Mostrar código-fonte de Definição de limite (ε, δ)

[[Imagem:Límite_01.svg|direita|miniaturadaimagem|Sempre que um ponto ''x'' está dentro de unidades δ de ''c'', ''f(x)'' está dentro de ε unidades de ''L'']]

No [[cálculo]], a '''definição de limite (ε, δ)''' ("definição de limite [[Ε|epsilon]]-[[Δ|delta]]") ou '''definição formal de limite''' é uma formalização da definição de [[limite]]. O conceito é devido a [[Augustin-Louis Cauchy]], que nunca deu uma definição de limite (<math>\varepsilon,\delta</math>) em seu ''[[Cours d'Analyse]]'', mas ocasionalmente usou argumentos <math>\varepsilon,\delta</math> em provas. Ela foi primeiro dada como uma definição formal por [[Bernard Bolzano]] em 1817, e a afirmação moderna definitiva foi finalmente fornecida por [[Karl Weierstrass]].<ref name="grabiner"> {{citation|título=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus|primeiro =Judith V.|último =Grabiner|periódico=The American Mathematical Monthly|data=março de 1983|volume=90|páginas=185–194|url=http://www.mr-ideahamster.com/classes/assets/a_evepsilon.pdf|arquivourl=https://www.webcitation.org/5gVUmZmxc?url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf|arquivodata=2009-05-04|urlmorta= não|acessodata=2009-05-01|doi=10.2307/2975545|número=3|jstor=2975545|df=}}</ref><ref>{{citation|primeiro =A.-L.|último =Cauchy|autorlink =Augustin Louis Cauchy|título=Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal|local=Paris|ano=1823|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|capítulo=Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée|capítulourl=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture|postscript=, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z.image.f47 p. 44].|arquivourl=https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|arquivodata=2009-05-04|urlmorta= sim|acessodata=2009-05-01|df=}}. Accessed 2009-05-01.</ref>  Faz rigorosa a seguinte definição informal: a expressão dependente ''f(x)'' aproxima-se do valor ''L'' à medida que a variável ''x'' se aproxima do valor ''c'' se ''f(x)'' pode ser considerada tão próxima quanto desejado de ''L'' tomando ''x'' suficientemente próximo de ''c''.

== História ==
Embora os [[Grécia Antiga|gregos]] examinassem o processo de limitação, como o método babilônico, eles provavelmente não tinham conceito semelhante ao limite moderno.<ref>{{citar livro|último1 =Stillwell|primeiro1 =John|título=Mathematics and its history|data=1989|publicado=Springer-Verlag|local=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|páginas=38–39}}</ref> A necessidade do conceito de limite entrou em vigor no [[século XVII]], quando [[Pierre de Fermat]] tentou encontrar a inclinação da linha [[Tangente (geometria)|tangente]] em um ponto <math>x</math> de uma função como <math>f(x)=x^{2}</math>. Usando uma quantidade diferente de zero, mas quase zero, <math>E</math>, Fermat realizou o seguinte cálculo:

: <math>
\begin{align}
\mathrm{declive} & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \\
& = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\\
& = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \\
& = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x.\\
\end{align}
</math>

A chave para o cálculo acima é já que <math>E</math>é diferente de zero pode-se dividir <math>f(x+E)-f(x)</math> por <math>E</math>, mas já que <math>E</math> está perto de 0, <math>2x+E</math> é essencialmente <math>2x</math>.<ref>{{citar livro|último1 =Stillwell|primeiro1 =John|título=Mathematics and its history|data=1989|publicado=Springer-Verlag|local=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|páginas=104}}</ref> Quantidades como <math>E</math>são chamados [[Infinitesimal|infinitesimais]]. O problema com este cálculo é que os matemáticos da época foram incapazes de definir rigorosamente uma quantidade com propriedades de <math> E</math><ref>{{citar livro|último1 =Stillwell|primeiro1 =John|título=Mathematics and its history|data=1989|publicado=Springer-Verlag|local=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|páginas=106}}</ref> embora fosse uma prática comum "negligenciar" os infinitesimais maiores e isso parecia produzir resultados corretos.

Esse problema reapareceu mais tarde, nos anos 1600, no centro do desenvolvimento do cálculo, porque cálculos como os de Fermat são importantes para o cálculo de derivativos. [[Isaac Newton]] primeiro desenvolveu o cálculo através de uma quantidade infinitesimal chamada ''fluxion''. Ele os desenvolveu em referência à ideia de um "momento infinitamente pequeno no tempo..."<ref name="ReferenceA">{{citar livro|último1 =Buckley|primeiro1 =Benjamin Lee|título=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|data=2012|isbn=9780983700487|página=31}}</ref> No entanto, Newton mais tarde rejeitou os ''fluxions'' em favor de uma teoria de proporções próxima da moderna definição de limite <math>\epsilon -\delta </math> .<ref name="ReferenceA" /> Além disso, Newton estava ciente de que o limite da proporção de quantidades em fuga não era em si uma proporção, como ele escreveu:

: Essas proporções finais ... não são, na verdade, proporções de grandezas finais, mas limites ... que podem se aproximar tanto que sua diferença é menor do que qualquer quantidade dada...

Além disso, Newton ocasionalmente explicou os limites em termos semelhantes à definição epsilon-delta.<ref>{{citation|título=Newton and the Notion of Limit|primeiro1 =B.|último1 =Pourciau|periódico=Historia Mathematica|volume=28|número=1|páginas=18–30|ano=2001|doi=10.1006/hmat.2000.2301}}</ref> [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] desenvolveu um infinitesimal próprio e tentou provê-lo com uma base rigorosa, mas ainda foi recebido com inquietação por alguns matemáticos e filósofos.<ref>{{citar livro|último1 =Buckley|primeiro1 =Benjamin Lee|título=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|data=2012|isbn=9780983700487|página=32}}</ref>

Eventualmente, Weierstrass e Bolzano são creditados com o fornecimento de uma base rigorosa para o cálculo sob a forma da definição de limite <math>\epsilon-\delta</math> moderna.<ref name="grabiner" /><ref>{{citation|primeiro =A.-L.|último =Cauchy|autorlink =Augustin Louis Cauchy|título=Résumé des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal|local=Paris|ano=1823|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|capítulo=Septième Leçon - Valeurs de quelques expressions qui se présentent sous les formes indéterminées <math>\frac{\infty}{\infty}, \infty^0, \ldots</math> Relation qui existe entre le rapport aux différences finies et la fonction dérivée|capítulourl=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z/f45n5.capture|postscript=, [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k90196z.image.f47 p. 44].|arquivourl=https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|arquivodata=2009-05-04|urlmorta= sim|acessodata=2009-05-01|df=}}.</ref> A necessidade de referência a um infinitesimal <math>E</math> foi então removida<ref>{{citar livro|último1 =Buckley|primeiro1 =Benjamin Lee|título=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|data=2012|isbn=9780983700487|página=33}}</ref> e o cálculo de Fermat se transformou no cálculo do seguinte limite:

: <math>
\begin{align}
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\\
\end{align}
</math>

Isso não quer dizer que a definição limitativa era livre de problemas, já que, embora removesse a necessidade de infinitesimais, era necessária a construção dos [[Número real|números reais]] por [[Richard Dedekind]].<ref>{{citar livro|último1 =Buckley|primeiro1 =Benjamin Lee|título=The continuity debate : Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond and Peirce on continuity and infinitesimals|data=2012|isbn=9780983700487|páginas=32–35}}</ref> Isso também não quer dizer que os infinitesimais não tenham lugar na [[Matemática Moderna|matemática moderna]], pois matemáticos posteriores foram capazes de criar rigorosamente quantidades infinitesimais como parte do [[número hiper-real]] ou dos sistemas [[Número surreal|numéricos surrealistas]]. Além disso, é possível desenvolver rigorosamente o cálculo com essas quantidades e eles têm outros usos matemáticos.<ref>{{citar livro|último1 =Tao|primeiro1 =Terence|título=Structure and randomness : pages from year one of a mathematical blog|data=2008|publicado=American Mathematical Society|local=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-4695-7|páginas=95–110}}</ref>

== Definição informal ==
Uma definição intuitiva ou provisória viável é que uma "função ''f'' aproxima-se do limite ''L'' próximo a (simbolicamente, <math> \lim_{x \to a}f(x) = L \, </math>) se pudermos considerar ''f(x)'' o mais próximo que quisermos de ''L'', exigindo que ''x'' seja suficientemente próximo, mas não igual a, ''a''.<ref>{{citar livro|último1 =Spivak|primeiro1 =Michael|título=Calculus|data=2008|publicado=Publish or Perish|local=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|página=90|edição=4th}}</ref>

Quando dizemos que duas coisas estão próximas (como ''f(x)'' e ''L'' ou ''x'' e ''a'') queremos dizer que a distância entre elas é pequena. Quando ''f(x)'', ''L'', ''x'' e ''a'' são números reais, a distância entre dois números é o [[Valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]] da [[Subtração|diferença]] dos dois. Assim, quando dizemos que ''f(x)'' está perto de ''L'' queremos dizer <math>|f(x)-L|</math> é pequeno. Quando dizemos que ''x'' e ''a'' estão próximos, queremos dizer que <math> |x-a|</math> é pequeno.<ref name="Calculus">{{citar livro|último1 =Spivak|primeiro1 =Michael|título=Calculus|data=2008|publicado=Publish or Perish|local=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|página=96|edição=4th}}</ref>

Quando dizemos que podemos deixar ''f(x)'' o mais próximo que quisermos de ''L'', queremos dizer que para todas as distâncias não nulas, <math>\epsilon</math>, podemos fazer a distância entre ''f(x)'' e ''L'' menor que <math>\epsilon</math>.<ref name="Calculus" />

Quando dizemos que podemos tornar ''f(x)'' o mais próximo possível de ''L'', exigindo que ''x'' seja suficientemente próximo, mas, diferente de ''a'', queremos dizer que para cada distância diferente de zero <math>\epsilon </math>, existe alguma distância <math>\delta </math> diferente de zero tal que se a distância entre ''x'' e ''a'' for menor que <math>\delta </math> então a distância entre ''f(x)'' e ''L'' é menor que <math>\epsilon </math>.<ref name="Calculus" />

O aspecto que deve ser compreendido é que a definição requer a seguinte conversa. É fornecido qualquer desafio <math> \epsilon > 0 </math> para um dado ''f'', ''a'' e ''L''. Deve-se responder com um <math> \delta > 0 </math> tal que <math> 0 < |x-a | < \delta </math> implica que <math> |f(x)-L| < \epsilon </math>. Se alguém puder fornecer uma resposta para qualquer desafio, terá provado que o limite existe.

== Definição precisa e definições relacionadas ==
=== Definição precisa para funções com valor real ===
A definição <math>(\varepsilon, \delta)</math> do [[limite de uma função]] é a seguinte:<ref name="Calculus" />

Seja <math>f</math> uma função de valor real definida em um [[subconjunto]] <math>D</math> dos [[Número real|números reais]]. Seja <math>c</math> um ponto limite de <math>D</math> e seja <math>L</math> um número real. Nós dizemos que

: <math> \lim_{x\to c}f(x) = L </math>

se para todo <math> \epsilon > 0 </math> existe um <math> \delta </math> tal que, para todo <math>x\in D</math>, se <math> 0 < |x-c| < \delta </math>, então <math> |f(x)-L| < \epsilon</math>.

Simbolicamente:

: <math> \lim_{x \to c} f(x) = L  \iff  (\forall \varepsilon > 0,\,\exists \ \delta > 0,\,\forall x \in D,\,0 < |x - c | < \delta \ \Rightarrow \ |f(x) - L| < \varepsilon)</math>

Se <math>D=[a,b]</math> ou <math>D=\mathbb{R}</math>, então a condição que <math> c</math> é um ponto limite que é automaticamente atingido porque os [[Intervalo (matemática)|intervalos]] reais fechados e toda a linha real são conjuntos perfeitos.

=== Definição precisa para funções entre espaços métricos ===
A definição pode ser generalizada para funções que mapeiam entre [[Espaço métrico|espaços métricos]]. Esses espaços vêm com uma função, chamada métrica, que recebe dois pontos no espaço e retorna um número real que representa a distância entre os dois pontos.<ref name="Rudin, Walter 1976 30">{{citar livro|autor =Rudin, Walter|título=Principles of Mathematical Analysis|publicado=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ano=1976|isbn=978-0070542358|página=30|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref> A definição generalizada é a seguinte:<ref>{{citar livro|autor =Rudin, Walter|título=Principles of Mathematical Analysis|publicado=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ano=1976|isbn=978-0070542358|página=83|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref>

Suponha que <math>f</math> esta definida em um subconjunto <math>D</math> de um espaço métrico <math>X</math> com uma métrica <math> d_{X}(x,y)</math> e mapeia em um espaço métrico <math>Y</math> com uma métrica <math> d_{Y}(x,y)</math>. Seja <math>c</math> um ponto limite de <math>D</math> e seja <math>L</math> um ponto de <math>Y</math>.

Nós dizemos que

: <math> \lim_{x\to c}f(x) = L </math>

se para todo <math> \epsilon > 0 </math> existe um <math> \delta </math> tal que, para todo <math>x\in D</math>, se <math> 0 < d_{X}(x,c) < \delta </math>, então <math> d_{Y}(f(x),L) < \epsilon</math>.

Já que <math>d(x,y) = |x-y|</math> é uma métrica sobre os números reais, pode-se mostrar que essa definição generaliza a primeira definição para funções reais.<ref>{{citar livro|autor =Rudin, Walter|título=Principles of Mathematical Analysis|publicado=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ano=1976|isbn=978-0070542358|página=84|url=https://books.google.com/books?id=kwqzPAAACAAJ}}</ref>

=== Negação da definição precisa ===
A negação da definição é a seguinte:<ref>{{citar livro|último1 =Spivak|primeiro1 =Michael|título=Calculus|data=2008|publicado=Publish or Perish|local=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|página=97|edição=4th}}</ref>

Suponha que <math>f</math> é definida em um subconjunto <math>D</math> de um espaço métrico <math>X</math> com uma métrica <math> d_{X}(x,y)</math> e mapeia em um espaço métrico <math>Y</math> com uma métrica <math> d_{Y}(x,y)</math>. Seja <math>c</math>  um ponto limite de <math>D</math> e seja <math>L</math> um ponto de <math>Y</math>.

Nós dizemos que

: <math> \lim_{x\to c}f(x) \neq L </math>

se existe um <math> \epsilon > 0 </math>tal que para todo <math> \delta > 0 </math> existe um <math>x\in D</math> tal que <math> 0 < d_{X}(x,c) < \delta </math> e  <math> d_{Y}(f(x),L) > \epsilon</math>.

Nós dizemos que <math> \lim_{x\to c}f(x) </math> não existe se para todo <math>L\in Y</math>, <math> \lim_{x\to c}f(x) \neq L </math>.

Para a negação de uma função de valor real definida nos números reais, basta definir <math>d_{Y}(x,y) = d_{X}(x,y)= |x-y|</math>.

=== Definição precisa para limites no infinito ===
A definição precisa para limites no infinito é a seguinte:<ref name="Rudin, Walter 1976 30" />

Suponha que <math>f</math> é definida em um subconjunto <math>D</math> de um espaço métrico <math>X</math> com uma métrica <math> d_{X}(x,y)</math> e mapeia em um espaço métrico <math>Y</math> com uma métrica <math> d_{Y}(x,y)</math>. Seja <math>L\in Y</math>.

Nós dizemos que

: <math> \lim_{x\to\infty}f(x) = L </math>

se para todo <math>\epsilon > 0</math>, existe um número real <math>N > 0 </math> tal que existe um <math>x\in D</math> onde <math>d_{X}(x,0) > N</math> e tal que se <math>d_{X}(x,0) > N</math> e <math>x\in D</math>, então <math>d_{Y}(f(x),L) < \epsilon</math>.

== Exemplos trabalhados ==
=== Exemplo 1 ===
Nós vamos mostrar que

: <math>\lim_{x\to 0} x\sen{\left(\frac{1}{x}\right)} = 0
</math>.

Nós deixamos que <math>\epsilon > 0</math> seja dado. Precisamos encontrar um <math>\delta >0 </math> tal que <math>|x-0| < \delta </math> implica <math>\left|x\sen{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| < \epsilon </math>.

Como o [[seno]] é limitado acima por 1 e abaixo por -1,

<math>
\begin{align}
\left|x\sen{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| &= \left|x\sen{\left(\frac{1}{x}\right)}\right|\\
                           &= |x|\left|\sen{\left(\frac{1}{x}\right)}\right| \\
                           &\leq |x|.
\end{align}
</math>

Assim, se tomarmos <math>\delta = \epsilon</math>, então <math>|x| =|x-0| < \delta</math> implica <math>\left|x\sen{\left(\frac{1}{x}\right)} - 0\right| \leq |x| < \epsilon </math>, que completa a prova.

=== Exemplo 2 ===
Vamos provar a afirmação de que

: <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math>

para qualquer número real <math>a</math>.

Seja <math>\epsilon>0</math> dado. Precisamos encontrar um <math>\delta > 0 </math> tal que <math>|x-a|<\delta</math> implica <math>|x^2-a^2|<\epsilon </math>.

Começamos por [[Fatoração|fatorar]]:

: <math> |x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)|=|x-a||x+a|.</math>

Nós reconhecemos que <math>|x-a|</math> é o termo limitado por <math>\delta</math> então podemos pressupor um limite de 1 e depois escolher algo menor que aquele para <math>\delta</math>.<ref>{{citar livro|último1 =Spivak|primeiro1 =Michael|título=Calculus|data=2008|publicado=Publish or Perish|local=Houston, Tex.|isbn=978-0914098911|página=95|edição=4th}}</ref>

Então nós supomos <math> |x-a| < 1 </math>. Já que <math> |x| - |y| \leq |x-y| </math> vale no geral para números reais <math>x</math> e <math>y</math>, nós temos

: <math> |x| - |a| \leq |x-a| < 1.</math>

Portanto,

: <math> |x| < 1 + |a|.</math>

Assim, através da [[desigualdade triangular]],

: <math> |x+a| \leq |x| + |a| < 2|a| + 1.</math>

Assim, se supormos ainda que

: <math> |x-a| < \frac{\epsilon}{2|a| +1}</math>

então

: <math>|x^2-a^2| <\epsilon </math>.

Em resumo, definimos

: <math> \delta = \min{\left(1,\frac{\epsilon}{2|a| +1}\right)}</math>.

Então, se <math> |x-a|<\delta</math>, então

: <math>
\begin{align}
|x^2-a^2| &= |x-a||x+a| \\
          &<  \frac{\epsilon}{2|a| +1}(|x+a|)\\
           &< \frac{\epsilon}{2|a| +1}(2|a|+1)\\
          &=\epsilon\\
\end{align}
</math>

Assim, encontramos um <math>\delta</math> tal que <math> |x-a| < \delta</math> implica <math>|x^2-a^2|  <\epsilon </math>. Assim, mostramos que

: <math> \lim_{x\to a} x^2 = a^2</math>

para qualquer número real <math>a</math>.

=== Exemplo 3 ===
Vamos provar a afirmação de que

: <math>\lim_{x \to 5} (3x - 3) = 12.</math>

Isto é facilmente mostrado através de entendimentos gráficos do limite e, como tal, serve como uma base forte para a introdução à prova. De acordo com a definição formal acima, uma definição de limite está correta [[Se e somente se|se, e somente se]], <math>x</math> até <math>\delta</math> unidades de <math>c</math> vão inevitavelmente confinar <math>f(x)</math> até <math>\varepsilon</math> unidades de <math>L</math>. Neste caso específico, isto significa que a afirmação é verdadeira se e somente se confinando <math>x</math> até <math>\delta</math> unidades de 5 vão inevitavelmente confinar

: <math>3x - 3</math>

até <math>\varepsilon</math> unidades de 12. A chave geral para mostrar essa implicação é demonstrar como <math>\delta</math> e <math>\varepsilon</math> devem estar relacionados uns com os outros de tal forma que a implicação se mantenha. Matematicamente, queremos mostrar que

: <math> 0 < | x - 5 | < \delta \ \Rightarrow \ | (3x - 3) - 12 | < \varepsilon . </math>

Simplificando, fatorando e dividindo por 3 no lado direito da implicação

: <math> | x - 5 | < \varepsilon / 3 ,</math>

que imediatamente dá o resultado desejado se escolhermos

: <math> \delta = \varepsilon / 3 .</math>

Deste modo a prova está completa. A chave para a prova está na capacidade de escolher limites em <math>x</math>, e, em seguida, concluir os limites correspondentes em <math>f(x)</math>, que neste caso foram relacionados por um fator de 3, que é inteiramente devido à [[Declive|inclinação]] de 3 na linha

: <math> y = 3x - 3 .</math>

== Continuidade ==
{{Artigo principal|Função contínua}}
Uma função ''f'' é dita como sendo contínua em ''c'' se ela é definida em ''c'' e seu valor em ''c'' é igual ao limite de ''f'' quando ''x'' se aproxima de ''c'':

: <math>\lim_{x\to c} f(x) = f(c).</math>

A definição <math>(\varepsilon, \delta)</math> para uma [[função contínua]] pode ser obtida a partir da definição de um limite, substituindo <math>0<|x-c|<\delta</math> com  <math>|x-c|<\delta</math> para garantir que ''f'' seja definida em ''c'' e seja igual ao limite.

''f'' é dita ser contínua em um intervalo ''I'' se for contínua em todo ponto ''c'' de ''I''.

== Comparação com a definição infinitesimal ==
[[Howard Jerome Keisler|Keisler]] provou que uma definição hiper-real de limite reduz a complexidade do quantificador por dois quantificadores.<ref>{{citation|último1 =Keisler|primeiro1 =H. Jerome|capítulo=Quantifiers in limits|título=Andrzej Mostowski and foundational studies|páginas=151–170|publicado=IOS, Amsterdam|ano=2008|contribution-url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/limquant7.pdf}}</ref> Nomeadamente, <math>f(x)</math> converge para um limite ''L'' enquanto <math>x</math> tende a <math>a</math> se e somente se para cada infinitesimal <math>e</math>, o valor <math>f(x+e)</math> é infinitamente próximo a ''L''. Livros de cálculo infinitesimais baseados na abordagem de [[Abraham Robinson|Robinson]] fornecem definições de continuidade, [[derivada]] e [[integral]] em pontos-padrão em termos de infinitesimais. Uma vez que noções como continuidade tenham sido exaustivamente explicadas através da abordagem usando a micro continuidade, a abordagem épsilon-delta é apresentada também. [[Karel Hrbáček]] argumenta que as definições de continuidade, derivada e integração na análise não-padrão do estilo Robinson devem ser fundamentadas no método ε – δ para também cobrir valores não-padrão de entrada.<ref>{{citation|último1 =Hrbacek|primeiro1 =K.|editor-sobrenome =Van Den Berg|editor-nome =I.|editor-sobrenome2 =Neves|editor-nome2 =V.|capítulo=Stratified Analysis?|título=The Strength of Nonstandard Analysis|publicado=Springer|ano=2007}}</ref> Błaszczyk et al. argumenta que a micro continuidade é útil no desenvolvimento de uma definição transparente de [[continuidade uniforme]], e caracterizam a crítica de Hrbáček como um "lamento duvidoso".<ref>{{citation|último1 =Błaszczyk|primeiro1 =Piotr|autorlink1 =|último2 =Katz|primeiro2 =Mikhail|autorlink2 =Mikhail Katz|último3 =Sherry|primeiro3 =David|autorlink3 =|arxiv=1202.4153|doi=10.1007/s10699-012-9285-8|número=|periódico=[[Foundations of Science]]|páginas=43–74|título=Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking|volume=18|ano=2012}}</ref>  Hrbáček propõe uma alternativa de análise não-padrão, que (ao contrário de Robinson) tem muitos "níveis" de infinitesimais, de modo que os limites em um nível podem ser definidos em termos de infinitesimais no próximo nível.<ref>{{citar periódico|último1 =Hrbacek|primeiro1 =K.|título=Relative set theory: Internal view|periódico=Journal of Logic and Analysis|ano=2009|volume=1|url=http://logicandanalysis.org/index.php/jla/article/view/25/17}}</ref>

== Ver também ==
* [[Limite]]
* [[Limite de uma sequência]]
* [[Limite de uma função]]

{{Referências}}

== Leitura adicional ==
* {{citar livro|último =Grabiner|primeiro =Judith V.|título=The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus|publicado=Courier Corporation|ano=1982|isbn=978-0-486-14374-3|url=https://books.google.com/books?id=XuFcx-laQmIC}}
* {{citar livro|título=Conflicts Between Generalization, Rigor, and Intuition: Number Concepts Underlying the Development of Analysis in 17th–19th Century France and Germany|primeiro =Gert|último =Schubring|edição=illustrated|publicado=Springer|ano=2005|isbn=978-0-387-22836-5|página=|url=https://books.google.com/books?id=rMWe3okqPOcC}}

{{Portal3|Matemática}}

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[[Categoria:Cálculo]]
[[Categoria:Análise matemática]]