Mostrar código-fonte de Curva

{{mais-notas|data=junho de 2009}}
[[Imagem:Archimedean spiral.svg|thumb|Uma espiral, um exemplo simples de curva.]]
Em [[matemática]], uma '''curva''' ou '''linha curva''' é, em termos gerais, um objeto semelhante a uma [[linha reta]], mas que não é obrigatoriamente [[Movimento retilíneo|retilíneo]]. Tecnicamente, uma curva é o lugar geométrico ou trajetória seguida por um ponto que se move de acordo com uma ou mais leis especificadas, neste caso, as leis comporão uma condição necessária e suficiente para a existência do objeto definido. Frequentemente há maior interesse nas curvas em um espaço euclidiano de duas dimensões ([[Curva plana|curvas planas]]) ou três dimensões (curvas espaciais).

Em tópicos diferentes dentro da matemática o termo possui significados distintos dependendo da área de estudo, então o sentido exato depende do contexto. Um exemplo simples de uma curva é a espiral, mostrada a direita. Um grande número de outras curvas já foi bem estudado em diversos campos da matemática.

O termo ''curva'' também tem vários significados na linguagem não matemática. Por exemplo, ele pode ser quase um sinônimo de [[função matemática]] (como em ''curva de aprendizado''), ou [[gráfico de uma função]] (como em [[curva de Phillips]])

Se o intervalo for fechado e as imagens dos pontos inicial e final coincidirem a curva diz-se ''fechada''.
Se a função for injectiva (exceptuando a possibilidade de a curva ser fechada), a curva diz-se ''simples''.
A curva pode ainda ser adjectivada com as propriedades adicionais que tenha a função. Por exemplo, se a função for [[derivada|diferenciável]], a curva diz-se ''diferenciável'', etc.

== Topologia ==
[[Image:Mandelbrot set Components.jpg|210px|right|thumb|Fronteiras das componentes hiperbólicas do [[conjunto de Mandelbrot]] como curvas fechadas]]

Em [[Topologia (matemática)|topologia]], uma '''curva''' é uma [[função matemática|aplicação]] [[função contínua|contínua]] cujo [[Função matemática#Domínio, contradomínio e imagem|domínio]] é um [[intervalo (matemática)|intervalo]]. Mais precisamente, Seja <math>I</math> um [[intervalo]] de [[números reais]] (isto é, um [[conjunto conexo|conexo]] [[subconjunto]] não [[vazio]] de <math>\mathbb{R}</math>). Então uma curva <math>\gamma</math> é uma [[função (matemática)|função]] [[função contínua|contínua]] <math>\gamma : I \rightarrow X</math>, em que <math>X</math> é um [[espaço topológico]]. Por vezes também se chama curva à [[imagem (matemática)|imagem]] dessa aplicação.
* A curva <math>\gamma</math> é dita ser '''simples''', ou uma '''curva de {{ancorav|Jordan}}''', se ela é injetiva, ou seja, se para todo <math>x</math>, <math>y</math> em <math>I</math>, tem-se <math>\gamma(x) = \gamma(y) \implies x = y</math>. Se <math>I</math> é um intervalo fechado <math>[a, b]</math>, também é permitida a possibilidade de que <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math> (esta convenção torna possível falar sobre curvas simples "fechadas", veja abaixo). Em outras palavras, este tipo de curva "não cruza a si mesma e não tem pontos faltando".<ref>{{citar web | url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc | título=Definição de curva de Jordan no Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc.  | publicado=dictionary.reference.com }}</ref>
* Se <math>\gamma(x)=\gamma(y)</math> para algum <math>x\ne y</math> (outros além das extremidades de <math>I</math>), então <math>\gamma(x)</math> é chamado de um '''ponto duplo''' (ou '''múltiplo''') da curva.
Uma '''[[curva plana]]''' é uma curva para a qual ''X'' é o [[plano euclidiano]] — estes são os primeiros exemplos encontrados — ou em alguns casos o [[plano projetivo]]. {{Âncora|Curva espacial}}Uma '''curva espacial''' é uma curva para a qual ''X'' é tridimensional, sendo geralmente o [[espaço euclidiano]]; uma '''curva torcida''' (''skew curve'') {{anchor|curva torcida}} é uma curva espacial que não está contida em nenhum plano. Essas definições também se aplicam a [[curva algébrica|curvas algébricas]] (veja abaixo). No entanto, no caso das curvas algébricas é muito comum não impor a restrição de que a curva tenha pontos definidos apenas sobre os números reais.

Esta definição de curva captura nossa noção intuitiva de curva como sendo uma figura geométrica contínua, conexa que é "parecida" com uma reta, sem espessura e desenhável sem interrupção, embora ela também inclua figuras que dificilmente podem ser chamadas de curvas no sentido comum. Por exemplo, a imagem de uma curva pode preencher um [[quadrado]] no plano ([[curva de Peano]]). A imagem de uma curva plana simples pode ter uma [[dimensão de Hausdorff]] maior do que um (veja [[Floco de neve de Koch]]) e até mesmo [[medida de Lebesgue]] positiva.<ref>{{citar periódico|último =Osgood|primeiro =William F.| autorlink1=William Fogg Osgood |data=janeiro de 1903|título=A Jordan Curve of Positive Area|periódico=Transactions of the American Mathematical Society|publicado=American Mathematical Society|volume=4|número=1|páginas=107–112|url=http://www.jstor.org/sici?sici=0002-9947(190301)4%3A1%3C107%3AAJCOPA%3E2.0.CO%3B2-T|acessodata=2008-06-04|doi=10.2307/1986455}}</ref> (o último exemplo pode ser obtido através de uma pequena variação na construção da curva de Peano). A [[curva do dragão]] é outro exemplo incomum.

==Exemplos de curvas==
* [[Curvas cíclicas]];
* uma função real de variável [[números reais|real]];
* um [[nó (matemática)|nó]].

== Trajetórias de Partículas ==
Curvas n-dimensionais são frequentemente utilizadas na mecânica para representar a trajetória que uma partícula irá percorrer, se deslocando conforme o tempo passa. Assim sendo, é comum expressar as n coordenadas da posição da partícula como funções do tempo, em um vetor '''r''' de funções, sendo cada componente uma coordenada.

Em muitos desses casos, é conveniente descrever o espaço não através dos vetores unitários cartesianos convencionais, mas de um conjunto análogo de vetores unitários mutuamente ortogonais que tenham a partícula como origem - ou seja, eles mudam a todo instante para continuarem acompanhando ela, sendo, portanto, vetores de funções do tempo. No caso n = 3, esses vetores são chamados de '''Tangente''', '''Normal''' e '''Binormal''' - conhecidos como o [[Triedro de Frenet|Triedro de Frenet-Serret]].

=== O Vetor Tangente ===
'''T''' é descrito como sendo o vetor unitário tangente à curva, que aponta na direção que a partícula está se movendo. Ora, pois a direção de tangência sempre será dada pela derivada, e para se ter um vetor unitário basta dividi-lo por sua norma, portanto

<math>\vec{T}=(d\vec{r}/dt)/\lVert (d\vec{r}/dt) \rVert</math>

=== O Vetor Normal ===
'''N''' é descrito como sendo o vetor unitário ortogonal a '''T''' que aponta para o centro de curvatura da trajetória. Ora, pois se um vetor varia sua orientação no tempo mas não sua norma (é o caso de '''T'''), então sua derivada será justamente um vetor ortogonal a ele que aponta para o centro de curvatura de sua trajetória; e como já foi dito, um vetor se torna unitário se for dividido por sua norma; isso nos dá

<math>\vec{N}=(d\vec{T}/dt)/\lVert (d\vec{T}/dt) \rVert</math>

=== O Vetor Binormal ===
'''B''' é descrito como sendo o vetor unitário ortogonal a ambos '''T''' e '''N''', que aponte no sentido positivo do deslocamento da partícula. Ele será, portanto, dado por

<math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math>

=== Grandezas características de trajetórias de partículas ===

==== Curvatura de uma Trajetória ====
A curvatura em um ponto de uma trajetória representa a relação entre as alterações no vetor tangente unitário '''T''' e a função posição da partícula. Considerando ''C'', uma função vetorial lisa no espaço bi ou tridimensional, parametrizada em termos de comprimento de arco ''s'', podemos associar a intensidade de encurvamento de ''C'' com a taxa e variação de '''T''' em relação a ''s.'' Portanto, a curvatura de ''C'', <math>k=k(s)</math>, é dada por

<math display="inline">k(s)=\lVert \operatorname{d}\!T/\operatorname{d}\!s \rVert=\lVert r''(s) \rVert</math> <ref>{{citar livro|título=Cálculo|ultimo=ANTON|primeiro=Howard|editora=Bookman|ano=2014|local=Porto Alegre|páginas=|acessodata=}}</ref>

Assim, é possível observar que, se ''C'' for uma reta, a direção de '''T''' mantem-se constante. Logo, a derivada do vetor tangente unitário, nesse caso, é zero, bem como a curvatura de ''C'', resultado esperado para o gráfico representado pela equação da reta.

Como a trajetória de uma partícula é usualmente representada em função do tempo, a curva C é descrita pela função vetorial <math>r(t)=x(t)\vec{i}+y(t)\vec{j}+z(t)\vec{k}</math>. Sendo assim, é preciso mudar o parâmetro de ''s'' para ''t'' da relação encontrada para curvatura, para isso, utilizamos a regra da cadeia

<math>{d\vec{T} \over ds }= {{d\vec{T} \over dt} \over {ds \over dt}} = {{\vec{T}'}(t) \over {ds \over dt}}</math>

e correlacionamos a taxa <math>{ds \over dt}</math> e a função vetorial <math>r(t)</math>

<math>\Biggl({ds \over dt}\Biggr)^2=\Biggl({dx \over dt}\Biggr)^2+\Biggl({dy \over dt}\Biggr)^2\therefore
{ds \over dt}=\sqrt{x'^2+y'^2}=\sqrt{\vec{r}'(t)\bullet\vec{r}'(t)}=\lVert \vec{r}'(t) \rVert</math>.

Dessa forma, a curvatura de uma trajetória é definida por

<math display="inline">k(t)={\lVert \vec{T}'(t) \rVert \over \lVert \vec{r}'(t) \rVert}   \qquad      , \quad  \lVert \vec{r}'(t) \rVert\neq0</math> <ref>Notas de Aula da prof. Irene Strauch - Análise Vetorial</ref>

==== Raio de Curvatura de uma Trajetória ====
É o raio do círculo em torno do qual a partícula parece girar enquanto executa um trecho infinitesimal de sua trajetória. Já foi dito aqui que uma grande curvatura é dada por uma grande variação da orientação da partícula em um curto espaço de curva, mas na realidade a ideia que se tem de um grande raio de curvatura é justamente o contrário: a partícula seguir numa trajetória suave, sem variar muito sua orientação, por grandes comprimentos de curva. Então, o raio da curva é dado por

<math>\rho=1/k</math>

==== Torção de uma Trajetória ====
É uma grandeza que foi criada para medir “o quão tridimensional uma curva é”. Ora, pois o vetor que sai do plano para o 3D é justamente o vetor Binormal; quanto mais este vetor variar sua trajetória, mais a curva estará sendo imersa no espaço tridimensional. Por isso, define-se o módulo da torção por

<math>|\tau|=||d\vec{B}/dt||</math>

=== Movimento de uma partícula ao longo de uma curva C ===
Existem fórmulas muito mais práticas quando queremos calcular a curvatura, essas podem ser obtidas a partir do estudo do movimento de partículas ao longo de uma curva C, oriundas de conceitos físicos.

==== Aceleração <math>\vec{a}(t)</math> ====
Utilizando conceitos físicos, temos a aceleração como,

<math>\vec{a} (t) = {d \vec{v} \over dt}</math>

Tomando o vetor velocidade como, o produto do módulo da velocidade pelo vetor tangente, e aplicando a regra da derivada do produto, temos,

<math>\vec{a} = {d \over dx}(v \vec{T}) = {dv \over dx} \vec{T} + v {d\vec{T} \over dx}</math>

Temos o primeiro termo da equação como a componente tangencial da aceleração,

<math>a_T={dv \over dt}</math>

Da mesma forma podemos obter a aceleração normal,

<math>{d\vec{T} \over dt} = \vec{T}'(t) = | \vec{T}'(t) \mid \vec{N} = k v \vec{N} = \frac{v}{\rho} \vec{N}</math>

<math>a_N=\frac{v^2}{\rho}</math>

Portanto,

<math>\vec{a} = a_T \vec{T} + a_N \vec{N}</math>

Ainda podemos obter, de forma mais práticas, os valores da aceleração tangencial e normal por meio das seguintes expressões,

<math>a_T= \frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{v}</math> ;

<math>a_N= \frac{|\vec{v}\times\vec{a}\mid}{v}</math>;

==== Curvatura <math>k(t)</math> ====
Pode-se obter o valor para a curvatura, utilizando os parâmetros de velocidade e aceleração, segundo a fórmula,

<math>k(t) = \frac{\mid \vec{v} \times \vec{a} \mid}{v^3}</math>

ou ainda,

<math>k(t) = \frac{ \mid \vec{r}' \times \vec{r}'' \mid}{\mid \vec{r}' \mid^3}</math>

== Ver também ==
*Lista de curvas
*[[Geodésica]]
*[[Spline]]
*[[Curva ABC]]

== Notas ==
<references/><br />{{esboço-matemática}}

{{Funções}}

[[Categoria:Curvas]]
[[Categoria:Geometria]]