Mostrar código-fonte de Eletromagnetismo clássico e relatividade especial

{{Descrição curta|Relação entre a relatividade e o eletromagnetismo pré-quântico}}
{{About|a contribuição da relatividade especial para a teoria moderna do eletromagnetismo clássico|a contribuição do eletromagnetismo clássico para o desenvolvimento da relatividade especial|História da relatividade especial<!-- |uma discussão completamente covariante|:en:Covariant formulation of classical electromagnetism -->}}
<!-- {{Use American English|date=March 2019}} (na enwiki) -->
{{Eletromagnetismo|cTopic=Covariância}}
A teoria da [[Relatividade restrita|relatividade especial]] desempenha um papel importante na teoria moderna do [[eletromagnetismo clássico]]. Ela fornece fórmulas de como os objetos eletromagnéticos, em particular os campos [[Campo elétrico|elétricos]] e [[Campo magnético|magnéticos]], são alterados sob uma [[transformação de Lorentz]] de um [[referencial inercial]] para outro. Ela lança luz sobre a relação entre eletricidade e magnetismo, mostrando que o quadro de referência determina se uma observação segue leis magnéticas ou elétricas. Isso motiva uma notação compacta e conveniente para as leis do eletromagnetismo, ou seja, a forma de tensor "manifestamente covariante".

As equações de Maxwell, quando foram formuladas pela primeira vez em sua forma completa em 1865, seriam compatíveis com a relatividade restrita.<ref>{{Citar web |título=''Questions remain about the treatment of accelerating charges'' – ''Special relativity and Maxwell's equations'' |títulotrad=Dúvidas permanecem sobre o tratamento de cargas aceleradas – Equações de Maxwell e relatividade especial |autor=Haskell |url=http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm |arquivo-url=https://web.archive.org/web/20080101005238/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm |arquivo-data=01-01-2008 |língua=en |urlmorta=sim }}</ref> Além disso, as aparentes coincidências nas quais o mesmo efeito foi observado devido a diferentes fenômenos físicos por dois observadores diferentes seriam mostradas como não coincidentes de forma alguma pela relatividade especial. Na verdade, metade do primeiro artigo de Einstein de 1905 sobre a relatividade especial, "''Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento''"{{Ill|en||Annus_mirabilis_papers#Special_relativity|nlk=true}}, explica como transformar as equações de Maxwell.

==Transformação dos campos entre referenciais inerciais==
===Os campos E e B===
[[Imagem:Lorentz boost electric charge.svg|300px|thumb|Reforço de Lorentz de uma carga elétrica.
{{Quebra de parágrafo}}'''Acima:''' A carga está em repouso no referencial F, então este observador vê um campo elétrico estático. Um observador em outro referencial F&prime; se move com velocidade '''v''' em relação a F e vê a carga se mover com velocidade −'''v''' com um campo elétrico '''E''' alterado devido à contração do comprimento e um campo magnético '''B''' devido ao movimento da carga.
{{Quebra de parágrafo}}'''Abaixo:''' configuração semelhante, com a carga em repouso no referencial F&prime;.]]

Esta equação considera dois [[Referencial inercial|referenciais inerciais]]. O referencial primário está se movendo, em relação ao referencial secundário, na velocidade '''v'''. Os campos definidos no referencial primário são indicados por primos, e os campos definidos no referencial secundário carecem de primos. As componentes de campo ''paralelas'' à velocidade '''v''' são denotadas por <math>\mathbf{E}_\parallel</math> e <math>\mathbf{B}_\parallel</math> enquanto as componentes de campo perpendiculares a '''v''' são denotadas como <math>\mathbf{E}_\perp</math>e <math>\mathbf{B}_\perp</math>. Nesses dois referenciais, movendo-se a uma velocidade relativa '''v''', os campos '''E''' e '''B''' estão relacionados por:<ref name=Chow3>{{Citar livro  |autor=Tai L. Chow |título=Electromagnetic theory |títulotrad=Teoria eletromagnética |ano=2006 |página=402–403 |capítulo=10.21 |publicado=''Jones and Bartlett'' |local=''Sudbury, MA'' |isbn=0-7637-3827-1 |url=https://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153 |língua=en }}
</ref>

: <math>\begin{align} 
  \mathbf{E_\parallel}' &= \mathbf{E_\parallel} \\
  \mathbf{B_\parallel}' &= \mathbf{B_\parallel} \\
       \mathbf{E_\bot}' &= \gamma \left( \mathbf{E}_\bot + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \\
       \mathbf{B_\bot}' &= \gamma \left( \mathbf{B}_\bot - \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E} \right) 
\end{align}</math>

onde

:<math>\gamma \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \ \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>

é chamado de [[fator de Lorentz]] e ''c'' é a [[velocidade da luz]] no [[Vácuo|espaço livre]]. As equações acima estão no [[Sistema Internacional de Unidades|S.I.]] Em [[Sistema CGS de unidades|C.G.S.]], essas equações podem ser derivadas substituindo <math>\frac{1}{c^2}</math> por <math>\frac{1}{c}</math>, e <math> v \times B </math> por <math> \frac{1}{c} v \times B </math>, exceto <math>\gamma</math>. O fator de Lorentz (<math>\gamma</math>) é o mesmo em ambos os [[Sistema de unidades|sistemas]]. As transformações inversas são as mesmas, exceto {{Nowrap|'''v''' → −'''v'''}}.

Uma expressão alternativa equivalente é:<ref>{{Citation |título=Physik: Elektrodynamik, relativistische physik |títulotrad=Física: física relativística, eletrodinâmica |primeiro1=Herbert |último1=Daniel |publicado=''Walter de Gruyter'' |ano=1997 |isbn=3-11-015777-2 |capítulo=4.5.1 |páginas=360–361 |url=https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC |língua=de }}, [https://books.google.com/books?id=8vAC8YG41goC&pg=PA360 Extrato das páginas 360-361]</ref>

: <math>\begin{align}
  \mathbf{E}' &= \gamma \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right ) - \left ({\gamma-1} \right ) ( \mathbf{E} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}}\\
  \mathbf{B}' &= \gamma \left( \mathbf{B} - \frac{\mathbf{v} \times \mathbf{E}}{c^2} \right ) - \left({\gamma - 1} \right) (\mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{v}}) \mathbf{\hat{v}}
\end{align}</math>

onde <math>\mathbf{\hat{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{v} \Vert} </math> é o [[vetor unitário]] de velocidade. Com as notações anteriores, na verdade temos <math>( \mathbf{E} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}} = \mathbf{E}_\parallel</math> e <math>( \mathbf{B} \cdot \mathbf{\hat{v}} ) \mathbf{\hat{v}} = \mathbf{B}_\parallel</math>.

Componente por componente, para o movimento relativo ao longo do eixo <math>\mathbf{v}=(v,0,0)</math>, isso resulta no seguinte:

: <math>\begin{align}
  E'_x &= E_x                               & \qquad B'_x &= B_x \\
  E'_y &= \gamma \left( E_y - v B_z \right) &        B'_y &= \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right) \\
  E'_z &= \gamma \left( E_z + v B_y \right) &        B'_z &= \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right). \\
\end{align}</math>

Se um dos campos for zero em um referencial, isso não significa necessariamente que seja zero em todos os outros referenciais. Isso pode ser visto, por exemplo, tornando o campo elétrico primário nulo na transformação para o campo elétrico ativado. Nesse caso, dependendo da orientação do campo magnético, o sistema primário pode ver um campo elétrico, embora não exista nenhum no sistema secundário.

Isso não significa que dois conjuntos de eventos completamente diferentes são vistos nos dois referenciais, mas que a mesma sequência de eventos é descrita de duas maneiras diferentes (consulte [[#Problema do ímã e do condutor em movimento|Problema do ímã e do condutor em movimento]] abaixo).

Se uma partícula de carga ''q'' se move com velocidade '''u''', em relação ao referencial S, então a força de Lorentz no referencial S é:

: <math>\mathbf{F} = q\mathbf{E} + q\mathbf{u} \times \mathbf{B}</math>

No referencial S', a força de Lorentz é:

: <math>\mathbf{F'} = q\mathbf{E'} + q \mathbf{u'} \times \mathbf{B'}</math>

Uma derivação para a transformação da força de Lorentz para o caso particular '''u''' = '''0''' é dada aqui.<ref>{{Citar web |título=''Force laws and Maxwell's equations'' |títulotrad=Equações de Maxwell e leis de força |url=http://www.mathpages.com/rr/s2-02/2-02.htm |website=MathPages |língua=en }}</ref> Uma mais geral pode ser vista aqui.<ref>{{Citar web |url=http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/ganley_ajp_31_510_62.pdf |título=Cópia arquivada |acessodata=06-11-2008 |urlmorta=sim |arquivourl=https://web.archive.org/web/20090226225531/http://www.hep.princeton.edu/~mcdonald/examples/EM/ganley_ajp_31_510_62.pdf |arquivodata=26-02-2009 |língua=en }}</ref>

As transformações nesta forma podem ser mais compactas introduzindo o [[tensor eletromagnético]] (definido abaixo), que é um [[Covariância e contravariância|tensor covariante]].

===Os campos D e H===
Para o [[Campo de deslocamento elétrico|deslocamento elétrico]] '''D''' e a [[Campo magnético|intensidade magnética]] '''H''', usando as relações constitutivas{{Ill|en||Constitutive_equation#Electromagnetism|nlk=true}} e o resultado para ''c''<sup>2</sup>:

: <math>\mathbf{D} = \epsilon_0\mathbf{E}\,, \quad \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{H}\,,\quad c^2 = \frac{1}{\epsilon_0\mu_0}\,, </math>

dá

: <math>\begin{align}
  \mathbf{D}' & =\gamma \left( \mathbf{D}+\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf{D}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}} \\
  \mathbf{H}' & =\gamma \left( \mathbf{H}-\mathbf{v}\times \mathbf{D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf{H}\cdot \mathbf{\hat{v}})\mathbf{\hat{v}}
\end{align}</math>

Analogamente para '''E''' e '''B''', '''D''' e '''H''' formam o tensor de deslocamento eletromagnético{{Ill|en||Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism#Electromagnetic_displacement_tensor|nlk=true}}.

===Os campos φ e A===
Uma alternativa mais simples de transformação do campo eletromagnético usa os potenciais eletromagnéticos - o potencial elétrico φ e o potencial magnético A:<ref name="Physics Formulas 2010">''The Cambridge handbook of physics formulas'' (em inglês), G. Woan, ''Cambridge university press'', 2010, {{ISBN|978-0-521-57507-2}}.</ref>

: <math>\begin{align}
      \varphi' &= \gamma \left(\varphi - v A_\parallel\right) \\
  A_\parallel' &= \gamma \left(A_\parallel - \frac{v\varphi}{c^2} \right) \\
       A_\bot' &= A_\bot
\end{align}</math>

onde <math>\scriptstyle A_\parallel</math> é a componente paralela de '''A''' à direção da velocidade relativa entre os referenciais ''v'', e <math>\scriptstyle A_\bot</math> é a componente perpendicular. Estes assemelham-se transparentemente à forma característica de outras transformações de Lorentz (como posição de tempo e momento de energia), enquanto as transformações de '''E''' e '''B''' acima são um pouco mais complicadas. Os componentes podem ser coletados juntos como:

:<math>\begin{align}
  \mathbf{A}' &= \mathbf{A} - \frac{\gamma \varphi}{c^2}\mathbf{v} + \left(\gamma - 1\right) \left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{\hat{v}}\right) \mathbf{\hat{v}} \\ 
     \varphi' &= \gamma \left( \varphi - \mathbf{A}\cdot \mathbf{v} \right) 
\end{align}</math>

===Os campos ρ e J===
Analogamente para a [[Densidade de carga|densidade de carga]] ρ e a [[Densidade de corrente elétrica|densidade de corrente]] '''J''',<ref name="Physics Formulas 2010"/>

: <math>\begin{align}
  J_\parallel' &= \gamma \left(J_\parallel - v\rho\right) \\
         \rho' &= \gamma \left(\rho - \frac{v}{c^2} J_\parallel\right) \\
       J_\bot' &= J_\bot
\end{align}</math>

Coletando componentes juntas:

: <math>\begin{align}
  \mathbf{J}' &= \mathbf{J} - \gamma \rho \mathbf{v} + \left(\gamma - 1 \right)\left(\mathbf{J} \cdot \mathbf{\hat{v}}\right)\mathbf{\hat{v}} \\
        \rho' &= \gamma \left(\rho - \frac{\mathbf{J} \cdot \mathbf{v}}{c^2}\right) 
\end{align}</math>

===Aproximações não relativísticas===
Para velocidades ''v'' ≪ ''c'', o fator relativístico γ ≈ 1, que produz:

: <math>\begin{align}
\mathbf{E}' & \approx \mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B} \\
\mathbf{B}' & \approx \mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times \mathbf{E} \\
\mathbf{J}' & \approx \mathbf{J}-\rho \mathbf{v}\\
\rho' & \approx \rho -\frac{1}{c^2}\mathbf{J}\cdot \mathbf{v}
\end{align}</math>

de modo que não há necessidade de distinguir entre as coordenadas espaciais e temporais nas [[equações de Maxwell]].

==Relação entre eletricidade e magnetismo==
{{Cquote|Uma parte da força entre as cargas em movimento chamamos de força magnética. É realmente um aspecto de um efeito elétrico.|20px|20px|Richard Feynman<ref>{{Citar livro |título=[[The Feynman Lectures on Physics|The Feynman lectures on Physics]] |títulotrad=[[The Feynman Lectures on Physics|As palestras de Feynman]]|url=https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_01.html#Ch1-S1-p9 |volume=II |capítulo=1:  ''Electromagnetism'' – Eletromagnetismo |língua=en }}</ref>}}

===Derivando o magnetismo a partir de leis elétricas===
{{Artigo principal|Eletromagnetismo relativístico}}
O quadro de referência escolhido determina se um fenômeno eletromagnético é visto como um efeito magnético ou elétrico ou uma combinação dos dois. Os autores geralmente derivam o magnetismo da eletrostática quando a relatividade especial e a invariância de carga{{Ill|en||Charge invariance|nlk=true}} são levadas em consideração. [[The Feynman Lectures on Physics|''The Feynman lectures on physics'']] (vol. 2, cap. 13–6) usa este método para derivar a força magnética na carga em movimento paralelo próximo a um fio condutor de corrente. Ver também Haskell<ref>{{Citar web |url=http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm |título=''New page 2'' |títulotrad=Nova página 2 |acesso-data=10-04-2008 |arquivo-url=https://web.archive.org/web/20080101005238/http://www.cse.secs.oakland.edu/haskell/SpecialRelativity.htm |arquivo-data=01-01-2008 |urlmorta=sim |língua=en }}</ref> e Landau.<ref name=Landau>{{Citar livro |autor1=L. D. Landau |autor2=E. M. Lifshitz |título=The classical theory of fields |títulotrad=A teoria clássica dos campos |volume=2 |série=''Course of theoretical physics''{{Ill|en||Course of Theoretical Physics|nlk=true}} – Curso de física teórica |edição=4ª |publicado=''Butterworth-Heinemann'' |local=''Oxford'', Reino Unido |ano=1980 |isbn=0-7506-2768-9 |url=http://worldcat.org/isbn/0750627689 |língua=en }}</ref>

Se a carga se mover perpendicularmente a um fio condutor de corrente, a eletrostática não poderá ser usada para derivar a força magnética. Neste caso, ela pode ser derivada considerando a compressão relativística do campo elétrico devido ao movimento das cargas no fio.<ref name="Purcell" >{{Citar livro |último1=Purcell |primeiro1=E. M. |último2=Morin |primeiro2=D. J.|título=Electricity and magnetism |títulotrad=Eletricidade e magnetismo |edição=4ª |publicado=''Cambridge university press'' |ano=2013 |páginas=265–267|isbn=978-1-107-01402-2 |url=https://worldcat.org/search?q=ISBN%3A978-1-107-01402-2 |língua=en }} [https://books.google.com/books?id=A2rS5vlSFq0C&pg=PA265 Extrato da página 265]</ref>

===Mistura de campos em referenciais diferentes===
As regras de transformação acima mostram que o campo elétrico em um referencial contribui para o campo magnético em outro referencial e vice-versa.<ref name=Chow>
{{Citar livro |autor=Tai L. Chow |título=Electromagnetic theory |títulotrad=Teoria eletromagnética |ano=2006 |página=395 |publicado=''Jones and Bartlett'' |local=''Sudbury, Massachusetts'' |isbn=0-7637-3827-1 |url=https://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153 |língua=en }}</ref> Isso geralmente é descrito dizendo que o campo elétrico e o campo magnético são dois aspectos inter-relacionados de um único objeto, chamado [[campo eletromagnético]]. De fato, todo o campo eletromagnético pode ser representado em um único tensor de nível 2 chamado [[tensor eletromagnético]]; Veja abaixo.

===Problema do ímã e do condutor em movimento===
<!-- {{Artigo principal|:en:Moving magnet and conductor problem}} (na enwiki) -->
Um exemplo famoso da mistura de fenômenos elétricos e magnéticos em diferentes quadros de referência é chamado de "problema do ímã e do condutor em movimento", citado por Einstein em seu artigo de 1905 sobre a relatividade especial.

Se um condutor se move com uma velocidade constante através do campo de um ímã estacionário, [[Corrente de Foucault|correntes circulares]] serão produzidas devido a uma força ''magnética'' nos elétrons do condutor. No referencial de repouso do condutor, por outro lado, o ímã estará em movimento e o condutor estacionário. A teoria eletromagnética clássica prevê que precisamente as mesmas correntes circulares microscópicas serão produzidas, mas elas serão devidas a uma força ''elétrica''.<ref>{{Citar livro |autor=David J. Griffiths |título=Introduction to electrodynamics |títulotrad=Introdução à eletrodinâmica |ano=1999 |edição=3ª |páginas=[https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0/page/478 478 – 479] |publicado=''Prentice Hall'' |isbn=0-13-805326-X |url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0/page/478 |língua=en }}
</ref>

==Formulação covariante no vácuo==
As leis e objetos matemáticos no eletromagnetismo clássico podem ser escritos de uma forma que é manifestamente covariante{{Ill|en||Manifest covariance|nlk=true}}. Aqui, isso é feito apenas para o vácuo (ou para as equações microscópicas de Maxwell, não usando as descrições macroscópicas de materiais como a [[Permissividade|permissividade elétrica]]) e usa [[Sistema Internacional de Unidades|unidades do S.I.]].

Esta seção usa a [[notação de Einstein]], incluindo a convenção de soma de Einstein. Consulte também [[cálculo de Ricci]] para obter um resumo das notações de índice tensorial e [[Elevação e abaixamento de índices em tensores|índices de aumento e diminuição]] para definição de índices sobrescritos e subscritos e como alternar entre eles. O tensor métrico Minkowski{{Ill|en||Minkowski metric tensor|nlk=true}} η aqui tem [[assinatura métrica]] (+ − − −).

===Tensor de campo e 4-corrente===
{{Artigo principal|Tensor eletromagnético{{!}}Tensor de campo eletromagnético}}
As transformações relativísticas acima sugerem que os campos elétrico e magnético estão acoplados, em um objeto matemático com 6 componentes: um [[tensor]] [[Tensor antissimétrico|antissimétrico]] de segunda ordem, ou um bivetor{{Ill|en||Bivector|nlk=true}}. Isso é chamado de tensor do campo eletromagnético, geralmente escrito como ''F''<sup>μν</sup>. Em forma de matriz:<ref name="Griffiths, David J. 1998 557">{{Citar livro |página=[https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0/page/557 557] |autor=Griffiths, David J. |título=Introduction to electrodynamics |títulotrad=Introdução à eletrodinâmica |edição=3ª |publicado=''Prentice Hall'' |ano=1998 |isbn=0-13-805326-X |url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0/page/557 |língua=en }}</ref>

:<math>F^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
  0     & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
  E_x/c &  0     & -B_z   &  B_y \\
  E_y/c &  B_z   &  0     & -B_x \\
  E_z/c & -B_y   &  B_x   &  0
\end{pmatrix}</math>

onde ''c'' a [[velocidade da luz]] - em [[unidades naturais]] ''c'' = 1.

Existe outra forma de fundir os campos elétrico e magnético em um tensor antissimétrico, substituindo '''E'''/''c'' → '''B''' e '''B''' → − '''E'''/''c'', para obter o tensor dual{{Ill|en||Hodge star operator|nlk=true}} ''G''<sup>μν</sup>.

No contexto da [[Relatividade restrita|relatividade especial]], ambos se transformam de acordo com a [[transformação de Lorentz]] de acordo com

: <math>F'^{\alpha \beta} = \Lambda^\alpha_\mu \Lambda^\beta_\nu F^{\mu \nu}</math>,

onde Λ<sup>α</sup><sub>ν</sub> é o tensor da transformação de Lorentz para uma mudança de um referencial para outro. O mesmo tensor é usado duas vezes na soma.

A carga e a densidade de corrente, as fontes dos campos, também se combinam no [[quadrivetor]]

: <math>J^\alpha = \left(c \rho, J_x, J_y, J_z \right)</math>

chamado de [[quadricorrente]].

===Equações de Maxwell na forma tensorial===
{{Artigo principal|:en:Covariant formulation of classical electromagnetism}}

Usando esses tensores, as equações de Maxwell se reduzem a:<ref name="Griffiths, David J. 1998 557"/>

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Equações de Maxwell''' ''(formulação covariante)''
|equation=<math>\begin{align}
  \frac{\partial F^{\alpha \beta}}{\partial x^\alpha} &= \mu_0 J^\beta \\[3pt]
  \frac{\partial G^{\alpha \beta}}{\partial x^\alpha} &= 0 
\end{align}</math> 
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4
}}

onde as derivadas parciais podem ser escritas de várias maneiras, ver 4-gradiente{{Ill|en||Four-gradient|nlk=true}}. A primeira equação listada acima corresponde tanto à [[lei de Gauss]] (para β = 0) quanto à [[Lei de Ampère|lei de Ampère – Maxwell]] (para β = 1, 2, 3). A segunda equação corresponde às duas equações restantes, a [[lei de Gauss para o magnetismo]] (para β = 0) e a [[Lei de Faraday-Neumann-Lenz|lei de Faraday]] (para β = 1, 2, 3).

Essas equações de tensores são manifestamente covariantes{{Ill|en||Manifest covariance|nlk=true}}, o que significa que as equações podem ser vistas como covariantes pelas posições do índice. Esta forma abreviada de escrever as equações de Maxwell ilustra uma ideia compartilhada entre alguns físicos, ou seja, que as leis da física assumem uma forma mais simples quando escritas usando [[tensor]]es.

Ao [[Elevação e abaixamento de índices em tensores|diminuir os índices]] de ''F''<sup>αβ</sup> para obter ''F''<sub>αβ</sub>:

: <math>F_{\alpha\beta} = \eta_{\alpha\lambda} \eta_{\beta\mu} F^{\lambda\mu} </math>


a segunda equação pode ser escrita em termos de ''F''<sub>αβ</sub> como:

: <math> \epsilon^{\delta\alpha\beta\gamma} \dfrac{\partial F_{\beta\gamma}}{\partial x^\alpha} = \dfrac{\partial F_{\alpha\beta}}{\partial x^\gamma} + \dfrac{\partial F_{\gamma\alpha}}{\partial x^\beta} + \dfrac{\partial F_{\beta\gamma}}{\partial x^\alpha} = 0 </math>

onde <math> \epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}</math> é o [[símbolo de Levi-Civita]] contravariante. Observe a [[Permutação circular|permutação cíclica]] dos índices nesta equação: <math>\begin{array}{rc}
&  \scriptstyle{\alpha\,\, \longrightarrow \,\, \beta}  \\
&  \nwarrow_\gamma \swarrow  
\end{array}
</math>.

Outro objeto eletromagnético covariante é o [[tensor eletromagnético de tensão–energia]], um tensor covariante de classificação 2 que inclui o [[vetor de Poynting]], o [[tensor de tensão de Maxwell]] e a densidade de energia eletromagnética.

===4-potencial===
{{Artigo principal|Quadripotencial eletromagnético{{!}}4-potencial}}
O tensor de campo eletromagnético também pode ser escrito<ref name =DJ_Griffiths>{{Citar livro |autor=DJ Griffiths |título=Introduction to electrodynamics |títulotrad=Introdução à eletrodinâmica |publicado=''Pearson/Addison-Wesley'' |ano=1999 |local=''Saddle River, NJ'' |página=[https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0/page/541 541] |isbn=0-13-805326-X |url=https://archive.org/details/introductiontoel00grif_0/page/541 |língua=en }}</ref>

: <math> F^{\alpha \beta} = \frac {\partial A^\beta}{\partial x_\alpha} - \frac {\partial A^\alpha}{\partial x_\beta} \, ,</math>

onde

: <math> A^\alpha = \left(\frac{\varphi}{c}, A_x, A_y, A_z\right)\,, </math>

é o [[Quadripotencial eletromagnético|quadripotencial]] e

: <math>x_\alpha = (ct, -x, -y, -z ) </math>

é a quadriposição{{Ill|en||Four-vector#Four-position|nlk=true}}.
<!-- {{Artigo principal|:en:Covariant formulation of classical electromagnetism}} -->
Usando o potencial 4 no medidor de Lorenz, uma formulação alternativa manifestamente covariante pode ser encontrada em uma única equação (uma generalização de uma equação devido a [[Bernhard Riemann]] por [[Arnold Sommerfeld]], conhecida como a equação de Riemann – Sommerfeld,<ref>
{{Citar livro |título=Collective electrodynamics: Quantum foundations of electromagnetism |títulotrad=Eletrodinâmica coletiva: fundamentos do eletromagnetismo quânticos |autor=Carver A. Mead |publicado=''M.I.T. press'' |isbn=978-0-262-63260-7 |páginas=37–38 |url=https://books.google.com/books?id=GkDR4e2lo2MC&q=Riemann+Summerfeld&pg=PA37 | data=07-08-2002 |língua=en }}</ref> ou a forma covariante das equações de Maxwell<ref>
{{Citar livro |título=High-field electrodynamics |títulotrad=Eletrodinâmica de alto campo |autor=Frederic V. Hartemann |publicado=''CRC press'' |ano=2002 |isbn=978-0-8493-2378-2 |página=102 |url=https://books.google.com/books?id=tIkflVrfkG0C&q=d%27Alembertian+covariant-form+maxwell-lorentz&pg=PA102 |língua=en }}</ref>):

{{Equation box 1
|indent=:
|title='''Equações de Maxwell''' ''(formulação covariante do [[Condição gauge de Lorenz|medidor de Lorenz]])''
|equation=<math>\Box A^\mu  = \mu_0 J^\mu</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA
}}

onde <math>\Box</math> é o [[Operador de d'Alembert|operador d'Alembertiano]], ou 4-laplaciano.

==Ver também==
* [[Eletromagnetismo relativístico]]
* Descrições matemáticas do campo eletromagnético{{Ill|en||Mathematical descriptions of the electromagnetic field|nlk=true}}

{{Referências}}

[[Categoria:Eletromagnetismo]]
[[Categoria:Relatividade especial]]