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{{mais fontes|data=julho de 2017}}
'''Divisores''' são [[números inteiros]] e [[racionais]],<ref name=aurelio>''Dicionário Aurélio''</ref> sendo o dito divisor y diferente de 0 (y<math>\ne</math>0)e o divisor z igualmente (z<math>\ne</math>0)<ref name=enio /> com os quais se pode efetuar uma divisão de números maiores (igualmente inteiros e racionais), tendo como [[resto]] e [[quociente]] uma quantidade exata.

Exemplo:<ref name=enio />

<math>\,\!\frac{x}{y} = z\rightarrow\,\!\frac{x}{z} = y</math>


Todo e qualquer número tem seus divisores, inclusive os [[números primos]], que só tem como '''divisores''' 1 e o dito primo.<ref name=aurelio/>

== Sobre os divisores ==
* Existem infinitos [[números primos]] (ver [[Teoria dos números]], seção: Propriedades dos números primos;  [[Teorema de Euclides]]) e infinitos divisores de números.
* Para cada número [[inteiro]] e [[racional]] há um conjunto de divisores que lhe é próprio.
* Dois números podem ter em comum vários divisores. Quando isto acontece, diz-se que os ditos números fazem parte de mais de um conjunto [[matemático]].

Como exemplo, pode-se citar o número [[Vinte e dois|22]], que pertence ao conjunto de [[múltiplos]] de [[Dois|2]] e dos [[múltiplos]] de [[Onze|11]] igualmente, ou seja, os divisores de [[Vinte e dois|22]] são [[Dois|2]] e [[Onze|11]], além de [[Um|1]] e [[Vinte e dois|22]].

No conjunto dos [[múltiplos]] de [[Onze|11]]:<ref name=enio />

<math>\left\{11, 22, 33...\right\}\,\!</math>

No conjunto dos [[múltiplos]] de [[Dois|2]]:

<math>\left\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...\right\}\,\!</math>

* Quanto maior o '''divisor''', menor será o resto. É similar a uma [[regra de três]] inversamente proporcional, pois, quanto menor o '''divisor''' de número qualquer [[inteiro]] e [[racional]], maior será o resto.
* Somente há um número que dividido por qualquer número [[inteiro]] e [[racional]] tem como resto a mesma quantidade: [[Zero|0]]. Quaisquer números divididos ou multiplicados pelo mesmo resultarão em [[Zero|0]];

<math>\,\!\frac{0}{1298} = 0\rightarrow 0 .\ 1298 =\ 0</math>

*Todos os divisores de um número qualquer N podem ser descobertos realizando-se [[Fatoração]].<ref>[http://www.matematicadidatica.com.br/ Matemática Didática]</ref>
* Nem todos os números maiores possuem muitos divisores. É o caso de muitos números relativamente grandes em quantidade, tais como 158, 302, 218, 514, 614, 866, 914, 1514 e obviamente os [[números primos]] (ver também  [[número defectivo]]). Números relativamente grandes em quantidade que não sejam múltiplos de [[Três|3]], [[Quatro|4]], [[Cinco|5]] ou [[Sete|7]] tem grandes chances de serem do mesmo caso. Geralmente é um [[número defectivo]] ou [[número deficiente]] que se encontra nesse caso.
* Quando determinados números x possuem um determinado divisor N, que multiplicado por N, que possui o mesmo valor de x, diz-se que é um [[quadrado perfeito]] do número x <!-- <ref>Matemática 7o ano em www.malhatlantica.pt (conteúdo não relacionado) </ref> -->

Exemplo:

<math>5 .\ 5 =\ 25\rightarrow5^2</math>

Portanto:

<math>\,\!\frac{25}{5} = 5</math>

* Os números irracionais não podem ser postos em forma de fração (ver também [[números irracionais]]),<ref name=enio>Ênio Silveira e Cláudio Marques. ''Matemática Compreensão e Prática'' </ref><ref>''Mundo Educação'': [http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm Múltiplos e Divisores]</ref> logo não possuem nenhum '''divisor''' no [[Número real|conjunto dos números reais]]. Por exemplo o <math>\pi</math>, que é a [[proporção]] numérica aproximada (pois é número irracional) oriunda da relação das medidas de [[perímetro]] de [[circunferência]] e [[diâmetro]].



Sejam ''n'', ''d'' e ''q'' [[números inteiros]], com ''d'' diferente de zero (d <math>\ne</math> 0). Dizemos que ''d'' é '''divisor''' de ''n'' (ou que ''d'' divide ''n'', ou ainda que ''n'' é divisível por ''d'') se existir um ''q'' tal que <math>q\cdot d=n</math> (note que isto é o mesmo que escrever <math>n=d\cdot q</math>)

Exemplo:<br>
<math>(n=0) \land (n=d\cdot q) \Rightarrow 0=d\cdot q \Rightarrow q=0, \forall d \in \mathbb{Z}^*</math>
<br>(se ''n'' é igual a zero, e se ainda ''n'' é igual a ''d'' vezes ''q'', então zero é igual a ''d'' vezes ''q'', de onde se conclui que ''q'' deve ser igual a zero, para todo ''d'' pertencente a <math>\mathbb{Z}^*</math>, que é o conjunto dos números inteiros sem o zero)

Formalmente, se ''d'' é divisor de ''n'', então:<br>
<math>\exists_{q \in \mathbb{Z}} : n=d\cdot q</math>
<br>(lê-se: ''existe um número inteiro '''q''' tal que '''n''' é igual a '''d''' vezes '''q''''')

Também podemos dizer o seguinte: seja <math>r \in \mathbb{Z}</math>. Se <math>\frac{n}{d}</math> (''n'' dividido por ''d'') tem [[Divisão|quociente]] ''q'' e [[Resto da divisão inteira|resto]] ''r'', então <math>n=d\cdot q+r</math>

Note que há duas situações possíveis para o resto ''r'':<br>
1) r = 0
<br>Neste caso, dizemos que ''d'' '''divide''' ''n'' (''d'' é divisor de ''n''). Isto porque a expressão <math>n=d\cdot q+r</math> será igual à expressão <math>n=d\cdot q+0</math>, que é o mesmo que escrever simplesmente <math>n=d\cdot q</math>.
<br>''Nota: como o divisor ''d'' não pode ser zero, repare que se ''n'' for zero o quociente ''q'' também terá que ser zero.''
<br><br>
2) r <math>\ne</math> 0
<br>Neste caso, dizemos que ''d'' '''não divide''' ''n'' (''d'' não é divisor de ''n''). Isto porque existe um resto ''r'' diferente de zero, ou seja, a expressão <math>n=d\cdot q+r</math> '''não será igual''' à expressão <math>n=d\cdot q</math>.
<br>''Nota: podemos escrever <math>n-r=d\cdot q</math>. O resultado da diferença ''n-r'' é um número inteiro. Vamos chamar este número de ''x'', ou seja: <math>n-r=x</math>. Assim, <math>x=d\cdot q</math>. Como ''d'' e ''q'' também são números inteiros e ''d'' é diferente de zero, concluímos que ''d'' divide ''x'' (''d'' é divisor de ''x'').

Exemplos:
<br>1) A divisão <math>\frac{15}{3}</math> tem quociente 5 e resto 0. Assim:
<br>O [[numerador]] da [[fração]] é ''n'' = 15;
<br>O [[denominador]] da fração é ''d'' = 3;
<br>O quociente da [[divisão]] é ''q'' = 5;
<br>O resto da divisão é ''r'' = 0.
<br> Como <math>n=d\cdot q+r</math>, escrevemos <math>15=3\cdot 5+0</math>, ou simplesmente <math>15=3\cdot 5</math>.
<br>Neste exemplo, o denominador ''d'' (= 3) '''divide''' 15, portanto ''d'' também é divisor de 15 (note que ''r'' = 0).

<br>2) A divisão <math>\frac{7}{2}</math> tem quociente 3 e resto 1. Assim:
<br>O [[numerador]] da [[fração]] é ''n'' = 7;
<br>O [[denominador]] da fração é ''d'' = 2;
<br>O quociente da [[divisão]] é ''q'' = 3;
<br>O resto da divisão é ''r'' = 1.
<br>Como <math>n=d\cdot q+r</math>, escrevemos <math>7=2\cdot 3+1</math>
<br>Neste exemplo, o denominador ''d'' (= 2) '''não divide''' 7, portanto ''d'' não é divisor de 7 (note que ''r'' <math>\ne</math> 0).
<br>Porém, lembre-se de que <math>n-r=d\cdot q</math>. Isto significa que ''d'' divide ''n - r'' (''d'' é divisor de ''n - r''). Conferindo: <math>d=2</math> e <math>n-r=7-1=6</math>. Como <math>d\cdot q=2\cdot 3=6</math>, ambas as expressões <math>n-r</math> e <math>d\cdot q</math> valem 6, portanto elas são iguais, e por isto podemos escrever <math>n-r=d\cdot q</math>. Logo, ''d'' divide ''n - r'', ou seja, 2 divide 6 (2 é divisor de 6).

{{referências}}

==Ver também==
* [[Divisibilidade]]

{{Portal3|Ciência|Matemática}}

[[Categoria:Aritmética elementar]]
[[Categoria:Teoria dos números]]