Mostrar código-fonte de Distribuição uniforme

{{mais-notas|data=janeiro de 2016}}
[[Ficheiro:Uniform distribution PDF.png|thumb|A função densidade da distribuição uniforme em [''a'',''b''].]]
Em [[estatística]] e [[probabilidade]], a '''distribuição uniforme''' é a distribuição de probabilidades [[variável aleatória contínua|contínua]] mais simples de conceituar: a [[probabilidade]] de se gerar qualquer ponto em um intervalo contido no [[espaço amostral]] é proporcional ao tamanho do intervalo, visto que na distribuição uniforme a ''f(x)'' é igual para qualquer valor de ''x'' no intervalo considerado. Por exemplo, se considerarmos um intervalo em ''x'' de zero à dez positivo (xЄ[0,10] ), e assumirmos que temos uma distribuição uniforme nesse intervalo, a probabilidade de ''f(x)'' no intervalo  2<x<5 é igual a probabilidade de ''f(x)'' no intervalo  5<x<8 pois sabemos que a distribuição é uniforme nesses intervalos e possuímos os intervalos com o mesmo tamanho.

Outra maneira de se dizer "distribuição uniforme" seria "um número finito de resultados com chances iguais de acontecer".

Ela é usada quando assumimos intervalos iguais da variável que a mesma probabilidade .

Um simples exemplo de distribuição uniforme é lançar um dado não viciado. Os possíveis valores são 1,2,3,4,5,6, e a cada turno que o dado é jogado a probabilidade de cada valor é 1/6. Se dois dados são lançados e seus valores adicionados, a distribuição resultante não é mais uniforme pois as somas não são uma variável equiprovável.

A distribuição discreta uniforme em si não possui parâmetros. No entanto, é conveniente representar seus possíveis resultados com um intervalo fechado [a,b], sendo 'a' e 'b' considerados os principais parâmetros da distribuição. Com isso a [[Função distribuição acumulada|função acumulada dessa distribuição]] é representada como:
:<math>F(x)= P(X\leq x)= \int\limits_{-\infty}^{x} f(x)dx=\left\{\begin{array}{ccl} 0 ,&\text{se}& x< \alpha    \\ \frac{ x-\alpha }{\beta-\alpha} ,&\text{se}&\alpha  \leq x < \beta     \\1,&\text{se}&x \geq \beta     \end{array}\right.</math>

Seja [a,b] o espaço amostral. Então temos que a [[função densidade de probabilidade]] é:

{| class="wikitable"
|-
! Em linguagem [[matemática]] !! Em [[língua portuguesa|Português]] 
|-
| <math> f(x;a,b)=\left\{\begin{matrix}{\color{Red}\frac{1}{b-a}} &,\; a \le x \le b, \\ 0 &,\; c.c. \end{matrix}\right.</math> <ref>WALPOLE, Ronald E.; MYERS, Raymond H.; MYERS, Sharon L. e YE, Keying. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. Pearson Education International. ISBN 0132047675. Página 172.</ref>|| A probabilidade de a [[variável aleatória]] X ocorrer no intervalo infinitesimal [x*, x*+dx] é <math>{\color{Red}\frac{dx}{b-a}}</math> se x estiver entre a e b, e zero em caso contrário.
|}

Esta distribuição tem valor médio ou esperança matemática de '''X''', dada por  <math>E(X) =\frac {a + b}{2}\,</math> e [[variância]]  <math>Var(X) = \frac {(b - a)^2}{12}\,</math>.

'''Exemplo básico:'''

1) Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo <math>[0,2] </math>. Qual será a probabilidade de que o ponto escolhido esteja entre <math>1 </math> e <math>3/2 </math>?

A sua função densidade de probabilidade é dada por:

<math>f(x)=\left\{\begin{array}{ccl} \frac{1}{2} ,&\text{se}& x \in [0,2]  \\0,&\text{caso contrário}\end{array}\right. </math>

Portanto,

<math>P(1 \leq x \leq 3/2 ) = \frac{[(3/2) -1]}{(2-0)}= \frac{1/2}{2}= 0,25. </math><ref>'''Referência: '''LIBERAL, Prof. Tarciana. '''Probabilidade II. '''Paraíba: Universidade Federal da Paraíba, [20--]. Color.</ref>

== Esperança e Variância: origem das fórmulas ==
A seguir, apresenta-se o desenvolvimento dos cálculos visando chegar as fórmulas anteriormente apresentadas, da esperança e por conseguinte da variância.

Seja X a variável com distribuição uniforme contínua no intervalo de “a” até “b”. Então:

<math>f(x) = {1 \over b - a }, a \leq x \leq b</math>

<math>f(x)= 0</math>, caso contrário.

Aplicando a fórmula da esperança:

<math>E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x \times f(x) dx</math>

<math>E(X) = \int\limits_{a}^{b} x \times {1\over b-a} dx</math>

<math>E(X) = {1 \over b-a}\left ( \frac{x^2}{2} \right )_{a}^{b} </math>

<math>E(X) = {1 \over b-a} \times {b^2 - a^2 \over 2} </math>

Fatorando:

<math>E(X) = {1 \over b-a} \times {(b-a) \times (b+a) \over 2} = {b+a\over 2} </math>

Calculando a média de X²:

<math>E(X^2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 \times f(x) dx</math>

<math>E(X^2) = \int\limits_{a}^{b} x^2 \times {1\over b-a} dx</math>

<math>E(X^2) = {1 \over b-a}\left ( \frac{x^3}{3} \right )_{a}^{b} </math>

<math>E(X^2) = {1 \over b-a} \times {b^3 - a^3 \over 3} </math>

Fatorando:

<math>E(X^2) = {1 \over b-a} \times {(b-a) \times (b^2+ab+a^2) \over 3} = {b^2+ab+a^2\over 3} </math>

A fórmula da variância para a distribuição uniforme é a diferença entre a esperança de <math>X^2</math> o quadrado da esperança de <math>X</math>. Então:

<math>Var (X)= E (X^2)- E (X)^2</math>

<math>Var(X)= {b^2 + ab + a^2\over 3}- \left ( \frac{b+a}{2} \right )^2</math>

<math>Var(X)= {b^2 + ab + a^2\over 3}- {b^2 + 2ab + a^2\over 4}</math>

Tirando o [[mínimo múltiplo comum]]:

<math>Var(X)= {4b^2 + 4ab + 4a^2\over 12} - {3b^2 + 6ab + 3a^2\over 12}</math>

<math>Var(X)= {b^2 - 2ab + a^2\over 12}</math>

que nos dá a fórmula:

<math>Var(X)= {(b - a)^2\over 12}</math>

Exemplos básicos

1) Considere uma experiência aleatória associada a 5 acontecimentos elementares ωi (i = 1, 2, 3, 4, 5) com as seguintes probabilidades:

i     <math>\{</math> 1 2 3 4 5

 ωi    <math>\{</math> 0 1 2 3 4

P(ωi) <math>\{</math> 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1

 Considere a variável aleatória, definida à custa dos acontecimentos elementares,

 <math>\{</math>2ωi , ωi ≥ 2

 X(ωi) =

                 <math>\{</math> 6ωi −8 , ωi < 2

Determine o [[valor esperado]] de X e a probabilidade de X assumir um valor negativo.

Solução:

E (X )= 2.6; P (X < 0)= 0.3

== Propriedades da Distribuição Uniforme ==
As principais medidas para a distribuição uniforme podem ser determinadas de uma forma geral em termos dos extremos "a" e o "b" do intervalo.<ref>{{citar livro|título=Probabilidade|ultimo=VIARI|primeiro=Lori|editora=PUCRS|ano=|local=Rio Grande do Sul|páginas=|acessodata=}}</ref>

=== Média, expectância ou valor esperado ===
<math>\mu= E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x . f(x)dx = \int_{a}^{b} x . \frac{1}{b-a}dx = (a + b) / 2 </math>

=== Desvio Padrão ===
<math>\sigma = \surd\frac{(b-a)^2}{12} </math>

=== A FDA da distribuição Uniforme ===
A FDA da distribuição uniforme, pode ser facilmente avaliada e, vale:

<math>F(x) = P(X\leq x) =\int\limits_{-\infty}^{x}  \frac{1}{b - a}du = \begin{cases} 0,      \qquad  se\, x<a\\ \frac{x - a}{b -a}, \qquad se\ a \leq x \leq b \\ 1,  \qquad se\ x > b\end{cases} </math>

Exemplo:

Seja X uma VAC com distribuição uniforme no intervalo [5, 10]. Determinar as probabilidades:

a) P(X < 7)

b) P(X > 8,5)

c) P(8 < x < 9)

Soluções:

Utilizando a FDA da variável vem:

a) <math>P(X < 7)=F(7)\binom {7-5}{10-5} = \frac{2}{5} = 40\% </math>

b) <math>P(X > 8,5)=1-P(X<8,5)=1-F(8,5)=1-\binom {8,5-5}{10-5} =1- \frac{3,5}{5} = 1 - 0,7 = 30\% </math>

c) <math>P(8 < X < 9)=F(9)- F(8)=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}= \frac{1}{5} = 20\% </math>

==Estimativa do máximo ==
{{main|Problema dos tanques alemães}}
Esse exemplo é descrito com uma amostra de ''k'' observações obtidas de uma distribuição uniforme no inteiros  <math>1,2,\dots,N</math>, com o problema de se estimar o ''N'' máximo. Esse problema é comumente como o [[Problema dos tanques alemães]].

O estimador de variancia mínima não-enviesada para o máximo é dado por 
:<math>\hat{N}=\frac{k+1}{k} m - 1 = m + \frac{m}{k} - 1</math>
onde ''m'' é o maior valor da amostragem  e ''k'' é o tamanho da amostra, sendo a amostragem sem reposição.

A fórmula pode ser entendida como: 
:"O valor máximo da amostra mais a média intervalar entre as observações na amostra".

Isto possui variância de 
:<math>\frac{1}{k}\frac{(N-k)(N+1)}{(k+2)} \approx \frac{N^2}{k^2} \text{ para amostras pequenas } k \ll N</math>

== Aplicações ==
'''<big>Geral</big>'''

No geral o uso de distribuição uniforme é utilizado para se ter o número das chances possíveis de um determinado evento ocorrer, dentro de um limite de duas variáveis logicas. Como por exemplo a probabilidade de peças com defeitos em um lote com determinada quantidade de peças.

=== Informática ===
A maioria das linguagens de programação, pacotes estatísticos ou planilhas de cálculo possuem um gerador de números aleatórios, que gera a partir de uma '''distribuição uniforme''', com valores entre 0 e 1. Esse número é chamado de pseudo-aleatório, porque é possível repetir a mesma sequência a partir de uma mesma semente (valor inteiro).

=== Simulação de outras distribuições ===
Qualquer outra [[variável aleatória contínua|distribuição contínua]], na qual a [[função distribuição acumulada]] seja invertível, pode ser simulada a partir da '''distribuição uniforme'''.

Seja ''U'' a distribuição uniforme com valores no intervalo [0,1], e ''X'' uma variável aleatória contínua com distribuição acumulada F(x). Então:

: <math>X \sim F^{-1}(U)\,</math>

Para demonstrar, devemos provar que a chance de simular um valor de ''X'' entre ''a'' e ''b'' por esse método é igual à probabilidade da variável aleatória ''X'' gerar um valor entre ''a'' e ''b''.

Por um lado, a chance de <math>F^{-1}(U) \in \left[ a , b \right]\,</math> é igual à chance de <math>U \in \left[ F(a) , F(b) \right]\,</math> (pela monotonicidade de ''F''), e, como <math>0 \le F(a) \le F(b) \le 1\,</math>, essa chance é igual a F(b)-F(a).

Por outro lado, a chance de ''X'' gerar um valor entre ''a'' e ''b'', é a chance de ''X'' gerar um valor menor ou igual a ''b'' menos a chance de ''X'' gerar um valor menor ou igual a ''a'' (onde usamos o fato de ''X'' ser contínua, ou seja, a probabilidade um ponto é zero). Usando a definição de distribuição acumulada, essa chance é F(b)-F(a).

=== Erro de quantização ===
Numa conversão de valores analógicos para valores digitais, pode´se existir um erro baseado no arredondamento ou truncamento. Quando o erro é muito maior que um BIt menos significativo, o erro de quantização tem uma distribuição praticamente uniforme.

==Veja também==
* [[Função exponencial]]
* [[Delta de Dirac]]

{{Referências}}

==Ligações externas==
* {{Link||2=http://www.elektro-energetika.cz/calculations/ro.php?language=portugues |3=Calculadora - Distribuição uniforme}}

{{Estatística}}
{{mínimo sobre|matemática}}

{{Portal3|Probabilidade e estatística}}

[[Categoria:Estatística]]
[[Categoria:Distribuições contínuas]]