Mostrar código-fonte de Crescimento demográfico (equação diferencial)

A taxa de aumento de uma população é a soma das taxas de natalidade (<math>n</math>) e
migração (<math>g</math>), menos a taxa de mortalidade (<math>m</math>)

<math>
  a = n + g - m
</math>

O aumento da população num instante dado é igual ao produto da população nesse
instante vezes a taxa de aumento da população; se a população no instante <math>t</math>
for representada pela função <math>P(t)</math>, o aumento da população será também igual
à derivada de <math>P</math><ref name="Villate">{{citar livro|título=Equações Diferenciais e Equações de Diferenças|local=Porto|nome=Jaime E.|sobrenome=Villate|ano=2011|total-páginas=120|acesso=13 de julho de 2013|url=http://villate.org/publications/Villate_2001_Equacoes_Diferenciais.pdf}}</ref>

<math>
  {dP \over dt} = a P
</math>

Para poder resolver esta equação é preciso conhecer a dependência de <math>a</math> com o
tempo. Veremos dois casos simples
==Modelo de Malthus==
Se a taxa de aumento da população (<math>a</math>) for constante a equação diferencial anterior será uma equação de variáveis separáveis

<math>
\begin{align}
  &\int \frac{dP}{P} = \int a dt + C \\
  &P = P_0 e^{at}
\end{align}
</math>

Onde <math>P_0</math> é a população em <math>t=0</math>. Este modelo pode ser uma boa aproximação em certo intervalo, mas tem o inconveniente que a população cresce sem limite.

==Modelo logístico==
Considera-se uma taxa de mortalidade que aumenta diretamente proporcional à
população, com taxas de natalidade e migração constantes. A taxa de aumento da
população é assim

<math>
  b - k P
</math>

com <math>b</math> e <math>k</math> constantes. A equação diferencial obtida é uma equação de
Bernoulli

<math>
  {dP \over dt} = b P - k P^2
</math>

Neste modelo a população não cresce indiscriminadamente, pois a medida que <math>P</math>
aumenta, a taxa de aumento diminui chegando eventualmente a ser nula e nesse
momento <math>P</math> permanece constante.  Por meio da substituição <math>u = 1/P</math> obtém-se uma equação linear

<math>
  {du \over dt} = - b u + k
</math>

Que pode ser resolvida multiplicando os dois lados pelo fator integrante <math>\exp(bt)</math>

<math>
\begin{align}
  {d \over dx} \bigg(u e^{bt}\bigg) &=& k \int e^{bt} d t + C
  \\
  \frac{1}{P} &=& \frac{k}{b} + C e^{-bt}
\end{align}
</math>

A população aproxima-se assimptoticamente do valor limite <math>b/k</math>.<ref name="Villate" />
==Ver também==
* [[Equação diferencial]]
* [[Equação diferencial linear]]
* [[Equação diferencial de Bernoulli]]

{{referências}}

{{Equações diferenciais}}

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Equações diferenciais]]