Mostrar código-fonte de Distribuição logística

{{Ver desambig|este= o conceito matemático|o conceito da logística|Distribuição (logística)}}
{{Multitag|mnot|wkf|rev|intro|data=outubro de 2021}}
{{TOC-direita}}
A '''distribuição logística''' deriva do trabalho de [[Pierre François Verhulst]], professor de análise na Faculdade Militar Belga, que utilizou esta distribuição para modelar o crescimento da população na [[Bélgica]] no início de [[1800]] <ref>{{citar web|url=http://www.pucrs.br/ciencias/viali/especializa/mia_ima_fafis/material/ead/eslaides/Simula_04.pdf|titulo=Modelos Probabilísticos Contínuos|ultimo=Viali|primeiro=Lorí|datali=2021}}</ref>. A teoria da probabilidade e a estatística são dois ramos da [[matemática]] onde a distribuição logística é classificada como sendo uma [[distribuição de probabilidade]] contínua. Um aspeto peculiar é que a [[:en:Tukey_lambda_distribution|distribuição de ''Tukey Lambda'']] representa uma generalização da distribuição logística, uma vez que o parâmetro <math>\lambda</math> desta distribuição, quando igualado a zero, corresponde à distribuição logística.

==Notação==
Seja <math>X</math> uma [[variável aleatória]] contínua. Se <math>X</math> segue uma distribuição logística com parâmetros <math>\mu</math> e <math>s</math>, denota-se por <math>X \sim L(\mu,s)</math>, onde <math>\mu</math> representa o [[:en:Location_parameter|parâmetro de localização]] e <math>s</math> o [[:en:Scale_parameter|parâmetro de escala]] <ref name=":2">{{Citar web|url=https://rpubs.com/riazakhan94/logstcdistbasics|titulo=RPubs - Logistics Distribution Basics|data=|acessodata=|obra=rpubs.com|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>.

Quando <math>\mu=0</math> e <math>s = 1</math>, a distribuição logística é designada por distribuição logística padrão ou ''standard'', <math>X \sim L(0,1)</math>.

==Função densidade de probabilidade==
[[Imagem:Logisticpdfunction.svg|thumb|Figura 1 — Gráfico da função densidade de probabilidade]]

A [[Função densidade|função densidade de probabilidade]], abreviada por f.d.p.. Para a variável aleatória <math>X</math>, é dada por:

<math>f(x;\mu,s)=\dfrac{e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}}{s\left[1+e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}\right]^2}</math>, onde <math>x,\mu\in R</math> e <math>s>0</math> <ref name=":2" />.

Os parâmetros de localização e de escala influenciam a representação gráfica da f.d.p. da distribuição logística. Na Figura 1, é possível observar que, para diferentes valores do parâmetro de localização, a função desloca-se ao longo do eixo das [[Abcissa|abcissas]]. O parâmetro de escala influencia a função em termos da sua altura. Consoante os diferentes valores de <math>s</math>, a função pode se tornar mais alta e achatada ou mais baixa e larga. Em geral, a f.d.p. é unimodal e possui apenas um único máximo global (na Figura 1, representa o "pico" da função).

A função [[secante hiperbólica]], designada por <math>sech</math>, é dada por <math>sech(x)=\dfrac{2}{e^{x}+e^{-x}}</math>. A f.d.p. pode ser escrita em termos do [[Potenciação|quadrado]] desta função. Assim, é possível reescrever a f.d.p. usando <math>sech^2</math>, de tal forma que se obtém a seguinte expressão:

<math>f(x;\mu,s)=\dfrac{1}{s\left[e^{\dfrac{x-\mu}{2s}}+e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{2s}\right)}\right]^2}
=\dfrac{1}{4s}sech^2\left(\dfrac{x-\mu}{2s}\right)</math>, onde <math>x,\mu\in R</math> e <math>s>0</math>.

==Função distribuição==
[[Imagem:Logistic cdf.svg|thumb|Figura 2 — Gráfico da função distribuição]]

A [[Função distribuição acumulada|função distribuição]] para a variável aleatória <math>X</math> é dada por:<math>F(x;\mu,s)=\dfrac{1}{1+e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}}</math>, onde <math>x,\mu\in R</math> e <math>s>0</math> <ref name=":2" />.

A [[função logística]] é definida por <math>f(x)=\dfrac{1}{1+e^{-x}}</math>. Verifica-se pela expressão da função distribuição que esta se assemelha à função logística. Deste modo, o gráfico da Figura 2 é muito semelhante ao gráfico da função logística. Pela Figura 2, observa-se que, para diferentes valores de <math>\mu</math> e <math>s</math>, a curva exibe um crescimento exponencial mais ou menos acentuado.

A função [[tangente hiperbólica]], designada por <math>tanh</math>, é dada por <math>tanh(x)=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}</math>. A função distribuição pode ser escrita usando a função <math>tanh</math>. Assim, a expressão anterior da função distribuição é reescrita obtendo-se

<math>F(x;\mu,s)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}tanh\left(\dfrac{x-\mu}{2s}\right)</math>, onde <math>x,\mu\in R</math> e <math>s>0</math>.

==Função quantil==
A inversa da função distribuição é designada por função quantil, sendo representada por:

<math>Q(p;\mu,s)=\mu+slog\left(\dfrac{p}{1-p}\right)</math>, onde <math>x,\mu\in R</math>, <math>s>0</math> e <math>0<p<1</math>.

Note-se que a função quantil é uma generalização da função ''[[:en:Logit|logit]]''. Assim, a função quantil pode ser reescrita obtendo-se

<math>Q(p;\mu,s)=\mu+slogit(p)</math>, onde <math>0<p<1</math>.

Além disso, a derivada da função quantil é dada por

<math>Q'(p;\mu,s)=\dfrac{s}{p(1-p)}</math>, onde <math>x,\mu\in R</math>, <math>s>0</math> e <math>0<p<1</math>.

==Parametrização alternativa==
Uma parametrização alternativa pode ser feita se considerar que o parâmetro <math>s</math> possa ser substituído por <math>q\sigma</math>, onde <math>q=\dfrac{\sqrt{3}}{\pi}</math>; e <math>\sigma</math> passa a ser o novo parâmetro a ter em conta.

Assim, a f.d.p. e a função distribuição para a variável aleatória <math>X</math> podem ser reescritas, respetivamente, tendo em conta as seguintes expressões:

<math>f(x;\mu,s)=\dfrac{\pi}{\sigma\sqrt{3}}\dfrac{e^{-\left(\dfrac{\pi(x-\mu)}{\sigma\sqrt{3}}\right)}}{\left[1+e^{-\left(\dfrac{\pi(x-\mu)}{\sigma\sqrt{3}}\right)}\right]^2}</math>   e   <math>F(x;\mu,s)=\dfrac{1}{1+e^{-\left(\dfrac{\pi(x-\mu)}{\sigma\sqrt{3}}\right)}}</math>, onde para ambas <math>x,\mu\in R</math> e <math>\sigma>0</math>.

==Propriedades==
As propriedades mais importantes de uma distribuição dizem respeito ao [[valor esperado]] (também designado por esperança ou média), [[variância]], [[Moda (estatística)|moda]], [[Mediana (estatística)|mediana]] e [[Momento (estatística)|função geradora de momentos]]. Assim, considerando a variável aleatória <math>X</math>, as propriedades desta são dadas pelas seguintes expressões, respetivamente <ref name=":2" /> <ref>{{citar periódico|ultimo=Oliveira|primeiro=Anderson Castro|data=|titulo=Lista de Modelos Probabilísticos|url=http://files.andersoncso.webnode.com.br/200000656-8e08d8f020/lista%20distribui%C3%A7%C3%B5es.pdf|jornal=Lista de Modelos Probabilísticos}}</ref>:

<math>E(X)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle xf(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
\dfrac{xe^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}}{s\left[1+e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}\right]^2}
=\mu</math>

<math>V(X)=E(X)-(E(X))^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \displaystyle
\dfrac{x^2e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}}{s\left[1+e^{-\left(\dfrac{x-\mu}{s}\right)}\right]^2}-\mu^2=
\dfrac{s^2 \pi^2}{3}</math>

<math>Moda=Mediana=\mu</math>

<math>M(t)=e^{\mu t}\Gamma({1-st})\Gamma({1+st}),|t|<\dfrac{1}{s}</math>

Note-se que na expressão da função geradora de momentos, a letra <math>\Gamma</math> designa a [[função gama]].

Outras duas propriedades que não são muito estudadas são a [[Obliquidade|assimetria]] e a [[curtose]]. A assimetria é uma propriedade que referencia a assimetria da distribuição; e para este caso, a medidade de assimetria é <math>0</math>, uma vez que a distribuição logística é simétrica <ref name=":1" />. Enquanto a curtose é uma medida de forma que caracteriza o achatamento da curva da f.d.p. das distribuições. Para a distribuição em causa, o valor da curtose é <math>1,2</math> <ref name=":1" />. Pelo facto da f.d.p. desta distribuição ser muito semelhante à f.d.p. da distribuição normal, o valor da curtose, ao ser um valor positivo maior que zero, significa que a distribuição logística é mais alta e afunilada que a [[distribuição normal]] .

==Aplicações==
A distribuição logística foi investigada pela primeira vez pelo matemático francês ''Pierre Verhulst'' nas décadas de [[Década de 1830|1830]] e [[Década de 1840|1840]]; e recebeu seu nome num artigo de [[1929]] de ''Reed'' e ''Berkson'' <ref name=":0">{{Citar web|url=http://reference.wolfram.com/language/ref/LogisticDistribution.html|titulo=LogisticDistribution—Wolfram Language Documentation|data=|acessodata=|obra=reference.wolfram.com|publicado=|ultimo=|primeiro=|lingua=en}}</ref>. Embora o interesse original de ''Verhulst'' tenha sido no estudo da [[demografia]] e na modelagem de populações humanas, um dos principais usos da distribuição logística historicamente tem sido em estatística, como uma ferramenta, na chamada [[regressão logística]] <ref name=":0" />.

Ainda hoje, no entanto, a distribuição logística é uma ferramenta frequentemente utilizada na análise de sobrevivência, onde é preferível sobre distribuições qualitativamente similares, por exemplo, à distribuição normal <ref name=":0" />. As ferramentas derivadas e inspiradas pela distribuição logística são geralmente usadas para representar dados de tolerância em várias ciências da vida, incluindo [[zoologia]] e [[fisiologia]]; e a própria distribuição é usada em [[finanças]] matemáticas para modelar o risco de vários ativos financeiros <ref name=":0" />. A distribuição logística também pode modelar uma série de fenômenos, incluindo a disseminação de doenças, crescimento celular e a disseminação de inovações <ref name=":0" />.

Um facto interessante é que a [[Federação de Xadrez dos Estados Unidos]] e a Federação Mundial de Xadrez ([[FIDE]]) usam a distribuição logística para calcular o nível de habilidade relativa dos jogadores de [[xadrez]] <ref name=":1">{{Citar periódico|titulo=Logistic Distribution|url=http://www.statisticshowto.com/logistic-distribution/|jornal=Statistics How To|lingua=en-US}}</ref>. Anteriormente, ambos usavam a distribuição normal <ref name=":1" />.

==Aplicação no ''software'' R==
[[Imagem:Gráfico_da_função_densidade_de_probabilidade.png|miniaturadaimagem|Figura 4 — Gráfico da f.d.p. para a sequência definida]]

[[Imagem:Gráfico_da_função_distribuição.png|miniaturadaimagem|Figura 6 — Gráfico da função distribuição para a sequência definida]]

No ''software'' R,{{esclarecer|o que é isto? esta secção é um manual dum programa?}} para usar a distribuição logística, é necessária a instalação do ''package'' ''stats'' que contém os comandos referentes à f.d.p., à função distribuição e à função quantil <ref name=":4">{{Citar web|url=https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/stats/html/Logistic.html|titulo=R: The Logistic Distribution|data=|acessodata=|obra=stat.ethz.ch|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>. Além disso, também é possível gerar números aleatórios que seguem esta distribuição <ref name=":4" />. Para se usar os comandos, é crucial definir primeiro os parâmetros de localização e escala. Note-se que se estes parâmetros não forem definidos previamente, o ''software'' R assume por defeito que o parâmetro de localização é <math>0</math> e o parâmetro de escala é <math>1</math>.

Existindo um ''package'' que contém as funções essenciais da distribuição logística, não é necessário o utilizador definir essas funções. No entanto, para exemplos ilustrativos, realizou-se um pequeno exercício que demonstra que aodefinir a função ou utilizar os comandos do R, para um determinado valor de uma sequência, os resultados são iguais. Os ''scripts'' do R encontram-se nas Figuras 3, 5, 7 e 8.

Suponha-se que se considera os parâmetros de localização e escala definidos por <math>\mu=2</math> e <math>s=1</math>, respetivamente, e define-se <math>x</math> como sendo uma sequência de valores entre <math>-10</math> e <math>10</math> de tamanho <math>100</math>. Caso o utilizador queira definir ele próprio a f.d.p., deve utilizar o comando ''function()'' e inserir a expressão correspondente. Através do comando ''plot()'', pode-se ter acesso ao gráfico da f.d.p. definida para a sequência de valores de <math>x</math>. No ''script'' da Figura 3, definiu-se a função da f.d.p., fez-se o gráfico desta função que pode ser visto na Figura 4 e, por fim, para um valor da sequência, <math>x=6</math>, determinou-se o valor da função neste ponto. Em seguida, utilizou-se o comando do R, ''dlogis()'', que representa a f.d.p. já definida pelo próprio ''software''; e calculou-se também para o mesmo valor da sequência definido anteriormente. É espectável que, estando todos os comandos bem definidos, o valor é exatamente igual. Assim, considerando ambos os comandos, o valor da f.d.p., para <math>x=6</math>, é dado por <math>0,0177</math>.

[[Imagem:FunDensiProb.png|esquerda|miniaturadaimagem|750px|Figura 3 — ''Script'' da f.d.p.]]
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Realizou-se o mesmo processo para a função distribuição. O comando do R para esta função é designado por ''plogis()''. O valor da sequência escolhido foi <math>5</math>. E, tal como seria de esperar, para ambos os comandos, o valor da função distribuição para <math>x=5</math> é dado por <math>0,9526</math>. Na Figura 5, visualiza-se o ''script'' do R para a função distribuição; e o gráfico desta função, para a sequência de valores definida no ''script'', encontra-se na Figura 6.

[[Imagem:FunDistr.png|esquerda|miniaturadaimagem|750px|Figura 5 — ''Script'' da função distribuição]]
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[[Imagem:Gráfico_da_Função_Quantil.png|miniaturadaimagem|Figura 9 — Gráfico da função quantil para a sequência definida]]

A função quantil é representada pelo comando ''qlogis()''. Uma vez que esta função é definida por um logaritmo, ela apenas calcula quantis para valores entre <math>0</math> e <math>1</math>. Definiu-se a função quantil também pelo comando ''function()'' e, para fazer a sua representação gráfica, considerou-se uma sequência de valores para <math>p</math> entre <math>0</math> e <math>1</math> de tamanho <math>100</math>, tendo obtido a Figura 9. Em seguida, calculou-se o 1º Quartil, para <math>p=\dfrac{1}{4}</math>; a mediana, para <math>p=\dfrac{1}{2}</math>; e o 3º Quartl, para <math>p=\dfrac{3}{4}</math>, usando o comando já existente no R e a função definida, com parâmetros dados por <math>\mu=2</math> e <math>s=1</math>. Na Figura 8, encontra-se o ''script'' do R para a função quantil. Assim, para o 1º Quartil, obteve-se uma quantil de <math>0,9014</math>; para a mediana, um quantil de <math>2,0000</math>; e, para o 3º Quartil, um quantil de <math>3,0986</math>, usando ambos os comandos.

[[Imagem:FQ.png|esquerda|miniaturadaimagem|750x750px|Figura 8 — ''Script'' da função quantil]]
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[[Imagem:Script_do_R_para_gerar_números_aleatórios.png|thumb|Figura 7 — ''Script'' da geração de números aleatórios]]

Para os exemplos anteriores, considerou-se um valor inicial fixo. No entanto, o comando ''rlogis()'' permite gerar valores aleatórios da distribuição em causa para um determinando conjunto de observações. No ''script'' do R da Figura 7, gerou-se <math>100</math> observações da distribuição logística, com parâmetros <math>4</math> e <math>2</math> para a localização e escala, respetivamente.

Todas as distribuições possuem um ''package,'' que utilizando o ''software'' R, o utilizador tem acesso às funções que lhes são correspondentes. Assim, uma vez que todas as distribuições são cruciais para diversos estudos, graças a esses ''packages'' não é necessário que o utilizador perca tempo em definir cada uma das funções.
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{{Referências}}

{{Controle de autoridade}}

[[Categoria:Distribuições contínuas|Logistica]]