dado pelas fórmulas para a [[transformação de Lorentz]] e a dilatação do tempo (veja [[#Derivação|Derivação]]). Acontece que o comprimento próprio permanece inalterado e sempre denota o maior comprimento de um objeto, e o comprimento do mesmo objeto medido em outro referencial inercial é menor que o comprimento próprio. Esta contração ocorre apenas ao longo da linha de movimento e pode ser representada pela relação
:<math>L = \frac{1}{\gamma(v)}L_0</math>
onde
*<math>L</math> é o comprimento observado por um observador em movimento em relação ao objeto;
*<math>L_0
</math> é o comprimento próprio (o comprimento do objeto em seu quadro referencial de repouso);
*<math>\gamma(v)</math> é o ''[[fator de Lorentz]]'', definido como:
<math display="block">\gamma (v) \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} </math>
onde
**<math>v</math> é a velocidade relativa entre o observador e o objeto em movimento;
**<math>c</math> é a velocidade da luz.
Substituir o fator de Lorentz na fórmula original leva à relação:
:<math>L = L_0\sqrt{1 - v^2/c^2}</math>
Nesta equação, tanto <math>L</math> quanto <math>L_0
</math> são medidos paralelamente à linha de movimento do objeto. Para o observador em movimento relativo, o comprimento do objeto é medido subtraindo-se as distâncias medidas simultaneamente de ambas as extremidades do objeto. Para conversões mais gerais, veja as [[Transformação de Lorentz|transformações de Lorentz]]. Um observador em repouso observando um objeto viajando muito próximo da velocidade da luz observaria o comprimento do objeto na direção do movimento como muito próximo de zero.

Então, a uma velocidade de {{Val|13400000|u=m/s}} (30 milhões de ''mph'', 0,0447{{Math|''c''}}), o comprimento contraído é 99,9% do comprimento em repouso; a uma velocidade de {{Val|42300000|u=m/s}} (95 milhões de ''mph'', 0,141{{Math|''c''}}), o comprimento ainda é 99%. À medida que a magnitude da velocidade se aproxima da velocidade da luz, o efeito se torna proeminente.

==Simetria==
O princípio da relatividade (segundo o qual as leis da natureza são invariantes em todos os quadros referenciais inerciais) requer que a contração do comprimento seja simétrica: se uma haste está em repouso em um quadro referencial inercial <math>S</math>, ela tem seu comprimento próprio em <math>S</math> e seu comprimento é contraído em <math>S'
</math>. No entanto, se uma haste repousa em <math>S'
</math>, ela tem seu comprimento próprio em <math>S'
</math> e seu comprimento é contraído em <math>S</math>. Isso pode ser vividamente ilustrado usando [[Diagrama de Minkowski|diagramas de Minkowski]] simétricos, porque a transformação de Lorentz corresponde geometricamente a uma rotação no [[espaço-tempo]] quadridimensional.<ref>{{Cite book|author=Albert Shadowitz|title=Special relativity|url=https://archive.org/details/specialrelativit0000shad|url-access=registro|isbn=0-486-65743-4|publisher=''Courier Dover Publications''|edition=''Reprint of 1968''|year=1988|pages=[https://archive.org/details/specialrelativit0000shad/page/20 20–22]|language=en}}</ref><ref name=sartori>{{Cite book|author=Leo Sartori|title=Understanding Relativity: a simplified approach to Einstein's theories|isbn=0-520-20029-2|publisher=''University of California Press''|year=1996|pages=151ff|language=en}}</ref>

==Forças magnéticas==
{{Artigo principal|Eletromagnetismo relativístico}}
Forças magnéticas são causadas pela contração relativística quando elétrons estão se movendo em relação aos núcleos atômicos. A força magnética em uma carga em movimento próxima a um fio condutor de corrente é um resultado do movimento relativístico entre elétrons e [[próton]]s.<ref>{{Cite web|url=https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_13.html|title=''The Feynman Lectures on Physics Vol. II Ch. 13: Magnetostatics''|website=www.feynmanlectures.caltech.edu|language=en}}</ref><ref name=Landau>{{Cite book|author=E M Lifshitz, L D Landau|title=The classical theory of ields|volume=2|series=<!--[[:en:Course of Theoretical Physics]]-->''Course of Theoretical Physics''|edition=''4th''|publisher=''Butterworth-Heinemann''|location=''Oxford UK''|year=1980|isbn=0-7506-2768-9|url=http://worldcat.org/isbn/0750627689|language=en}}</ref>

Em 1820, [[André-Marie Ampère]] mostrou que fios paralelos com correntes na mesma direção se atraem. No quadro referencial dos elétrons, o fio em movimento se contrai levemente, fazendo com que os prótons do fio oposto sejam localmente ''mais densos''. Como os elétrons no fio oposto também estão se movendo, eles não se contraem (tanto). Isso resulta em um desequilíbrio local aparente entre elétrons e prótons; os elétrons em movimento em um fio são atraídos pelos prótons extras no outro. O inverso também pode ser considerado. Para o quadro referencial do próton estático, os elétrons estão se movendo e se contraem, resultando no mesmo desequilíbrio. A [[velocidade de deriva]] do elétron é relativamente muito lenta, da ordem de um metro por hora, mas a força entre um elétron e um próton é tão enorme que, mesmo nessa velocidade muito lenta, a contração relativística causa efeitos significativos.

Esse efeito também se aplica a partículas magnéticas sem corrente, com a corrente sendo substituída pelo ''spin'' do elétron.<!---->

==Verificações experimentais==
<!---->
Qualquer observador que se mova com o objeto observado não pode medir a contração do objeto, porque ele pode julgar a si mesmo e ao objeto como em repouso no mesmo quadro referencial inercial de acordo com o princípio da relatividade (como foi demonstrado pelo <!--[[:en:Trouton–Rankine experiment]]-->experimento de Trouton e Rankine). Então a contração do comprimento não pode ser medida no quadro referencial de repouso do objeto, mas apenas em um quadro referencial no qual o objeto observado está em movimento. Além disso, mesmo em um quadro referencial que não é co-móvel, confirmações experimentais ''diretas'' da contração do comprimento são difíceis de serem alcançadas, porque (a) no estado atual da tecnologia, objetos de extensão considerável não podem ser acelerados a velocidades relativísticas, e (b) os únicos objetos viajando com a velocidade necessária são partículas atômicas, cujas extensões espaciais são muito pequenas para permitir uma medição direta da contração.

No entanto, há confirmações ''indiretas'' desse efeito em um referencial que não é co-móvel:
*Foi o resultado negativo de um experimento famoso, que exigiu a introdução da contração do comprimento: o [[Experiência de Michelson-Morley|experimento de Michelson e Morley]] (e mais tarde também o [[Experiência de Kennedy-Thorndike|experimento de Kennedy e Thorndike]]). Na relatividade especial, sua explicação é a seguinte: em seu quadro referencial de repouso, o interferômetro pode ser considerado em repouso de acordo com o princípio da relatividade, então o tempo de propagação da luz é o mesmo em todas as direções. Embora em um quadro referencial no qual o interferômetro esteja em movimento, o feixe transversal deva percorrer um caminho diagonal mais longo em relação ao quadro referencial imóvel, tornando assim seu tempo de viagem mais longo, o fator pelo qual o feixe longitudinal seria atrasado ao tomar os tempos ''L''/(''c''−''v'') e ''L''/(''c''+''v'') para as viagens para frente e para trás, respectivamente, é ainda maior. Portanto, na direção longitudinal, o interferômetro deve ser contraído, a fim de restaurar a igualdade de ambos os tempos de viagem de acordo com o(s) resultado(s) experimental(ais) negativo(s). Assim, a velocidade bidirecional da luz permanece constante e o tempo de propagação de ida e volta ao longo dos braços perpendiculares do interferômetro é independente de seu movimento e orientação.
*Dada a espessura da atmosfera medida no quadro referencial da Terra, a vida extremamente curta dos [[múon]]s não deveria permitir que eles fizessem a viagem até a superfície, mesmo na velocidade da luz, mas eles fazem mesmo assim. No quadro referencial da Terra, no entanto, isso só é possível porque o tempo do múon é desacelerado pela dilatação do tempo. No entanto, no quadro referencial do múon, o efeito é explicado pela atmosfera sendo contraída, encurtando a viagem.<ref name=sexl />
*Os [[íon]]s pesados que são esféricos quando em repouso devem assumir a forma de "panquecas" ou discos planos quando viajam quase à velocidade da luz – e, de fato, os resultados obtidos a partir de colisões de partículas só podem ser explicados quando a densidade aumentada de núcleons devido à contração do comprimento é considerada.<ref>{{Cite web|author=''Brookhaven National Laboratory''|url=http://www.bnl.gov/rhic/physics.asp|title=''The Physics of RHIC''|access-date=2013-01-01|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|author=Manuel Calderon de la Barca Sanchez|url=http://nuclear.ucdavis.edu/~calderon/Research/physicsResearch.html|title=''Relativistic heavy ion collisions''|access-date=2013-01-01|language=en}}</ref><ref>{{Cite journal|author=Hands, Simon|title=''The phase diagram of QCD''|year=2001|journal=Contemporary Physics|volume=42|issue=4|pages=209–225|doi=10.1080/00107510110063843|arxiv=physics/0105022|bibcode=2001ConPh..42..209H|s2cid=16835076|language=en}}</ref>
*A capacidade de [[ionização]] de partículas eletricamente carregadas com grandes velocidades relativas é maior do que o esperado. Na física pré-relativística, a capacidade deve diminuir em altas velocidades, porque o tempo em que partículas ionizantes em movimento podem interagir com os elétrons de outros átomos ou moléculas é diminuído; no entanto, na relatividade, a capacidade de ionização maior do que o esperado pode ser explicada pela contração do comprimento do [[Lei de Coulomb|campo de Coulomb]] em quadros referenciais nos quais as partículas ionizantes estão se movendo, o que aumenta sua força de campo elétrico normal à linha de movimento.<ref name=sexl>{{Citation|author1=Sexl, Roman|author2=Schmidt, Herbert K.|title=Raum-Zeit-Relativität|year=1979|publisher=Vieweg|location=''Braunschweig''|bibcode=1979raum.book.....S|isbn=3-528-17236-3|language=de}}</ref><ref>{{Citation|author=Williams, E. J.|title=''The Loss of Energy by β -Particles and Its Distribution between Different Kinds of Collisions''|year=1931|journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A|volume=130|issue=813|pages=328–346|doi=10.1098/rspa.1931.0008|bibcode=1931RSPSA.130..328W|doi-access=free|language=en}}</ref>
*Em [[síncrotron]]s e [[Laser de elétrons livres|''lasers'' de elétrons livres]], elétrons relativísticos foram injetados em um <!--[[:en:Undulator]]-->ondulador, de modo que a [[radiação síncrotron]] é gerada. No quadro referencial próprio dos elétrons, o ondulador é contraído, o que leva a uma frequência de radiação aumentada. Além disso, para descobrir a frequência medida no quadro referencial do laboratório, é preciso aplicar o [[Efeito Doppler relativístico|efeito de Doppler relativístico]]. Portanto, somente com o auxílio da contração do comprimento e do efeito de Doppler relativístico, o [[comprimento de onda]] extremamente pequeno da radiação do ondulador pode ser explicado.<ref>{{Cite web|author=''DESY photon science''|url=http://photon-science.desy.de/research/studentsteaching/primers/synchrotron_radiation/index_eng.html|title=''What is SR, how is it generated and what are its properties?''|access-date=2013-01-01|urlmorta=sim|archive-url=https://web.archive.org/web/20160603161837/http://photon-science.desy.de/research/studentsteaching/primers/synchrotron_radiation/index_eng.html|archive-date=2016-06-03|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|author=''DESY photon science''|url=http://flash.desy.de/sites2009/site_vuvfel/content/e395/e2188/FLASH-Broschrefrs_web.pdf|title=''FLASH The Free-Electron Laser in Hamburg (PDF 7,8 MB)''|access-date=2013-01-01|language=en}}</ref>

==Realidade da contração do comprimento==
[[Imagem:EinsteinContraction.svg|thumb|300px|Diagrama de Minkowski do [[experimento mental]] de Einstein de 1911 sobre contração de comprimento. Duas barras de comprimento de repouso <math>A' B'=A'' B''=L_0</math> estão se movendo com <math> 0,6 c </math> em direções opostas, resultando em <math>A^\ast B^\ast <L_0</math>.]]
Em 1911, [[Vladimir Varićak]] afirmou que se vê a contração do comprimento de forma objetiva, de acordo com Lorentz, enquanto é "apenas um fenômeno aparente e subjetivo, causado pela maneira como regulamos o relógio e medimos o comprimento", de acordo com Einstein.<ref>{{Cite book|url=https://en.wikisource.org/wiki/Translation:On_Ehrenfest's_Paradox|title=On Ehrenfest's Paradox|first=Vladimir|last=Varićak|via=Wikisource|language=en}}</ref><ref>{{Citation|author=Miller, A.I.|year=1981|title=Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905–1911)|chapter=''Varičak and Einstein''|place=''Reading''|publisher=''Addison–Wesley''|pages=[https://archive.org/details/alberteinsteinss0000mill/page/249 249–253]|isbn=0-201-04679-2|chapter-url=https://archive.org/details/alberteinsteinss0000mill/page/249|language=en}}</ref> Einstein publicou uma refutação:
{{Quote|texto=O autor injustificadamente declarou uma diferença entre a visão de Lorentz e a minha ''a respeito dos fatos físicos''. A questão sobre se a contração do comprimento ''realmente'' existe ou não é enganosa. Ela não existe "realmente", na medida em que não existe para um observador comovente; embora ela exista "realmente", ou seja, de tal forma que poderia ser demonstrada em princípio por meios físicos por um observador que não é comovente.<ref name=einst1911>{{Cite journal|author=Einstein, Albert|title=''Zum Ehrenfestschen Paradoxon. Eine Bemerkung zu V. Variĉaks Aufsatz''|journal=Physikalische Zeitschrift|volume=12|pages=509–510|year=1911|language=de}}; Original: Der Verfasser hat mit Unrecht einen Unterschied der ''Lorentz''schen Auffassung von der meinigen ''mit Bezug auf die physikalischen Tatsachen'' statuiert. Die Frage, ob die ''Lorentz''-Verkürzung ''wirklich'' besteht oder nicht, ist irreführend. Sie besteht nämlich nicht "wirklich", insofern sie für einen mitbewegten Beobachter nicht existiert; sie besteht aber "wirklich", d. h. in solcher Weise, daß sie prinzipiell durch physikalische Mittel nachgewiesen werden könnte, für einen nicht mitbewegten Beobachter.</ref>|autor=Albert Einstein, 1911}}
Einstein também argumentou naquele artigo que a contração do comprimento não é simplesmente o produto de definições ''arbitrárias'' sobre a maneira como as regulações do relógio e as medições de comprimento são realizadas. Ele apresentou o seguinte experimento mental: Sejam A'B' e A"B" os pontos finais de duas hastes do mesmo comprimento próprio ''L''<sub>0</sub>, conforme medido em x' e x" respectivamente. Deixe-as se moverem em direções opostas ao longo do eixo x*, considerado em repouso, na mesma velocidade em relação a ele. Os pontos finais A'A" então se encontram no ponto A*, e B'B" se encontram no ponto B*. Einstein apontou que o comprimento A*B* é menor que A'B' ou A"B", o que também pode ser demonstrado trazendo uma das hastes para o repouso em relação a esse eixo.<ref name=einst1911 />

==Paradoxos==
Devido à aplicação superficial da fórmula de contração, alguns paradoxos podem ocorrer. Exemplos são o <!--[[:en:Ladder paradox]]-->paradoxo da escada e o <!--[[:en:Bell's spaceship paradox]]-->paradoxo da nave espacial de Bell. No entanto, esses paradoxos podem ser resolvidos por uma aplicação correta da relatividade da simultaneidade. Outro paradoxo famoso é o <!--[[:en:Ehrenfest paradox]]-->paradoxo de Ehrenfest, que prova que o conceito de [[Corpo rígido|corpos rígidos]] não é compatível com a relatividade, reduzindo a aplicabilidade da <!--[[:en:Born rigidity]]-->rigidez de Born e mostrando que, para um observador corrotativo, a geometria [[Geometria não euclidiana|não é euclidiana]] de fato.

==Efeitos visuais==
<!---->
[[Imagem:Lorentz contractie - mural Leiden, 2017.jpg|upright=1.35|thumb|Fórmula em uma parede em Leiden, Holanda. Lorentz foi catedrático de física teórica na [[Universidade de Leiden]] (1877–1910).]]
A contração do comprimento se refere a medições de posição feitas em momentos simultâneos de acordo com um sistema de coordenadas. Isso poderia sugerir que se alguém pudesse tirar uma foto de um objeto em movimento rápido, a imagem mostraria o objeto contraído na direção do movimento. No entanto, esses efeitos visuais são medições completamente diferentes, pois essa fotografia é tirada à distância, enquanto a contração do comprimento só pode ser medida diretamente no local exato dos pontos finais do objeto. Foi demonstrado por vários autores, como [[Roger Penrose]] e James Terrell, que objetos em movimento geralmente não parecem contraídos em comprimento em uma fotografia.<ref>{{Cite journal|author=Kraus, U.|year=2000|title=''Brightness and color of rapidly moving objects: The visual appearance of a large sphere revisited''|journal=American Journal of Physics|volume=68|issue=1|pages=56–60|doi=10.1119/1.19373|url=http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/sphere/sphere.pdf|bibcode=2000AmJPh..68...56K|language=en}}</ref> Esse resultado foi popularizado por [[Victor Weisskopf]] em um artigo da ''Physics Today''.<ref>{{Cite journal |doi=10.1063/1.3057105|title=''The visual appearance of rapidly moving objects''|journal=Physics Today|volume=13|issue=9|pages=24–27|year=1960|last1=Weisskopf|first1=Victor F.|bibcode=1960PhT....13i..24W|s2cid=36707809|language=en}}</ref> Por exemplo, para um pequeno diâmetro angular, uma esfera em movimento permanece circular e é girada.<ref>{{Cite book|last=Penrose|first=Roger|title=The Road to Reality|year=2005|publisher=''Vintage Books''|location=''London''|isbn=978-0-09-944068-0|pages=430–431|language=en}}</ref> Esse tipo de efeito de rotação visual é chamado de rotação de Penrose e Terrell.<ref>{{Cite web|url=https://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/penrose.html|title=''Can You See the Lorentz–Fitzgerald Contraction?''|website=math.ucr.edu|language=en}}</ref>

==Derivação==
A contração do comprimento pode ser derivada de várias maneiras:

===Comprimento em movimento conhecido===
Em um quadro referencial inercial S, deixe <math>x_{1}</math> e <math>x_{2}</math> denotarem os pontos finais de um objeto em movimento. Neste quadro referencial, o comprimento do objeto <math>L</math> é medido, de acordo com as convenções acima, determinando as posições simultâneas de seus pontos finais em <math>t_{1}=t_{2}</math>. Enquanto isso, o comprimento próprio deste objeto, medido em seu quadro referencial de repouso S', pode ser calculado usando a transformação de Lorentz. Transformar as coordenadas de tempo de S em S' resulta em tempos diferentes, mas isso não é problemático, já que o objeto está em repouso em S', onde não importa quando os pontos finais são medidos. Portanto, a transformação das coordenadas espaciais é suficiente, o que dá:<ref name=born />
:<math>x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad\text{e}\quad x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right) \ \ </math>
Como <math>t_1 = t_2</math>, e definindo <math>L=x_{2}-x_{1}</math> e <math>L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}</math>, o comprimento próprio em S' é dado por
{{NumBlk|:|<math>L_{0}^{'}=L\cdot\gamma \ \ </math>|{{EquationRef|1}}}}
Portanto, o comprimento do objeto, medido no referencial S, é contraído por um fator <math>\gamma</math>:
{{NumBlk|:|<math>L=L_{0}^{'}/\gamma \ \ </math>|{{EquationRef|2}}}}
Da mesma forma, de acordo com o princípio da relatividade, um objeto que está em repouso em S também será contraído em S'. Trocando os sinais e as [[plica]]s acima simetricamente, segue-se que
{{NumBlk|:|<math>L_{0}=L'\cdot\gamma \ \ </math>|{{EquationRef|3}}}}
Assim, um objeto em repouso em S, quando medido em S', terá o comprimento contraído
{{NumBlk|:|<math>L'=L_{0}/\gamma \ \ </math>|{{EquationRef|4}}}}

===Comprimento próprio conhecido===
Por outro lado, se o objeto repousa em S e seu comprimento próprio é conhecido, a simultaneidade das medições nos pontos finais do objeto tem que ser considerada em outro quadro referencial S', pois o objeto muda constantemente sua posição ali. Portanto, tanto as coordenadas espaciais quanto as temporais devem ser transformadas:<ref>{{Cite book |author=Walter Greiner|title=Classical Mechanics: Point Particles and Relativity |publisher=''Springer'' |year=2006 |isbn=9780387218519 |url={{Google books|plainurl=y|id=CynrBwAAQBAJ|text=length contraction|page=396}}|language=en}}; Equações 31.4 – 31.6</ref>
:<math>\begin{align}
x_{1}^{'} & =\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right) & \quad\mathrm{e}\quad &  & x_{2}^{'} & =\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)\\
t_{1}^{'} & =\gamma\left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right) & \quad\mathrm{e}\quad &  & t_{2}^{'} & =\gamma\left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right)
\end{align}</math>
Calculando o intervalo de comprimento <math>\Delta x'=x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}</math> bem como assumindo a medição simultânea de tempo <math>\Delta t'=t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}=0</math>, e substituindo o comprimento próprio <math>L_{0}=x_{2}-x_{1}</math>, segue:
:<math>\begin{align}\Delta x' & =\gamma\left(L_{0}-v\Delta t\right) & (1)\\
\Delta t' & =\gamma\left(\Delta t-\frac{vL_{0}}{c^{2}}\right)=0 & (2)
\end{align}
</math>
A equação (2) fornece
:<math>\Delta t=\frac{vL_{0}}{c^{2}}</math>
que, quando inserido em (1), demonstra que <math>\Delta x'</math> se torna o comprimento contraído <math>L'</math>:
:<math>L'=L_{0}/\gamma</math>
Da mesma forma, o mesmo método fornece um resultado simétrico para um objeto em repouso em S':
:<math>L=L^{'}_{0}/\gamma</math>

===Usando dilatação do tempo===
A contração do comprimento também pode ser derivada da [[dilatação do tempo]],<ref>{{Citation|author=[[David Halliday]], [[Robert Resnick]], [[Jearl Walker]]|title=Fundamentals of Physics, Chapters 33-37|publisher=''John Wiley & Son''|year =2010|isbn=978-0470547946|pages=1032f|language=en}}</ref> segundo a qual a taxa de um único relógio "em movimento" (indicando seu [[tempo próprio]] <math>T_0</math>) é menor em relação a dois relógios "em repouso" sincronizados (indicando <math>T</math>). A dilatação do tempo foi confirmada experimentalmente várias vezes e é representada pela relação:
:<math>T=T_{0}\cdot\gamma</math>
Suponha que uma haste de comprimento próprio <math>L_0</math> em repouso em <math>S</math> e um relógio em repouso em <math>S'</math> estejam se movendo um ao longo do outro com velocidade <math>v</math>. Como, de acordo com o princípio da relatividade, a magnitude da velocidade relativa é a mesma em qualquer quadro referencial, os respectivos tempos de viagem do relógio entre os pontos finais da haste são dados por <math>T=L_{0}/v</math> em <math>S</math> e <math>T'_{0}=L'/v</math> em <math>S'</math>, portanto <math>L_{0}=Tv</math> e <math>L'=T'_{0}v</math>. Ao inserir a fórmula de dilatação do tempo, a razão entre esses comprimentos é:
:<math>\frac{L'}{L_{0}}=\frac{T'_{0}v}{Tv}=1/\gamma</math>
Portanto, o comprimento medido em <math>S'</math> é dado por
:<math>L'=L_{0}/\gamma</math>
Então, como o tempo de viagem do relógio pela haste é maior em <math>S</math> do que em <math>S'</math> (dilatação do tempo em <math>S</math>), o comprimento da haste também é maior em <math>S</math> do que em <math>S'</math> (contração do comprimento em <math>S'</math>). Da mesma forma, se o relógio estivesse em repouso em <math>S</math> e a haste em <math>S'</math>, o procedimento acima daria
:<math>L=L'_{0}/\gamma</math>

===Considerações geométricas===
[[Imagem:Slabs.svg|thumb|250px|Cuboides no espaço-tempo euclidiano e de Minkowski]]
Considerações geométricas adicionais mostram que a contração do comprimento pode ser considerada um fenômeno ''trigonométrico'', com analogia a fatias paralelas através de um <!--[[:en:Cuboid]]-->cuboide antes e depois de uma ''rotação'' em '''E'''<sup>3</sup> (veja a metade esquerda da figura à direita). Este é o análogo euclidiano de ''impulsionar'' um cuboide em '''E'''<sup>1,2</sup>. No último caso, no entanto, podemos interpretar o cuboide impulsionado como a ''placa mundial'' de uma placa móvel.

''Imagem'': Esquerda: um ''cuboide rotacionado'' no espaço euclidiano tridimensional '''E'''<sup>3</sup>. A seção transversal é ''mais longa'' na direção da rotação do que era antes da rotação. Direita: a ''placa mundial'' de uma placa fina em movimento no espaço-tempo de Minkowski (com uma dimensão espacial suprimida) '''E'''<sup>1,2</sup>, que é um ''cuboide impulsionado''. A seção transversal é ''mais fina'' na direção do impulso do que era antes do impulso. Em ambos os casos, as direções transversais não são afetadas e os três planos que se encontram em cada canto dos cuboides são mutuamente ortogonais (no sentido de '''E'''<sup>1,2</sup> à direita e no sentido de '''E'''<sup>3</sup> à esquerda).

Na relatividade especial, as [[Grupo de Poincaré|transformações de Poincaré]] são uma classe de [[Transformação afim|transformações afins]] que podem ser caracterizadas como as transformações entre [[Sistema de coordenadas cartesiano|gráficos de coordenadas cartesianas]] alternativas no [[Espaço de Minkowski|espaço-tempo de Minkowski]] correspondentes a estados alternativos de [[Referencial inercial|movimento inercial]] (e diferentes escolhas de uma [[Origem de coordenadas|origem]]). As transformações de Lorentz são transformações de Poincaré que são [[Transformação linear|transformações lineares]] (preservam a origem). As [[Grupo de Lorentz|transformações de Lorentz]] desempenham o mesmo papel na geometria de Minkowski (o grupo de Lorentz forma o ''grupo de isotropia'' das autoisometrias do espaço-tempo) que são desempenhadas por [[Movimento de rotação|rotações]] na geometria euclidiana. De fato, a relatividade especial se resume em grande parte ao estudo de um tipo de [[trigonometria]] que não é euclidiana no espaço-tempo de Minkowski, conforme sugerido pela tabela a seguir:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Trigonometrias de três planos
|-
! Trigonometria 
! Circular !! Parabólica !! Hiperbólica
|-
! Geometria Kleiniana 
| Plano euclidiano      || Plano galileano        || Plano de Minkowski
|-
! Símbolo 
| '''E'''<sup>2</sup>  || '''E'''<sup>0,1</sup> || '''E'''<sup>1,1</sup>
|-
! Forma quadrática 
| Positiva definida || Degenerada || Não degenerada, mas indefinida
|- 
! Grupo de isometria 
|  '''E'''(2) ||  '''E'''(0,1) ||  '''E'''(1,1)
|-
! Grupo de isotropia 
| '''SO'''(2) || '''SO'''(0,1) || '''SO'''(1,1)
|-
! Tipo de isotropia
| Rotações || Tesouras || Impulsos
|- 
! Álgebra sobre R 
| [[Número complexo|Números complexos]] || <!--[[:en:Dual number]]-->Números duais  || [[Número complexo hiperbólico|Números complexos hiperbólicos]] 
|-
! ε<sup>2</sup> 
| −1 || 0 || 1
|-
! Interpretação do espaço-tempo
| Nenhuma || Espaço-tempo newtoniano || Espaço-tempo de Minkowski
|-
! Declive 
| tan φ = m || tanp φ = u  || tanh φ = v
|-
! "cosseno" 
| cos φ = (1 + m<sup>2</sup>)<sup>−1/2</sup> || cosp φ = 1 || cosh φ = (1 − v<sup>2</sup>)<sup>−1/2</sup>
|-
! "seno" 
| sen φ = m (1 + m<sup>2</sup>)<sup>−1/2</sup> || senp φ = u || senh φ = v (1 − v<sup>2</sup>)<sup>−1/2</sup> 
|- 
! "secante" 
| sec φ = (1 + m<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup> || secp φ = 1 || sech φ = (1 − v<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup>
|-
! "cossecante" 
| csc φ = m<sup>−1</sup> (1 + m<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup> || cscp φ = u<sup>−1</sup> || csch φ = v<sup>−1</sup> (1 − v<sup>2</sup>)<sup>1/2</sup>
|}

==Ver também==
*[[Dilatação do tempo]]

{{Referências}}
<!---->
{{Controle de autoridade}}
[[Categoria:Comprimento]]
[[Categoria:Relatividade especial]]