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[[Ficheiro:E8 graph.svg|thumb|300px|O Gosset politopo dos 240 vetores do sistema de raízes]]
{{Teoria das cordas|expanded=Equações e teorias}}
{{Título errado|título=E<span style="font-family:Lucida Sans Unicode, sans-serif">₈</span>}}
Em [[matemática]], '''E<sub>8</sub>''' é uma forma simples da [[Álgebra de Lie]] de 248 [[dimensão|dimensões]], a mesma notação é algumas vezes usada para as suas [[raiz (matemática)|raízes]].

O grupo E<sub>8</sub> foi formulado entre os anos de [[1888]] e [[1890]] por [[Wilhelm Killing]], embora não chegue a provar sua existência, a qual foi primeiramente demonstrada por [[Élie Cartan]].

A denominação E<sub>8</sub> provém da [[classificação de Killing e Cartan]] da complexa [[Álgebra de Lie|álgebra simples de Lie]], que se divide em quatro famílias infinitas rotuladas A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, e cinco casos excepcionais marcados [[E6 (matemática)|E<sub>6</sub>]], [[E7 (matemática)|E<sub>7</sub>]], E<sub>8</sub>, [[F4 (matemática)|F<sub>4</sub>]], e [[G2 (matemática)|G<sub>2</sub>]].

A álgebra E<sub>8</sub> é a maior e mais complicada deste grupo, e é frequentemente a última a ter seus [[teorema]]s provados.

== Descrição básica ==
E<sub>8</sub> possui ''rank'' 8 e 248 dimensões. Os vetores da raiz do sistema estão em oito dimensões, especificadas mais adiante neste artigo. O grupo ''Weyl'' de E<sub>8</sub>, que age como um [[grupo de simetria]] de máximo ''torus'' por meio do conjugado de funcionamento do grupo, é da ordem 696.729.600.

E<sub>8</sub>é o único dos grupos de Lie que sua não-trivial representação de menor dimensão é a representação adjunta (de 248 dimensões) sobre a [[álgebra de Lie]] que atuam em si mesma, é também o único que tem as seguintes três propriedades: centro trivial, simplesmente ligado, e simplesmente Laçado (todas as raízes têm o mesmo comprimento). Existe uma [[álgebra de Lie]] E<sub>n</sub> para cada inteiro n maior ou igual a 3, que é dimensionalmente infinito se n for superior a 8.

== Forma Real ==
O complexo do grupo de Lie E<sub>8</sub> de 248 [[Número complexo|dimensões complexas]] pode ser considerado como um simples grupo de Lie real de 496 dimensões, que é simplesmente ligado, tem o máximo compacto subgrupo de forma compacta E<sub>8</sub>, e tem um grupo de automorfismo ordem 2 gerado pelo [[conjugado complexo]].

O grupo de Lie complexo tipo E<sub>8</sub> possui três [[Número real|formas reais]], todos de 248 dimensões reais, como segue:

* Uma forma compacta (que é caso normal se outra informação não é dada), que está simplesmente ligada e tem grupo automorfismo trivial afastado.
* Uma forma fracionada, que tem máximo subgrupo compacto ''Spin''(16)/('''Z'''/2'''Z'''), grupo fundamental de ordem 2, e uma não-algébricas dupla capa e tem grupo automorfismo trivial afastado.
* Uma forma, que tem subgrupo máximo compacto E<sub>7</sub>&times;SU(2)/(−1&times;−1), grupo fundamental de ordem 2, e uma  dupla capa não-algébrica e tem grupo automorfismo trivial afastado.

Para uma lista completa de formas reais simples da Álgebra de Lie, veja a [[lista de grupos de Lie simples]].

== Representação da teoria ==
Os coeficientes da fórmula para representação de infinito dimensional irredutível de E<sub>8</sub> dependem de grandes matrizes formadas por [[polinômio]]s, os [[polinômios de Lusztig-Vogan]], análogos de [[polinômios de Kazhdan-Lusztig]] introduzidos para reduzir grupos em geral por [[George Lusztig]] e [[David Kazhdan]] ( 1983). Os valores do primeiro polinômio de Lusztig-Vogan fornecem os coeficientes das matrizes referentes às representações padrão com as representações irredutíveis.

Essas matrizes foram calculadas após quatro anos de colaboração de um grupo de 18 cientistas matemáticos e informáticos, liderado por [[Jeffrey Adams]], com grande parte da programação feita por [[Fokko du Cloux]]. O mais difícil caso é o desdobramento da forma real de E<sub>8</sub>, onde a matriz é de dimensão 453060 × 453060. O polinômio de Lusztig-Vogan para todos os outros grupos foi conhecidos há algum tempo, o cálculo para E<sub>8</sub> é mais longo que em qualquer outro caso.

O anúncio do resultado, em Março de 2007, recebeu extraordinária atenção dos meios de comunicação social, para a surpresa dos matemáticos que trabalhavam nele.

== Construçao ==
Pode-se construir o (forma compacta) grupo E<sub>8</sub> como o grupo automorfismo do correspondente '''e'''<sub>8</sub> [[álgebra de Lie]]. Esta álgebra tem subálgebra 120-dimensional gerada pela ''J''<sub>''ij''</sub>, bem como 128 novos geradores ''Q''<sub>''a''</sub> que transformam um ''[[Weyl-Majorana spinor]]'' de '''spin'''(16).

Estas declarações determinam os comutadores
:<math>[J_{ij},J_{k\ell}]=\delta_{jk}J_{i\ell}-\delta_{j\ell}J_{ik}-\delta_{ik}J_{j\ell}+\delta_{i\ell}J_{jk}</math>

bem como
:<math>[J_{ij},Q_a] = \frac 14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b,</math>

enquanto os restantes comutadores (não anticommutator!) são definido como
:<math>[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}.</math>

É então possível verificar que a [[identidade Jacobi]] está satisfeita.

== Ver também ==
* [[Álgebra de Lie]]
* [[Teoria de Tudo excepcionalmente simples|Teoria E8]]

== Ligações externas ==
Ligações relacionada com o cálculo do polinômio de Lusztig-Vogan:
* {{Link||2=http://www.liegroups.org/ |3=Atlas de grupos de Lie}};
* {{Link||2=http://www.liegroups.org/kle8.html |3=Kazhdan-Lusztig-Vogan para Polinômios E<sub>8</sub>}}
* D. Vogan, [http://atlas.math.umd.edu/kle8.narrative.html Narrativa do Projeto para calcular Kazhdan-Lusztig para Polinômios E<sub>8</sub>]
* D. Vogan, [http://math.mit.edu/~dav/E8TALK.pdf Como anotou um 453060 × 453060 Matrix e achou felicidade para uma palestra sobre popular].
* {{Link||2=http://www-math.mit.edu/~dav/e8plane.html |3=Representação gráfica da raíz de sistema E<sub>8</sub>}}
* {{Link||2=http://theoryofeverything.org/TOE/JGM/e8Flyer.nbp |3=E8Flyer}} - Uma ferramenta de investigação interativa baseada no ''free Mathematica Notebook Player''.

{{DEFAULTSORT:E8}}
[[Categoria:Teoria dos grupos]]
[[Categoria:Álgebra de Lie]]