Mostrar código-fonte de Contradição

{{ver desambig|redir='''[[Contraditório]]'''|o [[princípio jurídico]]|Princípio do contraditório e da ampla defesa}}
{{Mais notas|data=fevereiro de 2020}}
[[File:Square of opposition, set diagrams.svg|thumb|Esse diagrama mostra as relações de contradição entre [[proposição|proposiçõe]]s no [[Quadrado das oposições]] da [[lógica aristotélica]].]]

Na [[lógica clássica]], uma '''contradição''' consiste numa incompatibilidade lógica entre duas ou mais [[proposição|proposiçõe]]s. Isso ocorre quando as proposições, tomadas em conjunto, geram [[consequência lógica|conclusõe]]s que formam inversões lógicas, geralmente opostas uma da outra. Ilustrando uma tendência geral na lógica aplicada, a lei de [[Aristóteles]] da [[princípio da não contradição |não contradição]] afirma que "Não se pode dizer de algo que é e que não é no mesmo sentido e, ao mesmo tempo."

Por extensão, fora da lógica clássica, pode-se falar de contradições entre as ações quando se presume que seus motivos

==História==
Por criação de um paradoxo, o diálogo de [[Eutidemo]] de [[Platão]] demonstra a necessidade da noção de ''contradição''. No diálogo que se seguiu Dionysodorus nega a existência de "contradição", ao mesmo tempo que [[Sócrates]]o contradiz:
"... Eu no meu espanto, disse: O que você quer dizer Dionysodorus? Tenho ouvido muitas vezes, e fico surpreso ao ouvir, esta sua tese, que é mantida e empregada pelos discípulos de Protágoras e outros antes deles, e que para mim parece ser muito maravilhoso, e suicida, bem como destrutivo, e eu acho que eu sou mais propenso a ouvir a verdade sobre isso de você. O dito é que não existe tal coisa como uma falsidade, um homem deve ou dizer apenas o que é verdade ou não dizer nada, esta não é a sua posição? "
De fato, Dionysodorus concorda que "não há tal coisa como falsa opinião ... não existe tal coisa como ignorância" e a demanda Sócrates a "me refutar." Sócrates responde: "Mas como posso refutar-lo, se, como você diz, é impossível contar uma mentira?".<ref>Dialog ''Euthydemus'' from ''The Dialogs of Plato translated by [[Benjamin Jowett]]'' appearing in: BK 7 ''Plato'': [[Robert Maynard Hutchins]], editor in chief, 1952, ''[[Great Books of the Western World]]'', [[Encyclopædia Britannica]], Inc., [[Chicago]].</ref>

== Contradição na lógica formal ==
:Note: O símbolo <math>\bot</math> (falso)representa uma contradição arbitrária., com o símbolo <math>\top</math> é usado para indicar uma tautologia arbitrária.  Contradição, algumas vezes, é representado por "O''pq''", e tautologia por "V''pq''". O símbolo <math>\vdash</math> é geralmente lido como "resulta" ou "prova".

Na lógica clássica, particularmente na [[lógica proposicional|proposicional]] e na [[lógica de primeira ordem]], uma proposição <math>\varphi</math> é uma contradição [[se e somente se]] <math>\varphi\vdash\bot</math>.Uma vez que <math>\varphi</math> é contraditório, é verdade que <math>\vdash\varphi\rightarrow\psi</math> para todo <math>\psi</math> (porque <math>\bot\rightarrow\psi</math>),pode-se provar qualquer proposição a partir de um conjunto de axiomas que contém contradições. Isso é chamado de "[[princípio de explosão]]" ou "ex falso quodlibet" ("de falsidade, o que você quiser").

Numa lógica completa, uma fórmula é contraditória se e somente se é insatisfatível.

===Prova por contradição===
Para uma proposição <math>\varphi</math> é verdade que <math>\vdash\varphi</math>, i. e. que <math>\varphi</math> é uma [[tautologia (lógica)|tautologia]], i. e. que ela é sempre verdadeira, se e somente se <math>\neg\varphi \vdash \bot</math>, i. e. se a negação de <math>\varphi</math> é uma contradição. Portanto, uma prova de que <math>\neg\varphi \vdash \bot</math> também prova que <math>\varphi</math> é verdade. O uso deste fato constitui a técnica da prova por contradição, que os matemáticos usam extensivamente. Isto aplica-se apenas em uma lógica usando o terceiro excluído <math>A\vee\neg A</math>  como um axioma.

===Representação simbólica===
Na matemática, o símbolo usado para representar uma contradição dentro de uma prova varia. [http://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf] Alguns símbolos que podem ser utilizados para representar uma contradição incluem ↯, Opq, <math>\Rightarrow \Leftarrow</math>, ⊥, ↮ e ※. Não é incomum ver [[Quod erat demonstrandum |QED]] ou alguma variante imediatamente após um símbolo contradição, o que ocorre em uma prova por contradição, para indicar que a hipótese original é falsa e que o teorema deve, portanto, ser verdade.

=== A noção de contradição em um sistema axiomático e uma prova de sua consistência ===
Uma prova de consistência requer (i) um [[sistema axiomático]] (ii) uma demonstração de que não é o caso de que tanto a fórmula '' p'' e sua negação ''~ p'' podem ser derivadas do sistema. Mas por qualquer método, todas as provas de consistência ''parecem'' exigir a noção primitiva de ''contradição''; além disso, ela'' parece'' como se essa noção, simultaneamente têm de ser "de fora" do sistema formal na definição de tautologia.

Quando [[Emil Post]] no seu ''Introdução a uma teoria geral de proposições elementares'', de 1921, estendeu a prova da consistência do [[lógica proposicional | cálculo proposicional]] que além do ''[[Principia Mathematica]]'' (PM) ele observou que em relação a um conjunto ''generalizado'' de postulados (ou seja, axiomas), ele já não seria capaz de invocar automaticamente a noção de "contradição" - tal noção não pode ser contida nos postulados:
:"O requisito primordial de um conjunto de postulados é que seja consistente. Uma vez que a noção comum de consistência envolve a de contradição, que mais uma vez envolve negação, e uma vez que esta função não aparece em geral, como um [conjunto de postulados ''generalizados''] primitivo uma nova definição deve ser dada".<ref>Post 1921 ''Introduction to a general theory of elementary propositions'' in van Heijenoort 1967:272.</ref>

A solução para o problema é descrita na demonstração ''Um exemplo de uma prova absoluta de sucesso de Consistência'' oferecida por [[Ernest Nagel]] e [[James R. Newman]] na ''prova de [[Gödel]]'' de 1958. Eles também observaram um problema que diz respeito à noção de "contradição" com seus habituais "valores de verdade" de "verdade" e "falsidade". Eles observaram que:
:"A propriedade de ser uma tautologia foi definido com noções de verdade e falsidade. No entanto, essas noções, obviamente, envolvem uma referência a algo ''fora'' do cálculo da fórmula. Portanto, o procedimento mencionado no texto em vigor oferece uma ''interpretação'' do cálculo, através do fornecimento de um modelo para o sistema. Sendo assim, os autores não fizeram o que prometeram, ou seja, '''' para definir uma propriedade de fórmulas em termos de características puramente estruturais das próprias fórmulas''''.  . . . provas de consistência, que são baseados em modelos, e que argumentam a partir da verdade de axiomas a sua consistência, apenas mudam o problema."<ref>boldface italics added, Nagel and Newman:109-110.</ref>

Dadas algumas "fórmulas primitivas", como os PM's primitivos  S<sub>1</sub> V S<sub>2</sub> [inclusive OR], ~ S (negação) um é forçado a definir os axiomas em termos detas noções primitivas. De maneira minuciosa Post demonstra na PM, e define (como fazem Nagel e Newman, veja abaixo), que a propriedade de ''tautológico'' - ainda a ser definida - é "herdada": se a pessoa começa com um conjunto de axiomas tautológicos (postulados) e um [[sistema de dedução]] que contém [[substituição (lógica) | substituição]] e [[modus ponens]], em seguida, um sistema ''consistente'' vai render apenas fórmulas tautológicas.

Então, qual vai ser a definição de ''tautológico''?

Nagel and Newman criaram duas classes [[eventos mutualmente exclusivos |mutualmente exclusivas]] e eventos coletivamente exaustivos K<sub>1</sub> e K<sub>2</sub> em que caem (o resultado) os axiomas quando suas variáveis, por exemplo, S<sub>1</sub> e S<sub>2</sub> são atribuídos a partir dessas classes. Isto também se aplica às fórmulas primitivas. Por exemplo: "Uma fórmula tendo a forma S<sub>1</sub> V S<sub>2</sub> é colocada numa classe K<sub>2</sub> se ambas S<sub>1</sub> e S<sub>2</sub> estão em K<sub>2</sub>; caso contrário, é colocada em K<sub>1</sub>", e "Uma fórmula tendo a forma ~S é colocada em K<sub>2</sub>, se S está em K<sub>1</sub>; caso contrário, é colocada em K<sub>1</sub>".<ref>Nagel and Newman:110-111</ref>

Nagel and Newman agora podem definir a noção de ''[[tautolgia (lógica)|tautológico]]'': "uma fórmula é uma tautologia se, e somente se ela cai na classe K<sub>1</sub> não importando em qual das duas classes de seus elementos são colocados".<ref>Nagel and Newman:111</ref> Agora a propriedade de "ser tautológico" é descrevida sem referência para um modelo ou uma interpretação.

:Por exemplo, dada uma fórmula como ~S<sub>1</sub> V S<sub>2</sub> e uam valoração de K<sub>1</sub> para S<sub>1</sub> e de K<sub>2</sub> para S<sub>2</sub> pode-se valorar a fórmula e colocar o seu resultado em uma ou outra das classes. A valoração de K<sub>1</sub> para ~S<sub>1</sub> coloca ~S<sub>1</sub> em K<sub>2</sub>, e now podemos ver que nossa valoração leva a fórmula a cair dentro da classe K<sub>2</sub>. Assim, por definição, a nossa fórmula não é uma tautologia.

Post observou que, se o sistema fosse inconsistente, uma dedução nele (isto é, a última fórmula em uma sequência de fórmulas derivadas da tautologia) pode gerar finalmente o próprio S. Como como uma atribuição para a variável S pode vir de qualquer classe K<sub>1</sub> ou K<sub>2</sub>, a dedução viola a característica herdada da tautologia i.e. a derivação deve produzir uma valoração de uma fórmula que vai cair na classe K<sub>1</sub>. A partir disso, Post foi capaz de derivar a seguinte definição de inconsistência ''sem o uso da noção de contradição'':
:Definição. ''Um sistema será dito inconsistente se ele gera a afirmação da variável não modificada p [S nos exemplos Newman e Nagel]''.

Em outras palavras, a noção de "contradição" pode ser dispensada quando construindo uma prova de consistência; o que substitui ela é a noção de classes "mutualmente exclusivas e exaustivas". Mais interessante,{{carece de fontes|data=março de 2010}} um sistema axiomático não precisa incluir a noção de "contradição".

== Contradições e filosofia ==
Adeptos da teoria [[epistemologia|epistemológica]] do coherentismo tipicamente alegam que, como uma condição necessária para a justificação de uma[[crença]], essa crença deve formar parte de um [[sistema]] logicamente não contraditório (consistente) de crenças.  Alguns dialeteístas, incluindo [[Graham Priest]], argumentaram que a coerência não exige consistência.<ref>[http://books.google.com/books?hl=en&id=bId-cRNUWdAC&dq=contradiction&printsec=frontcover&source=web&ots=7GWw7Qk_h3&sig=Od0aTst-tCcnbHDbOzpwBHssjEs&sa=X&oi=book_result&resnum=10&ct=result#PPP1,M1 In Contradiction: A Study of the Transconsistent] By Graham Priest</ref>

===Contradições pragmáticas===
Uma contradição pragmática ocorre quando quando a própria declaração do argumento contradiz as afirmações as quais ele se propõe.  Uma inconsistência surge, neste caso, porque o ato de enunciação, e não o conteúdo do que é dito, mina a sua conclusão.<ref>{{citar livro|último = Stoljar|primeiro = Daniel|autorlink =|coautor=|título= Ignorance and Imagination |publicado= Oxford University Press - U.S.|ano= 2006|local=|páginas= 87| url =| doi =| isbn = 0-19-530658-9}}</ref>
Para exemplos, sem dúvida,  declaração de [[Nietzsche]] de que não se deve obedecer a outros, ou o paradoxo de Moore. Dentro da tradição analítica, estes são vistos como ideias auto-refutáveis e contradições performativas. Outras tradições podem lê-los mais como [[zen]] [[koan]], em que os fins do autor fazem uma contradição com o sentido tradicional, mas, em seguida, implica um novo significado da palavra que não contradiz a declaração.

===Na filosofia grega===

Ao examinar a [[História da Filosofia]], constata-se que, desde os [[Filosofia grega|gregos]], alguns filósofos negam a validade absoluta do [[princípio da não contradição]], afirmando, portanto, que pode existir [[verdade]] na contradição. [[Heráclito]], por exemplo, incluído entre os fundadores de uma [[lógica]] dos opostos, fazia da guerra, isto é, da contradição, a lei que governa o mundo.<ref>"''Polemos'' [a guerra] é o pai de todas as coisas, de todas é rei; a uns revela como deuses e a outros, como homens; de alguns faz escravos, de outros homens livres" (Heráclito, fragmento 53, in [[Hermann Diels|Diels]]-[[Walther Kranz|Kranz]], ''[[Die Fragmente der Vorsokratiker]]'').</ref> O [[devir]] da realidade torna-se possível pela interação de dois elementos contrapostos mas coexistentes ("o mesmo rio descemos e não descemos; nos mesmos somos e não somos"),<ref>Heráclito, fragmento 49a, Diels-Kranz.</ref> segundo um princípio antitético à [[lógica]] de [[Aristóteles]], o qual sustentará a impossibilidade de que o mesmo atributo pertença e não pertença, ao mesmo tempo, ao mesmo objeto sob o mesmo aspecto. Heráclito, no entanto, talvez fizesse referência a dois aspectos diferentes sob os quais o mesmo objeto pode ser observado; nesse caso, a sua ambiguidade, relativamente a Aristóteles, consistiria sobretudo em atribuir às contradições um valor objetivo, que, entretanto, é meramente subjetivo.<ref>"O mar é a água mais pura e impura: para os peixes, é potável e lhes mantém a vida; para os homens é imbebível e mortal." (Heráclito, fragmento 61, DK).</ref>De todo modo, para Heráclito, as contradições do mundo são expressões de um único ''[[Logos]]'' indiviso, do qual revelam a trama oculta.

===No materialismo dialético===
No [[materialismo dialético]], a contradição, tal como derivada por [[Karl Marx]] a partir de [[Hegel]], refere-se a uma oposição inerente, existente dentro de um domínio, uma força unificada ou objeto. Essa contradição, ao contrário do que defende o pensamento [[metafísico]], existe na realidade objetiva como forças antagônicas, e essas forças não se cancelam mutuamente, mas, na verdade, definem a existência uma da outra. De acordo com a [[teoria marxista]], tal contradição pode ser encontrada, por exemplo, quando:<br>
: (a) enorme riqueza e forças produtivas coexistem com:
: (b) pobreza e miséria extremas;
: (c) a existência de (a)  é contrária à existência de (b).
Segundo a concepção [[dialética]] da história, as contradições levam a conflitos, que tendem a ser superadas. Segundo Marx, as contradições do [[modo de produção]] [[capitalismo|capitalista]] seriam superadas pelo [[socialismo]], no qual os [[meios de produção]] serviriam igualmente ao [[proletariado]] pobre e explorado, resolvendo-se assim a contradição entre (a) e (b).

==Contradição fora da lógica formal==
[[Image:Graham's_Hierarchy_of_Disagreement-pt.svg|thumb|right|375px|Contradição na Hierarquia da Discordância de [[Paul Graham|Graham]]]]
O coloquialismo pode rotular ações e/ou declarações contradizendo uns aos outros quando devido para pressuposições que são contraditórias no senso lógico.

[[Prova por contradição]] é usada na [[matemática]] para construir [[prova matemática|provas]].

==Veja também==
* [[Duplipensar]]
* [[Ironia]]
* [[Oximoro]]
* [[Lógica paraconsistente]]
* [[Paradoxo]]
* [[Verdade]]

==Rodapé==
{{Reflist}}

==Referências==
* [[Józef Maria Bocheński]] 1960 ''Précis of Mathematical Logic'', translated from the French and German editions by Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
* Jean van Heijenoort 1967 ''From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic 1879-1931'', Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
*Ernest Nagel and James R. Newman 1958 ''Gödel's Proof'', New York University Press, Card Catalog Number: 58-5610.

==Ligações externas==
{{Wiktionary|contradiction|although}}
* {{springer|title=Contradiction (inconsistency)|id=p/c025900}}
* {{springer|title=Contradiction, law of|id=p/c025910}}
* {{Citar SEP|titulo=contradiction|pagina=Contradiction|autor= Laurence R. Horn |data=}}

{{lógica}}

{{Símbolos lógicos comuns}}

[[Categoria:Cálculo proposicional]]
[[Categoria:Lógica matemática]]
[[Categoria:Proposições]]
{{controle de autoridade}}