Mostrar código-fonte de Crivo de Selberg

{{sem notas|data=fevereiro de 2014}}
[[Ficheiro:Atle Selberg.jpg|miniaturadaimagem|Atle Selberg]]
Em [[Matemática]], na área de [[teoria dos números]], o '''crivo de Selberg''' é uma técnica para estimar o tamanho de conjuntos crivados (ou "peneirados", pois crivo significa peneira) de [[número natural|inteiros positivos]] que satisfazem um conjunto de condições que são expressadas por [[Aritmética_modular#Relação de congruência|congruência]]. Foi desenvolvida por [[Atle Selberg]] na década de 1940.

==Descrição==
Em termos de [[teoria dos crivos]] o crivo de Selberg é do ''tipo combinatório'': isto é, provém do uso cauteloso do [[princípio da inclusão-exclusão]].  Selberg substitui os valores da [[função de Möbius]] que surgem por um sistema de pesos que são então otimizados segundo o problema dado. O resultado retorna um limite superior para o tamanho do conjunto crivado.

Seja ''A'' um conjunto de inteiros positivos &le; ''x'' e seja ''P'' um conjunto de primos.  Para cada ''p'' in ''P'', seja ''A''<sub>''p''</sub> o conjunto de elementos de ''A'' divisíveis por ''p'' e estender isso para fazer ''A''<sub>''d''</sub> a intersecção de ''A''<sub>''p''</sub> para ''p'' dividindo ''d'', onde ''d'' é um produto de primos distintos de ''P''.  Ainda seja A<sub>1</sub> a notação para o próprio ''A''.  Seja ''z'' um número real positivo e ''P''(''z'') a notação para o produto dos primos em ''P'' &le; ''z''.  A finalidade deste crivo é estimar

:<math>S(A,P,z) = \left\vert A \setminus \bigcup_{p \mid P(z)} A_p \right\vert . </math>

Assumimos então que |''A''<sub>''d''</sub>| pode ser estimado por

:<math> \left\vert A_d \right\vert = \frac{1}{f(d)} X + R_d . </math>

onde ''f'' é uma [[função multiplicativa]] e ''X'' &nbsp; = &nbsp; |''A''|.  Seja a função ''g'' obtida a partir de ''f'' pela [[fórmula de inversão de Möbius]], isto é

:<math> g(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) f(n/d) </math>
:<math> f(n) = \sum_{d \mid n} g(d) </math>

onde &mu; é a [[função de Möbius]].
Put

:<math> V(z) = \sum_{\begin{smallmatrix}d < z \\ d \mid P(z)\end{smallmatrix}} \frac{\mu^2(d)}{g(d)} . </math>

então

:<math> S(A,P,z) \le \frac{X}{V(z)} + O\left({\sum_{\begin{smallmatrix} d_1,d_2 < z \\ d_1,d_2 \mid P(z)\end{smallmatrix}} \left\vert R_{[d_1,d_2]} \right\vert} \right) .</math>

Muitas vezes, é útil para estimar ''V''(''z'') pelo limite

:<math> V(z) \ge \sum_{d \le z} \frac{1}{f(d)} . \, </math>

==Aplicações==
* No [[Teorema de Brun–Titchmarsh]] no número de [[primos em progressão aritmética]];
* O número de ''n'' &le; ''x'' de tal forma que ''n'' é [[co-primo]] com [[Função totiente de Euler|&phi;(''n'')]] é assintótico para e<sup>&minus;&gamma;</sup> ''x'' / log log log (''x'') .

==Referências==
* {{citar livro|primeiro1 =Alina Carmen |último1 =Cojocaru |primeiro2 =M. Ram |último2 =Murty |autorlink2 =M. Ram Murty |título=An introduction to sieve methods and their applications | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=66 |publicado=[[Cambridge University Press]] | isbn=0-521-61275-6 |páginas=113–134 |ano=2005 | zbl=1121.11063 }}
* {{citar livro|último1 = Diamond |primeiro1 = Harold G. |último2 = Halberstam |primeiro2 = Heini | authorlink2 = Heini Halberstam | others = With William F. Galway |título= A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions |series= Cambridge Tracts in Mathematics |volume=177 |publicado=[[Cambridge University Press]] |local=[[Cambridge]] |ano=2008 | isbn=978-0-521-89487-6 | zbl=1207.11099 }}
* {{citar livro|primeiro =George |último =Greaves |título=Sieves in number theory |publicado=[[Springer-Verlag]] |data=2001 | isbn=3-540-41647-1 | zbl=1003.11044 | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge | volume=43 |local=Berlin }}
* {{citar livro|primeiro1 =Heini |último1 =Halberstam | authorlink1 = Heini Halberstam |primeiro2 =H.E. |último2 =Richert | authorlink2=Hans-Egon Richert |título=Sieve Methods |publicado=[[Academic Press]] |data=1974 | isbn=0-12-318250-6 | zbl=0298.10026 | series=London Mathematical Society Monographs | volume=4 }}
* {{citar livro|primeiro =Christopher |último =Hooley |autorlink =Christopher Hooley |título=Applications of sieve methods to the theory of numbers |publicado=Cambridge University Press |data=1976 | isbn=0-521-20915-3|páginas=7–12 | zbl=0327.10044 | series=Cambridge Tracts in Mathematics | volume=70 }}
* {{citar periódico|primeiro =Atle |último =Selberg |autorlink =Atle Selberg |título=On an elementary method in the theory of primes |periódico=Norske Vid. Selsk. Forh. Trondheim | volume=19 |ano=1947 |páginas=64–67 | zbl=0041.01903 | issn=0368-6302 }}

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{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Teoria dos crivos]]