Mostrar código-fonte de Convexidade (economia)

{{Sidebar Economia}}
Convexidade é um conceito estudado em microeconomia, na [[Teoria do consumidor]], e diz o seguinte: as médias são preferíveis ao invés dos extremos. Exemplificando: com determinada renda (ou orçamento) o consumidor tem a possibilidade de adquirir dois bens, por exemplo. Ele pode ter 50 unidades do bem 1 e nenhuma do bem 2; ou 50 unidades do bem 2 e nenhuma do bem 1; ou pode obter 25 unidades de cada. De acordo com o pressuposto da convexidade, o consumidor ficará com a última opção, 25 unidades do bem 1 e 25 do bem 2, pois suas necessidades serão melhor atendidas com um pouco de cada bem, não com muito de um e nada de outro. O nome convexidade é dado por conta da forma '''convexa'''[http://informeeconomico.com.br/conceitos/curva-de-indiferenca/ <nowiki>[1]</nowiki>] das curvas de indiferença.

'''Convexidade''' é um tópico importante de '''economia'''.<ref name="Newman1987c">{{harvtxt|Newman|1987c|}}</ref> No [[Modelo Arrow-Debreu]] do [[Teoria do equilíbrio geral|equilíbrio econômico geral]], os agentes têm [[conjunto orçamentário|conjuntos orçamentários]] convexos e [[preferência convexa|preferências convexas]]: Nos preços de equilíbrio, o hiperplano do orçamento contém a melhor [[curva de indiferença]] possível.<ref name="Newman1987d">{{harvtxt|Newman|1987d|}}</ref> A [[superavit|função de lucro]] é o [[conjugado convexo]] da [[otimização|função de custo]].<ref name="Newman1987c" /><ref name="Newman1987d" /> A [[análise convexa]] é a ferramenta padrão para analisar livros-texto de economia.<ref name="Newman1987c" /> Fenômenos não-convexos na economia têm sido estudados com a "[[subderivada|análise não suavizada]]", que generaliza a análise convexa.<ref name="Khan" />

==Preliminares==
A economia depende das seguintes definições e resultados da [[geometria convexa]].

===Espaços vetoriais reais===
{{multiple image
   | width     = 107
   | footer    = [[Conjunto convexo|Convexidade]] do teste de [[segmento de reta|segmentos de reta]].
   | image1    = Convex polygon illustration1.svg
   | caption1  = Um [[conjunto convexo]] [[cobertura aberta|cobre]] o [[segmento de reta]] conectando dois de quaisquer de seus pontos.
   | image2    = Convex polygon illustration2.svg
   | caption2  = Um [[conjunto convexo|conjunto não-convexo]] não consegue [[cobertura aberta|cobrir]] um ponto em um [[segmento de reta]] juntando dois de seus pontos.
}}
Em um [[espaço vetorial]] [[número real|real]] de duas [[dimensão (espaço vetorial)|dimensões]] pode ser definido um [[sistema de coordenadas cartesiano]] no qual todo ponto é identificado por uma lista de dois números reais, chamados de "coordenadas", que são denotados por convenção de ''x'' e ''y''. Dois pontos no plano cartesiano podem ser [[Vetor (matemática)#Operações_com_vetores|somados]] como coordenadas
: (''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>) + (''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>) = (''x''<sub>1</sub>+''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub>+''y''<sub>2</sub>);
Além disso, um ponto pode ser [[multiplicação escalar|multiplicado]] por cada número real ''λ'' como coordenadas
: ''λ'' (''x'', ''y'') = (''λx'', ''λy'').

De modo mais geral, qualquer espaço vetorial real de dimensões (finitas) ''D'' pode ser visto como um [[conjunto]] de todas as possíveis listas de ''D'' números reais {{nowrap|{ (''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, . . . , ''v''<sub>D</sub>)}} } juntos com duas [[operação (matemática)|operações]]: [[Vetor (matemática)#Operações_com_vetores|adição vetorial]] e [[multiplicação escalar|multiplicação por um número real]]. Para espaços vetoriais com dimensões finitas, as operações de adição de vetores e multiplicação por números reais podem ser definidas em termos de coordenadas, seguindo o exemplo do plano cartesiano.

===Conjuntos convexos===
[[Imagem:Extreme points.svg|thumb|right|Na [[envoltória convexa]] do conjunto vermelho, cada ponto azul é uma [[combinação convexa]] de alguns pontos vermelhos.]]
Em um espaço vetorial real, um conjunto é definido ser ''[[conjunto convexo|convexo]]'' se, para cada par de seus pontos, todo ponto no [[segmento de reta]] que as junta é [[cobertura aberta|coberta]] pelo conjunto. Por exemplo, um [[cubo]] sólido é convexo. No entanto, qualquer coisa que é oca ou com relevo, por exemplo, uma forma [[crescente]], é não-convexa. Por sua vez, o [[conjunto vazio]] é convexo.

Mais formalmente, um conjunto ''Q'' é convexo se, para todos os pontos, ''v''<sub>0</sub> and ''v''<sub>1</sub> in ''Q'' e para cada número real ''λ'' no [[intervalo unitário]] [0,1], o ponto
: (1 &minus; ''λ'') ''v''<sub>0</sub> + ''λv''<sub>1</sub>
é um [[elemento (matemática)|elemento]] de ''Q''.

Por [[indução matemática]], um conjunto ''Q'' é convexo [[se e somente se]] toda [[combinação convexa]] dos elementos de ''Q'' também pertence a ''Q''. Por definição, uma ''combinação convexa'' de um subconjunto indexado {''v''<sub>0</sub>, ''v''<sub>1</sub>, . . . , ''v''<sub>D</sub>} de um espaço vetorial é qualquer [[média ponderada]] {{nowrap|''λ''<sub>0</sub>''v''<sub>0</sub> + ''λ''<sub>1</sub>''v''<sub>1</sub> + . . . +  ''λ''<sub>D</sub>''v''<sub>D</sub>,}} para algum conjunto indexado de números reais não-negativos {''λ''<sub>d</sub>} que satisfazem a [[combinação afim|equação]] {{nowrap|''λ''<sub>0</sub> + ''λ''<sub>1</sub> + . . .  +  ''λ''<sub>D</sub>}} = 1

A definição de um conjunto convexo implica que a ''[[intersecção]]'' de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo. De um modo mais geral, a intersecção de uma família de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

===Envoltória convexa===
{{AP|Envoltória convexa}}
Para todo subconjunto ''Q'' de um espaço vetorial real, sua {{nowrap|''[[envoltória convexa]]'' Conv(''Q'')}} é o conjunto convexo [[elemento mínimo|mínimo]] que contém ''Q''. Assim, Conv(''Q'') é a intersecção de todos os conjuntos convexos que [[cobertura aberta|cobre]] ''Q''. A envoltória convexa de um conjunto pode ser equivalentemente definido como o conjunto de todas as combinações convexas de pontos em ''Q''.

==Dualidade: Intersecção de semi-espaços==
[[Imagem:Supporting hyperplane1.svg|right|thumb|[[Conjunto convexo]] A <math>S</math> (em rosa), um hiperplano de suporte de <math>S</math> (a linha tracejada), e a metade do espaço delimitado por parte do hiperplano que contém <math>S</math> (em azul claro).]]
O ''hiperplano de suporte'' é um conceito da [[geometria]]. Um [[hiperplano]] divide um espaço em dois [[meio-espaço]]s. Diz-se que um hiperplano ''apoia'' um [[conjunto]] <math>S</math> no [[espaço euclidiano]] <math>\mathbb R^n</math> se ele cumpre ambas as condições seguintes:
* <math>S</math> é inteiramente contido em um dos dois meio-espaços [[conjunto fechado|fechados]] determinados pelo hiperplano
* <math>S</math> tem pelo menos um ponto no hiperplano.
Aqui, um meio-espaço fechado é o meio-espaço que inclui o hiperplano.

===Teorema de hiperplano de suporte===
[[Imagem:Supporting hyperplane2.svg|right|thumb|Um conjunto convexo pode ter mais de um hiperplano de suporte em um dado ponto de fronteira.]]
Este [[teorema]] diz que se <math>S</math> é um [[conjunto convexo]] fechado no [[espaço euclidiano]]  <math>\mathbb R^n,</math> e <math>x</math> é um ponto na [[fronteira (matemática)|fronteira]] de <math>S,</math>, então existe um hiperplano de suporte que contém <math>x</math>.

O hiperplano no teorema pode não ser único, como pode ser visto na segunda figura à direita. Se o conjunto fechado <math>S</math> não é convexo, a afirmação do teorema não é verdadeira em todos os pontos da fronteira de <math>S,</math> como ilustrado na terceira figura à direita.

[[Imagem:Supporting hyperplane3.svg|right|thumb|Um hiperplano de suporte que contém um dado ponto na fronteira de <math>S</math> não pode existir se <math>S</math> não é convexo.]]

===Economia===
[[Imagem:Indifference curves showing budget line.svg|thumb|right|O consumidor prefere o vetor de bens (''Q''<sub>''x''</sub>, ''Q''<sub>''y''</sub>) em relação a outros vetores acessíveis. Nesse vetor ótimo, a linha de orçamento apoia a curva de indiferença ''I''<sub>2</sub>.]]
Uma cesta ótima de bens ocorre onde o [[preferências convexas|conjunto de preferências]] convexas do consumidor é [[hiperplano de suporte|apoiada]] pela restrição orçamentária, como mostrado no diagrama. Se o conjunto de preferências é convexo, então o conjunto de decisões ótimas do consumidor é um conjunto convexo, por exemplo, uma cesta única ótima (ou até mesmo um segmento de reta de cestas ótimas).

Para simplificar, devemos assumir que as preferências de um consumidor podem ser descritas por uma [[utilidade (economia)|função de utilidade]] que é uma [[função contínua]], o que implica que os conjuntos de preferências são [[conjunto fechado|fechados]] (Os significados de "conjunto fechado" é explicado abaixo, na subseção de aplicações de otimização).

==Não-convexidade==
{{AP|Não-convexidade (economia)}}
[[Imagem:NonConvex.gif|thumb|right|Quando as preferências do consumidor têm concavidades, os orçamentos lineares não necessitam de um equilíbrio de suporte: Consumidores podem pular entre alocações.]]
Se um conjunto de preferências é não-convexo, então alguns preços produzem um orçamento que apoia duas diferentes decisões ótimas de consumo. Por exemplo, pode-se imaginar que, em um zoológico, um leão custa tanto quanto uma águia, e o orçamento é suficiente para apenas uma águia ou um leão. Pode-se supor também que o dono do zoológico vê cada animal como igualmente valiosos. Neste caso, o zoológico poderia comprar um leão ou uma águia. Obviamente, o dono do zoológico não deseja comprar a metade de cada um dos animais. Portanto, as preferências do dono do zoológico são não-convexas: ele prefere ter uma combinação estritamente convexa de ambos os animais.

Conjuntos não-convexos foram incorporados nas teorias do equilíbrio econômico geral,<ref>Pages 392–399 and  page 188: {{citar livro|último1 =Arrow |primeiro1 =Kenneth J. |authorlink1=Kenneth Arrow |último2 =Hahn |primeiro2 =Frank H. |authorlink2=Frank Hahn |ano=1971 |capítulo=Appendix B: Convex and related sets |título=General competitive analysis |publicado=Holden-Day, Inc. [North-Holland] |páginas=375–401 |mr=439057 |series=Mathematical economics texts [Advanced textbooks in economics] |número=6 [12] |local=San Francisco, CA |isbn=0 444 85497 5|língua=inglês}}</p>  <p> Pages 52–55 with applications on pages 145–146, 152–153, and 274–275: {{citar livro|último =Mas-Colell |primeiro =Andreu |autorlink =Andreu Mas-Colell |ano=1985 |capítulo=1.L Averages of sets |título=The Theory of General Economic Equilibrium: A ''Differentiable'' Approach |series=Econometric Society Monographs |número=9 |publicado=Cambridge UP |isbn=0-521-26514-2 |mr=1113262|língua=inglês}}</p>  <p> Theorem C(6) on page 37 and applications on pages 115-116, 122, and 168: {{citar livro|último =Hildenbrand |primeiro =Werner |autorlink =Werner Hildenbrand |título=Core and equilibria of a large economy |series=Princeton studies in mathematical economics |número=5 |publicado=Princeton University Press |local=Princeton, N.J. |ano=1974 |páginas=viii+251 |isbn=978-0691041896 |mr=389160|língua=inglês}} </p></ref> de [[falha de mercado|falhas de mercado]],<ref>Pages 112–113 in Section 7.2 "Convexification by numbers" (and more generally pp. 107–115): {{citar livro|último =Salanié |primeiro =Bernard |capítulo=7 Nonconvexities |título=Microeconomics of market failures |edição=English translation of the (1998) French ''Microéconomie: Les défaillances du marché'' (Economica, Paris) |ano=2000 |publicado=MIT Press |local=Cambridge, MA |páginas=107–125 |isbn=0-262-19443-0, 978-0-262-19443-3}}</ref> e de [[economia pública]]<ref>Pages 63–65: {{citar livro|último =Laffont |primeiro =Jean-Jacques |autorlink =Jean-Jacques Laffont |ano=1988 |capítulo=3 Nonconvexities |título=Fundamentals of public economics |url=http://books.google.com/books?q=editions:ISBN0262121271&id=O5MnAQAAIAAJ |publicado=[http://mitpress.mit.edu/catalog/item/default.asp?ttype=2&tid=7534 MIT]|isbn=0-262-12127-1, 978-0-262-12127-9}}</ref> Esses resultados são descritos em livros-texto de [[microeconomia]] da graduação,<ref>{{citar livro|autorlink =Hal Varian |último =Varian |primeiro =Hal R. |capítulo=21.2 Convexity and size |páginas=393–394 |título=Microeconomic Analysis |publicado=W. W. Norton & Company |edição=3rd |ano=1992 |isbn=978-0393957358 |mr=1036734}} <p> Page 628: {{citar livro|último1 =Mas–Colell |primeiro1 =Andreu |autorlink =Andreu Mas-Colell |último2 =Whinston |primeiro2 =Michael D. |primeiro3 =Jerry R. |último3 =Green |capítulo=17.1 Large economies and nonconvexities |título=Microeconomic theory |publicado=Oxford University Press |ano=1995 |páginas=627–630 |isbn=978-0195073409}}</ref> teoria do equilíbrio geral,<ref>Page 169 in the first edition: {{citar livro|último =Starr |primeiro =Ross M. |capítulo=8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in '''R'''<sup>N</sup> |título=General equilibrium theory: An introduction |edição=Second |publicado=Cambridge University Press |local=Cambridge |ano=2011 |páginas= |isbn=9780521533867 |mr=1462618}} <p> In Ellickson, page xviii, and especially Chapter 7 "Walras meets Nash" (especially section 7.4 "Nonconvexity" pages 306–310 and 312, and also 328–329) and Chapter 8 "What is Competition?" (pages 347 and 352): {{citar livro|título=Competitive equilibrium: Theory and applications |primeiro =Bryan |último =Ellickson |publicado=Cambridge University Press |isbn=9780521319881 |doi=10.2277/0521319889 |ano=1994 |páginas=420}} </p>
</ref> [[teoria dos jogos]],<ref>Theorem 1.6.5 on pages 24–25: {{citar livro|último =Ichiishi |primeiro =Tatsuro |título=Game theory for economic analysis |series=Economic theory, econometrics, and mathematical economics |publicado=Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers] |local=New York |ano=1983 |páginas=x+164 |isbn=0-12-370180-5 |mr=700688}}</ref> [[economia matemática]],<ref>Pages 127 and 33–34: {{citar livro|último =Cassels |primeiro =J. W. S. |autorlink =J. W. S. Cassels |capítulo=Appendix A Convex sets |título=Economics for mathematicians |series=London Mathematical Society lecture note series |volume=62 |publicado=Cambridge University Press |local=Cambridge, New York |ano=1981 |páginas=xi+145 |isbn=0-521-28614-X |mr=657578}}</ref> e [[matemática aplicada]] (para economistas).<ref>Pages 93–94 (especially example 1.92), 143, 318–319, 375–377, and 416: {{citar livro|último =Carter |primeiro =Michael |título=Foundations of mathematical economics |publicado=MIT Press |local=Cambridge, MA |ano=2001 |páginas=xx+649 |isbn=0-262-53192-5 |mr=1865841}} <p> Page 309: {{citar livro|último =Moore |primeiro =James C. |título=Mathematical methods for economic theory: Volume '''I'''
|series=Studies in economic theory |volume=9 |publicado=Springer-Verlag |local=Berlin |ano=1999 |páginas=xii+414 |isbn=3-540-66235-9 |mr=1727000}} <p> Pages 47–48: {{citar livro|mr=1878374 |último1 =Florenzano |primeiro1 =Monique |último2 =Le Van |primeiro2 =Cuong |titulo=Finite dimensional convexity and optimization in cooperation with Pascal Gourdel |series=Studies in economic theory |volume=13 |publicado=Springer-Verlag |local=Berlin |ano=2001 |páginas=xii+154 |isbn=3-540-41516-5}}</ref> Os resultados do [[lema de Shapley-Folkman]] estabelecem que não-convexidades são compatíveis com equilíbrios aproximados em mercados com muitos consumidores. Esses resultados também se aplicam a economias de [[produção]] com muitas pequenas [[negócio|firmas]].<ref>Economistas estudaram conjuntos não-convexos usando matemátic avançada, principalmente [[geometria diferencial]] e [[topologia diferencial]], [[Espaço de Baire]], [[medida (matemática)|medida]] e [[integral]], e [[teoria ergódica]]: {{citar livro|último =Trockel |primeiro =Walter |título=Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences |series=Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems |volume=223 |publicado=Springer-Verlag |local=Berlin |ano=1984 |páginas=viii+205 |isbn=3-540-12881-6 |mr=737006}}</ref>

Em "[[oligopólio]]s" (mercados dominados por poucos produtores), principalmente em "[[monopólio]]s" (mercados por um produtor), as não-convexidades permanecem importantes.<ref name="GuesnerieNonConvex" >Page 1: {{cite article |last=Guesnerie |first=Roger |authorlink=|title=Pareto optimality in non-convex economies |journal=Econometrica |volume=43 |year=1975 |page=1–29 |jstor=1913410 |doi=10.2307/1913410 |mr=443877|ref=harv}} {{jstor|1913410}} ({{cite article |title=Errata<!-- : "Pareto optimality in non-convex economies" (''Econometrica'' 43 (1975), 1–29) --> |journal=Econometrica |volume=43 |year=1975 |number=5–6 |page=1010 |jstor=1911353 |doi=10.2307/1911353 |mr=443878}}) {{jstor|1911353}}</ref> Preocupações quando a grandes produtores explorando o poder de mercado iniciaram de fato a literatura de conjuntos não-convexos, quando [[Piero Sraffa]] escreveu sobre firmas com [[retornos de escala]] crescentes em 1926,<ref>{{cite article |last=Sraffa |first=Piero |authorlink=Piero Sraffa |year=1926 |title=The Laws of returns under competitive conditions |journal=Economic Journal |volume=36 |number=144 |pages=535-550 |jstor=2959866 |ref=harv}}</ref> após o qual [[Harold Hotelling]] escreveu sobre [[custo marginal]] em 1938.<ref>{{cite article |first=Harold |last=Hotelling |authorlink=Harold Hotelling |title=The General welfare in relation to problems of taxation and of railway and utility rates |journal=Econometrica |volume=6 |number=3 |month=July |year=1938 |pages=242–269 | jstor=1907054}}</ref> Tanto Sraffa quanto Hotelling expuseram o [[poder de mercado]] dos produtores sem competidores, claramente estimulando uma literatura do lado da oferta da economia.<ref>Pages 5–7: {{citar livro|último =Quinzii |primeiro =Martine |título=Increasing returns and efficiency |local=New York |publicado=Oxford University Press |ano=1992 |edição=Revised translation of (1988) ''Rendements croissants et efficacité economique''. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique |páginas=viii+165 |isbn=0-19-506553-0}}</ref> Conjuntos não-convexos aparecem também com os [[economia ambiental|bens ambientais]] (e com as [[externalidade]]s),<ref>Pages 106, 110–137, 172, and 248: {{citar livro|título=The Theory of environmental policy |edição=Second |primeiro1 =William J. |último1 =Baumol |authorlink1=William Baumol |último2 =Oates |primeiro2 =Wallace E. |isbn=9780521311120 |doi=10.2277/0521311128 |ano=1988 |páginas=x+299 |publicado=Cambridge University Press |local=Cambridge |autor3 =with contributions by V. S. Bawa and David F. Bradford |capítulo=8 Detrimental externalities and nonconvexities in the production set |ref=harv}}
</ref><ref>{{cite article |mr=449575 |last=Starrett |first=David A. |title=Fundamental nonconvexities in the theory of externalities |journal=Journal of Economic Theory |volume=4 |year=1972 |number=2 |pages=180–199 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/B6WJ3-4CYGBWD-NX/2/0f7447ebad01895b6e454dfee4ac481b |doi=10.1016/0022-0531(72)90148-2 |ref=harv}}<p>Starrett discute não-convexidades em seu livro-texto sobre [[economia pública]] (páginas 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, ;147, e 234–236): {{citar livro|último =Starrett |primeiro =David A. |título=Foundations of public economics |series=Cambridge economic handbooks |volume= |ano=1988 |número= |páginas= |publicado=Cambridge University Press |local=Cambridge |url=http://books.google.com/books?id=R35yljdyyIkC&pg=PR11&dq=David+A.+Starrett,+public+economics#v=onepage&q=nonconvex%20OR%20nonconvexities&f=false |ref=harv}}</p></ref> com [[economia da informação]]<ref>{{cite article|first=Roy|last=Radner|authorlink=|title=Competitive equilibrium under uncertainty|journal=Econometrica|volume=36|year=1968|pages=31–53|ref=harv}} <!-- Apparently not [[Radner Equilibrium]]: {{citar periódico|autorlink =Roy Radner |último =Radner |primeiro =R. |ano=1967 |título=Equilibre des marchés à terme et au comptant en cas d’incertitude [Equilibrium of temporal sequences of markets under uncertainty] |língua=francês |periódico=Cahiers du Séminaire d’Econométrie |volume=17 |páginas=35-52 |}} e {{cite article |authorlink=Roy Radner |first=Roy |last=Radner |mr=381655 |title=Existence of equilibrium of plans, prices, and price expectations in a sequence of markets |journal=Econometrica |volume=40 |year=1972 |pages=289–304|language=inglês}} --></ref> e com [[mercado de ações|mercados de ações]]<ref name="GuesnerieNonConvex"/> (e outros [[mercado incompleto|mercados incompletos]]).<ref>Page 270: {{citar livro|mr=926685 |último =Drèze |primeiro =Jacques H. |autorlink =Jacques H. Drèze |título=Essays on economic decisions under uncertainty |publicado=Cambridge University Press |editor-sobrenome =Drèze |editor-nome =J. H. |<!-- editor-link=Jacques H. Drèze -->location=Cambridge |ano=1987 |páginas=261–297<!-- xxviii+424 --> |isbn=0-521-26484-7 |capítulo=14 Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability |ref=harv}} (Originalmente publicado em {{citar livro|último =Drèze |primeiro =Jacques H. |autorlink =Jacques H. Drèze |ano=1974 |capítulo=Investment under private ownership: Optimality, equilibrium and stability |editor-sobrenome =Drèze |editor-nome =J. H. |<!-- editor-link=Jacques H. Drèze --> |título=Allocation under Uncertainty: Equilibrium and Optimality |publicado=Wiley |local=New York |páginas=129–165 |ref=harv}})</ref><ref>Page 371: {{citar livro|último1 =Magill |primeiro1 =Michael |último2 =Quinzii |primeiro2 =Martine |ano=1996 |capítulo=6 Production in a finance economy |páginas=329–425 |seção=31 Partnerships |título=The Theory of incomplete markets |publicado=MIT Press |local=Cambridge, Massachusetts |ref=harv}}</ref> Tais aplicações continuaram a motivar os economistas a estudar conjuntos não-convexos.<ref name="MCNC">{{citar livro|último =Mas-Colell |primeiro =A. |autorlink =Andreu Mas-Colell |capítulo=Non-convexity |título=The New Palgrave: A Dictionary of Economics |editor-nome1 =John |editor-sobrenome1 =Eatwell |editor-nome2 =Murray |editor-sobrenome2 =Milgate |editor-nome3 =Peter |editor-sobrenome3 =Newman |publicado=Palgrave Macmillan |ano=1987 |edição=first |outros=The New Palgrave Dictionary of Economics Online |doi=10.1057/9780230226203.3173 |páginas=653–661 |url=http://www.econ.upf.edu/~mcolell/research/art_083b.pdf |ref=harv}}
</ref>

===Análise não suave===
Os economistas tem cada vez mais estudado conjuntos não-convexos com [[subderivada|análise não suave]], que generaliza a [[análise convexa]]. "Não-convexidades na produção e consumo... requerem ferramentas matemáticas que vão além da convexidade, e seu desenvolvimento teve de esperar a invenção do cálculo não-suave", como descrito por Rockafellar Wets<ref>{{citar livro|último1 =Rockafellar |primeiro1 =R. Tyrrell |authorlink1=R. Tyrrell Rockafellar |último2 =Wets |primeiro2 =Roger J-B |authorlink2= |título=Variational analysis |series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] |volume=317 |publicado=Springer-Verlag |local=Berlin |ano=1998 |páginas=xiv+733 |isbn=3-540-62772-3 |mr=1491362 |ref=harv}}</ref> e Mordukhovich,<ref name=Mordukhovich2>Chapter 8 "Applications to economics", especially Section 8.5.3 "Enter nonconvexity" (and the remainder of the chapter), particularly page 495: <p>{{citar livro|autorlink =Boris Mordukhovich |primeiro =Boris S. |último =Mordukhovich |título=Variational analysis and generalized differentiation '''II''': Applications |series=Grundlehren Series (Fundamental Principles of Mathematical Sciences) |volume=331 |publicado=Springer |ano=2006 |páginas=i–xxii and 1–610 |mr=2191745 |ref=harv}}</ref> de acordo com Khan.<ref name="Khan" >{{citar livro|último =Khan |primeiro =M. Ali |capítulo=Perfect competition |título=The New Palgrave Dictionary of Economics |editor-nome =Steven N. |editor-sobrenome =Durlauf |editor-nome2 =Lawrence E., ed. |editor-sobrenome2 =Blume |publicado=Palgrave Macmillan |ano=2008 |edição=Second |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000056 |doi=10.1057/9780230226203.1267 |ref=harv}}</ref> Brown escreveu que a "maior inovação metodológica na análise do equilíbrio geral das firmas com controle sobre os preços" era "a introdução de métodos de não-análise, como uma síntese da análise global (topologia diferencial) e da análise convexa." De acordo com Brown, "A análise não suave aumenta a aproximação local de variedades aos planos tangentes [e aumenta] a aproximação análoga de conjuntos convexos a cones tangentes" que podem ser não suaves ou não-convexos.<ref>{{citar livro|p=1966 |último =Brown |primeiro =Donald J. |capítulo=36 Equilibrium analysis with non-convex technologies |doi=10.1016/S1573-4382(05)80011-6 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/B7P5Y-4FKY4C6-C/2/0bd1a73374b0b690f702691e1f7fe671 |título=Handbook of mathematical economics, Volume '''IV''' |páginas=1963–1995 |mr=1207195 |editor-nome1 =Werner |editor-sobrenome1 =Hildenbrand |editor1-link=Werner Hildenbrand |editor-nome2 =Hugo |editor-sobrenome2 =Sonnenschein |editor2-link= |series=Handbooks in Economics |volume=1 |publicado=North-Holland Publishing Co |local=Amsterdam |ano=1991 |isbn=0-444-87461-5<!-- The terminal "5" is correct, while Elsevier's on-line "0" is for volume 2 --> |ref=harv}}</ref> Os economistas também têm usado a [[homologia singular|topologia algébrica]].<ref>{{cite article |mr=1218037 |last=Chichilnisky |first=G. |authorlink=Graciela Chichilnisky |title=Intersecting families of sets and the topology of cones in economics |journal=Bulletin of the American Mathematical Society (New Series) |volume=29 |year=1993 |number=2 |pages=189–207 |doi=10.1090/S0273-0979-1993-00439-7 |url=http://www.ams.org/journals/bull/1993-29-02/S0273-0979-1993-00439-7/S0273-0979-1993-00439-7.pdf |ref=harv}}</ref>

{{Referências}}

==Bibliografia==
* {{citar livro|último =Blume |primeiro =Lawrence E. |autorlink = |editor2-link=Lawrence E. Blume |capítulo=Convexity |ano=2008c |título=The New Palgrave Dictionary of Economics |editor-nome =Steven N. |editor-sobrenome =Durlauf |editor-nome2 =Lawrence E. |editor-sobrenome2 =Blume |publicado=Palgrave Macmillan |edição=Second |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_C000508 |doi=10.1057/9780230226203.0315 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Blume |primeiro =Lawrence E. |capítulo=Convex programming |ano=2008c |autorlink = |editor2-link=Lawrence E. Blume |título=The New Palgrave Dictionary of Economics |editor-nome =Steven N. |editor-sobrenome =Durlauf |editor-nome2 =Lawrence E. |editor-sobrenome2 =Blume |publicado=Palgrave Macmillan |edição=Second |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_C000348 |doi=10.1057/9780230226203.0314 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Blume |primeiro =Lawrence E. |autorlink = |editor2-link=Lawrence E. Blume |capítulo=Duality |ano=2008d |título=The New Palgrave Dictionary of Economics |editor-nome =Steven N. |editor-sobrenome =Durlauf |editor-nome2 =Lawrence E. |editor-sobrenome2 =Blume |publicado=Palgrave Macmillan |edição=Second |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde1987_X000626 |doi=10.1057/9780230226203.0411 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Crouzeix |primeiro =J.-P. |capítulo=Quasi-concavity |título=The New Palgrave Dictionary of Economics |editor-nome =Steven N. |editor-sobrenome =Durlauf |editor-nome2 =Lawrence E. |editor-sobrenome2 =Blume |editor2-link=Lawrence E. Blume |publicado=Palgrave Macmillan |ano=2008 |edição=Second |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_Q000008 |doi=10.1057/9780230226203.1375 |ref=harv}}
* {{citar livro|primeiro =W. E. |último =Diewert |capítulo=12 Duality approaches to microeconomic theory|páginas=535–599|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/B7P5Y-4FDF0FN-R/2/dcc0f8c9352eb054c96b3ff481976ce7|doi=10.1016/S1573-4382(82)02007-4|título=Handbook of mathematical economics, Volume '''II''' |editor1-link=Kenneth Arrow |editor-nome1 =Kenneth Joseph |editor-sobrenome1 =Arrow |editor-nome2 =Michael D. |editor-sobrenome2 =Intriligator |series=Handbooks in economics |volume=1 |publicado=North-Holland Publishing Co. |local=Amsterdam |ano=1982 |isbn=978-0-444-86127-6 |mr=648778 |ref=harv}}
* {{citar livro|primeiro1 =Jerry |último1 =Green |primeiro2 =Walter P. |último2 =Heller |capítulo=1 Mathematical analysis and convexity with applications to economics |páginas=15–52 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/B7P5Y-4FDF0FN-5/2/613440787037f7f62d65a05172503737 |doi=10.1016/S1573-4382(81)01005-9 |título=Handbook of mathematical economics, Volume '''I''' |editor1-link=Kenneth Arrow |editor-nome1 =Kenneth Joseph |editor-sobrenome1 =Arrow |editor-nome2 =Michael D. |editor-sobrenome2 =Intriligator |series=Handbooks in economics |volume=1 |publicado=North-Holland Publishing Co. |local=Amsterdam |ano=1981 |isbn=0-444-86126-2 |mr=634800 |ref=harv}}
*[[David Luenberger|Luenberger, David G.]] ''Microeconomic Theory'', McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.
* {{citar livro|último =Mas-Colell |primeiro =A. |autorlink =Andreu Mas-Colell |capítulo=Non-convexity |título=The New Palgrave: A Dictionary of Economics |editor-nome1 =John |editor-sobrenome1 =Eatwell |editor-nome2 =Murray |editor-sobrenome2 =Milgate |editor-nome3 =Peter |editor-sobrenome3 =Newman |editor3-link=Peter Kenneth Newman |publicado=Palgrave Macmillan |ano=1987 |edição=first |outros=The New Palgrave Dictionary of Economics Online |doi=10.1057/9780230226203.3173 |páginas=653–661 |url=http://www.econ.upf.edu/~mcolell/research/art_083b.pdf |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Newman |primeiro =Peter |autorlink =Peter Kenneth Newman |capítulo=Convexity |título=The New Palgrave: A Dictionary of Economics |editor-nome1 =John |editor-sobrenome1 =Eatwell |editor-nome2 =Murray |editor-sobrenome2 =Milgate |editor-nome3 =Peter |editor-sobrenome3 =Newman |editor3-link=Peter Kenneth Newman |publicado=Palgrave Macmillan |ano=1987c |edição=first |outros=The New Palgrave Dictionary of Economics Online |doi=10.1057/9780230226203.2282<!-- SNAFU at NP? 30 Jan 2011--> |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde1987_X000453 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Newman |primeiro =Peter |autorlink =Peter Kenneth Newman |capítulo=Duality |título=The New Palgrave: A Dictionary of Economics |editor-nome1 =John |editor-sobrenome1 =Eatwell |editor-nome2 =Murray |editor-sobrenome2 =Milgate |editor-nome3 =Peter |editor-sobrenome3 =Newman |editor3-link=Peter Kenneth Newman |publicado=Palgrave Macmillan |ano=1987d |edição=first |outros=The New Palgrave Dictionary of Economics Online |doi=10.1057/9780230226203.2412<!-- SNAFU at NP? 30 Jan 2011--> |páginas= |url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde1987_X000626 |ref=harv}}
* {{citar livro|último =Rockafellar |primeiro =R. Tyrrell |título=Convex analysis |edição=Reprint of the 1979 Princeton mathematical series '''28''' |series=Princeton landmarks in mathematics |publicado=Princeton University Press |local=Princeton, NJ |ano=1997 |páginas=xviii+451 |isbn=0-691-01586-4 |ref=RockCA }}
* {{citar livro|último =Schneider |primeiro =Rolf |título=Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory |series=Encyclopedia of mathematics and its applications |volume=44 |publicado=Cambridge University Press |local=Cambridge |ano=1993 |páginas=xiv+490 |ref=harv |isbn=0-521-35220-7 |mr=1216521}}

==Notas==
{{tradução/ref|en|Convexity in economics}}

{{economia}}

[[Categoria:Métodos quantitativos em economia]]