Mostrar código-fonte de Derivada fracionária de Grünwald-Letnikov

'''Derivada fracionária de Grünwald-Letnikov''' é uma das definições para [[derivada fracionária]].  Além de ser uma extensão da derivada do [[cálculo]] usual, pode ser escrita como uma série infinita destacando-se por ser uma ferramenta eficiente na resolução de problemas numéricos <ref>R. F. Camargo and E. C. de Oliveira, Cálculo Fracionário, Editora Livraria da Física, São Paulo, Brasil, 2015.</ref> <ref>Kai Diethelm, The Analysus of Fractional Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Alemanhã, 2010.</ref>. Foi introduzida por Anton Karl Grünwald, em 1867, e por  Aleksey Vasilievich Letnikov, em 1868. Algumas outras definições para derivada fracionária: [[Derivada Fracionária de Riemann-Liouville]], [[derivada de Caputo]], Riez e outras. <ref>RODRIGUES, Fabio G.  and  OLIVEIRA, E.C. de. Introdução às técnicas do cálculo fracionário para estudar modelos da física matemática. Rev. Bras. Ensino Fís. [online]. 2015, vol.37, n.3, pp.3305-1-3305-12. ISSN 1806-1117.  http://dx.doi.org/10.1590/S1806-11173731842</ref>

== Formulação para derivada do Cálculo Clássico ==
Seja <math> f </math> uma função definida em um intervalo que contém o ponto <math> t_0 </math> e que seja suficientemente bom e <math> n </math> a ordem inteira da derivada , podemos escrever

::<math> D^1 f(t_0) \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(t_0) - f(t_0 -h)}{h} </math>

::<math> D^2 f(t_0)  \;=\; D^1[D^1 f(t_0)] \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(t_0) - 2f(t_0 -h) +f(t_0 -2h)}{h^2} </math>

::<math> D^3 f(t_0)  \;=\; D^1[D^2 f(t_0)] \;=\; \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(t_0) - 3f(t_0 -h) +3f(t_0 -2h)-f(t_0 -3h)}{h^3} </math>

:: <math> . </math>

:: <math> . </math>

:: <math> . </math>

::<math> D^n f(t_0)  \;=\ \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{1}{h^n} \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} f(t_0 -kh) </math>

== Definição da Derivada de Grünwald-Letnikov ==
A partir da formulação anterior a derivada segundo Grünwal-Letnikov é definida substituindo a ordem inteira  <math> n  </math> por uma ordem arbitrária <math> \alpha </math> e o somatória por uma série infinita.

::<math> D^{\alpha} f(t_0)  \;=\ \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{1}{h^{\alpha}} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \binom{\alpha}{k} f(t_0 -kh) </math>

em que <math> \binom{\alpha}{k} \;=\ \dfrac{\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (k+1)\Gamma(\alpha - k +1)}.</math>

===Exemplo===

Cálculo da derivada de ordem <math> \dfrac{1}{2} </math> de <math> f(t)</math>, em <math>t_0</math>:

::<math> D^{\frac{1}{2}} f(t_0)  \;=\ \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{1}{h^{\frac{1}{2}}} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \binom{\frac{1}{2}}{k} f(t_0 -kh) </math>

::<math> D^{\frac{1}{2}} f(t_0)  \;=\ \lim_{h \rightarrow 0}\dfrac{1}{h^{\frac{1}{2}}} \left[ f(t_0)
 - \dfrac{1}{2}f(t_0 - h) - \dfrac{1}{2^3}f(t_0 - 2h)- \dfrac{1}{2^4}f(t_0 - 3h) -... \right].</math>

Facilmente pode ser verificado que aparece o termo <math> \dfrac{1}{2^n} </math> e quando <math> n \rightarrow \infty </math> ,  <math> \dfrac{1}{2^n} \rightarrow 0</math>. Para problemas numéricos o truncamento pode ser feito rapidamente.


{{referências}}

[[Categoria:Cálculo]]