Mostrar código-fonte de Difração de Fresnel

Em [[ótica]], a '''difração de Fresnel''', ou também '''difração do campo próximo''', é um padrão de [[difração]] de uma [[onda eletromagnética]] obtido muito próximo do objeto causador da difração (frequentemente uma fonte ou [[abertura]]). É uma aproximação da [[fórmula de difração de Kirchhoff|difração de Kirchhoff-Fresnel]] que pode ser aplicada à propagação de ondas no [[campo próximo e campo distante|campo próximo]].<ref>{{cite book| first1 = Max| last1 = Born| first2 = Emil| last2 = Wolf| author-link1 = Max Born| author-link2 = Emil Wolf| title = Principles of Optics| edition = 7th| date = 1999| isbn = 0-521-642221| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge}}</ref> A difração de Fresnel é utilizada para calcular o [[Difração|padrão de difração]] criado por ondas que passam por uma abertura ou em torno de um objeto, quando observado relativamente perto do objeto. Em contraste, o padrão de difração na região de [[campo próximo e campo distante|campo distante]] é dado pela equação de [[difração de Fraunhofer]].

O campo próximo pode ser especificado pelo [[número de Fresnel]], {{math|''F''}}, do arranjo óptico. Quando <math>F \ll 1</math>, a onda difratada é considerada no campo de Fraunhofer. No entanto, a validade do integral de difração de Fresnel é deduzida pelas aproximações derivadas abaixo. Especificamente, os termos de fase de terceira ordem e superiores devem ser desprezíveis, uma condição que pode ser escrita como

<math display=block> \frac{F\theta^2}{4} \ll 1,</math>

onde <math>\theta</math> é o ângulo máximo descrito por <math>\theta \approx a/L,</math> {{math|''a''}} e {{math|''L''}} os mesmos da definição do [[número de Fresnel]]. Portanto, esta condição pode ser aproximada como <math display=inline> \frac{a^4}{4 L^3 \lambda} \ll 1</math>

[[Image:FresnelDiff9 3 PEM.jpg|250px|thumb|Difração de Fresnel mostrando a mancha central de [[Arago]]]]

A difração de Fresnel múltipla em cristas periódicas espaçadas de forma próxima ([[Espelho de Fresnel|espelho com cristas]]) causa a [[reflexão especular]]; este efeito pode ser utilizado para [[espelho atômico|espelhos atômicos]].<ref>H. Oberst, D. Kouznetsov, K. Shimizu, J. Fujita, F. Shimizu. [http://www.ils.uec.ac.jp/~dima/PhysRevLett_94_013203.pdf Fresnel diffraction mirror for atomic wave], [[Physical Review Letters]], '''94''', 013203 (2005).</ref>

==Tratamentos iniciais deste fenômeno==
Alguns dos primeiros trabalhos sobre o que se tornaria conhecido como difração de Fresnel foram realizados por [[Francesco Maria Grimaldi]] na Itália, no século XVII. Em sua monografia intitulada "Light",<ref>[https://archive.org/details/lightrichard00maclrich ''Light''], by Richard C. MacLaurin, 1909, Columbia University Press.</ref> [[Richard C. MacLaurin]] explica a difração de Fresnel perguntando o que acontece quando a luz se propaga e como esse processo é afetado quando uma barreira com uma fenda ou orifício é interposta no feixe produzido por uma fonte de luz distante. Ele usa o Princípio de [[Princípio de Huygens|Huygens]] para investigar, em termos clássicos, o que ocorre. A frente de onda que procede da fenda e chega a uma tela de detecção a certa distância aproxima-se muito de uma frente de onda originada na área da fenda, sem considerar quaisquer interações minuciosas com a borda física real.

O resultado é que, se a fenda for muito estreita, apenas padrões de difração com centros brilhantes podem ocorrer. Se a fenda for progressivamente alargada, então padrões de difração com centros escuros alternarão com padrões de difração com centros brilhantes. À medida que a fenda se torna maior, as diferenças entre bandas escuras e claras diminuem até que um efeito de difração não possa mais ser detectado.

MacLaurin não menciona a possibilidade de que o centro da série de anéis de difração produzidos quando a luz passa por um pequeno orifício possa ser preto, mas ele aponta para a situação inversa em que a sombra produzida por um pequeno objeto circular [[mancha de Arago|pode paradoxalmente ter um centro brilhante]]. (p.&nbsp;219)

Em sua obra ''Optics'',<ref>''Optics'', Francis Weston Sears, p. 248ff, Addison-Wesley, 1948.</ref> Francis Weston Sears oferece uma aproximação matemática sugerida por Fresnel que prevê as principais características dos padrões de difração e utiliza apenas matemática simples. Considerando a distância perpendicular do orifício em uma tela de barreira até uma tela de detecção próxima, juntamente com o comprimento de onda da luz incidente, é possível calcular uma série de regiões chamadas elementos de meio período ou [[zona de Fresnel]]. A zona interna é um círculo e cada zona sucessiva será um anel anular concêntrico. Se o diâmetro do orifício circular na tela for suficiente para expor a primeira ou a central zona de Fresnel, a amplitude da luz no centro da tela de detecção será o dobro do que seria se a tela de detecção não fosse obstruída. Se o diâmetro do orifício circular na tela for suficiente para expor duas zonas de Fresnel, então a amplitude no centro é quase zero. Isso significa que um padrão de difração de Fresnel pode ter um centro escuro. Esses padrões podem ser vistos e medidos, e correspondem bem aos valores calculados para eles.

==A integral de difração de Fresnel==
[[Image:Diffraction geometry.svg|thumb|350px|Geometria da difração, mostrando o plano da abertura (ou objeto de difração) e o plano da imagem, com sistema de coordenadas]]

De acordo com a teoria de difração de Rayleigh–Sommerfeld, o padrão de campo elétrico difratado em um ponto (''x'', ''y'', ''z'') é dado pela seguinte solução da [[equação de Helmholtz]]:

<math display=block> E(x, y, z) = \frac{1}{i \lambda} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) \frac{e^{ikr}}{r} \frac{z}{r} \left(1+\frac{i}{kr}\right) \,dx'dy', </math>

onde

* <math>E(x', y', 0)</math> é o campo elétrico na abertura,
* <math>r = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + z^2},</math>
* <math>k</math> é o [[número de onda]] <math>2\pi/\lambda,</math>
* <math>i</math> é a [[unidade imaginária]].

A solução analítica desta integral rapidamente se torna impraticavelmente complexa, exceto para as geometrias de difração mais simples. Portanto, geralmente é calculada numericamente.

=== A aproximação de Fresnel ===
[[File:Comparison Sommerfeld-Fresnel-Fraunhofer.gif|500px|thumb|right|Comparação entre os padrões de difração obtidos com a equação de Rayleigh–Sommerfeld, a aproximação de Fresnel (paraxial) e a aproximação de Fraunhofer (campo distante) ]]

O principal problema para resolver a integral é a expressão de ''r''. Primeiramente, podemos simplificar a álgebra introduzindo a substituição
<math display=block>\rho^2 = (x - x')^2 + (y - y')^2.</math>

Substituindo na expressão para ''r'', encontramos
<math display=block>r = \sqrt{\rho^2 + z^2} = z \sqrt{1 + \frac{\rho^2}{z^2}}.</math>

Em seguida, pela expansão binomial,
<math display=block>\sqrt{1 + u} = (1 + u)^\frac{1}{2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots</math>

Podemos expressar <math>r</math> como
<math display=block>\begin{align}
  r &= z \sqrt{1 + \frac{\rho^2}{z^2}} \\
    &= z \left[1 + \frac{\rho^2}{2 z^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{\rho^2}{z^2} \right)^2 + \cdots \right] \\
    &= z + \frac{\rho^2}{2 z} - \frac{\rho^4}{8z^3} + \cdots
\end{align}</math>

Se considerarmos todos os termos da série binomial, então não há aproximação.{{nota de rodapé|Na verdade, houve uma aproximação em um passo anterior, ao assumir <math>e^{i k r}/r</math> como uma onda real. De fato, esta não é uma solução real para a equação vetorial de [[Helmholtz]], mas para a equação escalar.}} Vamos substituir esta expressão no argumento do exponencial dentro da integral; o ponto-chave da aproximação de Fresnel é assumir que o terceiro termo é muito pequeno e pode ser ignorado, assim como quaisquer termos de ordem superior. Para que isto seja possível, ele deve contribuir para a variação do exponencial de forma quase nula. Em outras palavras, ele deve ser muito menor do que o período do exponencial complexo, ou seja, <math>2 \pi</math>:
<math display=block>k \frac{\rho^4}{8 z^3} \ll 2 \pi.</math>

Expressando ''k'' em termos do comprimento de onda,
<math display=block>k = \frac{2 \pi}{\lambda},</math>

obtemos a seguinte relação:
<math display=block>\frac{\rho^4}{z^3 \lambda} \ll 8.</math>

Multiplicando ambos os lados por <math>z^3/\lambda^3,</math> temos
<math display=block>\frac{\rho^4}{\lambda^4} \ll 8 \frac{z^3}{\lambda^3},</math>

ou, substituindo a expressão anterior para <math>\rho^2,</math>
<math display=block>\frac{1}{\lambda^4} \left[(x - x')^2 + (y - y')^2\right]^2 \ll 8 \frac{z^3}{\lambda^3}.</math>

Se esta condição for verdadeira para todos os valores de {{mvar|x}}, {{mvar|x'}}, {{mvar|y}} e {{mvar|y'}}, então podemos ignorar o terceiro termo na expressão de Taylor. Além disso, se o terceiro termo for negligenciável, então todos os termos de ordem superior serão ainda menores, podendo também ser ignorados.

Para aplicações envolvendo comprimentos de onda ópticos, o comprimento de onda {{mvar|λ}} é tipicamente muitas ordens de magnitude menor do que as dimensões físicas relevantes. Em particular,
<math display=block>\lambda \ll z,</math>

e
<math display=block>\lambda \ll \rho.</math>

Assim, como uma questão prática, a desigualdade necessária sempre será verdadeira, contanto que
<math display=block>\rho \ll z.</math>

Podemos então aproximar a expressão apenas com os dois primeiros termos:
<math display=block> r \approx z + \frac{\rho^2}{2 z} = z + \frac{(x - x')^2 + (y - y')^2}{2 z}.</math>

Esta equação é a '''aproximação de Fresnel''', e a desigualdade mencionada acima é uma condição para a validade da aproximação.

===Fresnel diffraction===
A condição para a validade é relativamente fraca e permite que todos os parâmetros de comprimento tenham valores comparáveis, desde que a abertura seja pequena em relação ao comprimento do percurso. Para {{mvar|r}} no denominador, damos um passo adiante e o aproximamos apenas com o primeiro termo, <math>r \approx z.</math> Isso é válido, em particular, se estivermos interessados no comportamento do campo apenas em uma pequena área próxima à origem, onde os valores de {{mvar|x}} e {{mvar|y}} são muito menores do que {{mvar|z}}. Em geral, a difração de Fresnel é válida se o [[Número de Fresnel]] for aproximadamente&nbsp;1.

Para a difração de Fresnel, o campo elétrico no ponto <math>(x, y, z)</math> é dado por
<math display=block> E(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} \iint_{-\infty}^{+\infty} E(x', y', 0) e^{\frac{ik}{2z} \left[(x - x')^2 + (y - y')^2\right]} \,dx'dy'.</math>

[[File:Circular Aperture Fresnel Diffraction high res.jpg|thumb|right|300px|A difração de Fresnel de uma abertura circular, representada com [[Funções de Lommel]]]]

Esta é a integral da difração de Fresnel; significa que, se a aproximação de Fresnel for válida, o campo propagante é uma onda esférica, originando-se na abertura e se movendo ao longo de {{mvar|z}}. A integral modula a amplitude e a fase da onda esférica. A solução analítica dessa expressão ainda é possível apenas em casos raros. Para um caso simplificado adicional, válido apenas para distâncias muito maiores da fonte de difração, veja [[Difração de Fraunhofer]]. Ao contrário da difração de Fraunhofer, a difração de Fresnel leva em conta a curvatura da [[frente de onda]], a fim de calcular corretamente a [[Fase (física)|fase]] relativa das ondas interferentes.

==Formas alternativas==

===Convolução===
A integral pode ser expressa de outras maneiras para calculá-la usando algumas propriedades matemáticas. Se definirmos a função
<math display=block>h(x, y, z) = \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{i \frac{k}{2z} (x^2 + y^2)},</math>

então a integral pode ser expressa em termos de uma [[convolução]]:
<math display=block>E(x, y, z) = E(x, y, 0) * h(x, y, z);</math>

em outras palavras, estamos representando a propagação usando um modelo de filtro linear. É por isso que podemos chamar a função <math>h(x, y, z)</math> de [[Resposta ao impulso|resposta impulsiva]] da propagação em espaço livre.

===Transformada de Fourier===
Outra maneira possível é através da [[transformada de Fourier]]. Se na integral expressarmos {{mvar|k}} em termos do comprimento de onda:
<math display=block>k = \frac{2\pi}{\lambda}</math>

e expandirmos cada componente do deslocamento transversal:
<math display=block>\begin{align}
  \left(x - x'\right)^2 &= x^2 + x'^2 - 2 x x', \\
  \left(y - y'\right)^2 &= y^2 + y'^2 - 2 y y',
\end{align}</math>

então podemos expressar a integral em termos da transformada de Fourier bidimensional. Vamos usar a seguinte definição:
<math display=block>G(p, q) = \mathcal{F} \{g(x,y)\} \equiv \iint_{-\infty}^{\infty} g(x, y) e^{-i 2 \pi (p x + q y)} \,dx\,dy, </math>

onde {{mvar|p}} e {{mvar|q}} são frequências espaciais ([[número de onda]]). A integral de Fresnel pode ser expressa como
<math display=block>\begin{align}
  E(x,y,z) &= \left.
                \frac{e^{ikz}}{i \lambda z} e^{i \frac{\pi}{\lambda z} (x^2 + y^2)}
                \mathcal{F}\left\{ E(x', y', 0) e^{i \frac{\pi}{\lambda z} (x'^2 + y'^2)} \right\}
              \right|_{p = \frac{x}{\lambda z},\ q = \frac{y}{\lambda z}} \\
           &= h(x, y) \cdot G(p, q) \big|_{p = \frac{x}{\lambda z},\ q = \frac{y}{\lambda z}}.
\end{align}</math>

Ou seja, primeiro multiplica-se o campo a ser propagado por um exponencial complexo, calcula-se sua transformada de Fourier bidimensional, substitui-se <math>(p, q)</math> por <math>\left( \tfrac{x}{\lambda z}, \tfrac{y}{\lambda z} \right)</math> e multiplica-se por outro fator. Esta expressão é melhor que as outras quando o processo leva a uma transformada de Fourier conhecida, e a conexão com a transformada de Fourier é estreitada na [[transformação canônica linear]], discutida abaixo.

===Transformação canônica linear===
{{main|Transformação canônica linear}}
Do ponto de vista da [[transformação canônica linear]], a difração de Fresnel pode ser vista como um [[Transformação de cisalhamento|cisalhamento]] no [[domínio tempo-frequência]], correspondendo à maneira como a transformada de Fourier é uma rotação no domínio tempo-frequência.

==Ver também==
* [[Integral de Fresnel]]
* [[Zona de Fresnel]]
* [[Número de Fresnel]]
* [[Augustin-Jean Fresnel]]
* [[Espelho de Fresnel]]
* [[Espiral de Cornu|Espiral de Euler]]

{{Notas e referências}}
{{refbegin}}
* {{cite book |author=Goodman, Joseph W. |title=Introduction to Fourier optics |publisher=[[McGraw-Hill]] |location=New York |date=1996 |isbn=0-07-024254-2 }}
{{refend}}

{{DEFAULTSORT:Difração de Fresnel}}
[[Categoria:Óptica]]
[[Categoria:Ondulatória]]
[[Categoria:Ciência]]
[[Categoria:Teoria da informação]]