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[[Imagem:Conicas1.PNG|thumb|200px|Uma elipse é a intersecção de uma superfície cônica com um plano que a corta numa curva fechada.]]
Em [[geometria]], uma '''elipse''' é um tipo de [[cónica|seção cônica]]: se uma superfície cônica é cortada com um plano que não passe pela base e que não intersete as duas folhas do cone, a interseção entre o [[cone]] e o [[plano (geometria)|plano]] é uma elipse. Para uma prova elementar disto, veja [[esferas de Dandelin]].

Em alguns contextos, pode-se considerar o [[círculo]] e o [[segmento de reta]] como casos especiais de elipses; no caso do círculo, o plano que corta o cone é paralelo à sua base.

A elipse tem dois [[Foco (geometria)|focos]], que no caso do círculo são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos chama-se eixo maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e é perpendicular a ele chama-se eixo menor. Fixando o comprimento do eixo maior e diminuindo o comprimento do eixo menor, obtêm-se elipses cada vez mais próximas de um segmento de reta. A elipse é também a intersecção de uma superfície cilíndrica com um plano que a corta numa curva fechada.

As medidas da elipse são dadas pela metade dos eixos maior e menor sendo chamadas, respetivamente, de semieixo maior (<math>a</math>) e semieixo menor (<math>b</math>).

== Equações ==
[[Imagem:Elipse.svg|thumb|200px|Uma elipse e algumas de suas propriedades. <math>c = a \cdot e</math>]]

=== Coordenadas cartesianas ===
{{AP|Sistema de coordenadas cartesiano|Sistema de coordenadas}}
Algebricamente, uma elipse é a [[curva]] no [[plano cartesiano]] definida por uma equação da forma

<math display="block">A x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0</math>

tal que 

<math display="block">B^2 < 4 AC,</math> onde todos os coeficientes são [[Número real|reais]], e onde mais de uma solução, definindo um par de pontos (<math>x , y</math>) na elipse, existe. O caso <math>A = C, A \ne 0, B = 0</math> corresponde ao círculo. Quando os eixos da elipse são [[paralelismo|paralelos]] aos eixos coordenados, a equação anterior torna a forma mais simples:

<math display="block">\left(\frac{x-h}{a}\right)^2 +\left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1,</math> 

onde (<math>h ,k</math>) é o centro da elipse, e <math>a</math> e <math>b</math> são os semieixos da elipse.

Outras equações úteis:

1) Centro na origem:

a) Eixo maior [[paralelismo|paralelo]] ao eixo <math>x:</math> 
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math>

b) Eixo maior paralelo ao eixo <math>y:</math> 
<math>\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1</math>

2) Centro como um vértice, geralmente apresentado como <math>C~(h,k):</math> 

a) Eixo maior paralelo ao eixo <math>x:</math> 
<math>\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1</math>

b) Eixo maior paralelo ao eixo <math>y:</math> 
<math>\frac{(x-h)^2}{b^2} + \frac{(y-k)^2}{a^2} = 1</math>

=== Coordenadas polares ===
Em [[coordenadas polares]], existem duas formas principais de se descrever a elipse:

a) Com origem no centro da elipse:
<math>r = \frac{ab}{\sqrt{a^2\operatorname{sen}^2\theta+b^2\cos^2\theta}}</math>

b) Com origem em um dos focos:
<math>r = \frac {a (1 - e^2)} {1 + e \cos \theta},</math> sendo ''e'' a [[Excentricidade (matemática)|excentricidade]].

Essa forma é muito conveniente para aplicações em [[mecânica celeste]], neste caso o ângulo <math>\theta</math> é chamado de [[anomalia verdadeira]] e é representado pela letra grega <math>\nu</math> ([[Ν|nu ou ni]])

==== Coordenadas paramétricas ====
<math>\left\{
\begin{matrix}
x & = & h + a.\cos(t) \\
y & = & k + b.\operatorname{sen}(t)
\end{matrix}
\right.</math>

== A elipse como lugar geométrico ==
[[Imagem:ElipseAnimada.gif|thumb|200px|A elipse pode ser construída usando-se dois [[prego]]s, um [[barbante]] e um [[lápis]].]]
A elipse é o conjunto dos pontos <math>P</math> do plano tais que a soma das distâncias de <math>P</math> a dois pontos fixos <math>F_1~e~F_2</math> (focos) é constante. O [[teorema de Dandelin]] mostra que esta caracterização da elipse é equivalente à definição como secção cónica.

Ou seja, se <math>dist(F_1, F_2) = 2c,</math> então a elipse é o conjunto dos pontos <math>P</math> tais que <math>dist(P, F_1) + dist(P, F_2) = 2a</math> em que <math>a > c</math> (no caso especial do círculo, os pontos <math>F_1~e~F_2</math> coincidem então <math>c = 0~e~a = r,</math> com <math>r</math> sendo o [[Raio (geometria)|raio]] do círculo).

A excentricidade da elipse é definida por <math>e = \frac{c}{a}.</math> A excentricidade também pode ser calculada pelo ângulo característico (<math>\alpha </math>) da elipse.<ref>{{citar livro |ultimo1=Brito |primeiro1=H. |ultimo2=Santos |primeiro2=M. A. C. |ultimo3=Mendes |primeiro3=R. L. T. |ultimo4=Matos |primeiro4=F. C. |numero-autores=4 |ano=2020 |anooriginal= |capitulo=Novas abordagens no estudo das elipses |urlcapitulo=https://www.atenaeditora.com.br/post-artigo/41350 |editor-sobrenome1=Silva |editor-nome1=A. J. N. |título=A Educação enquanto Fenômeno Social: Política, Economia, Ciência e Cultura |url=https://www.atenaeditora.com.br/post-ebook/3631 |volume=3 |local=Ponta Grossa |editora=Atena |doi=10.22533/at.ed.33420051116 |isbn=978-65-5706-533-4 |acessodata=2020-11-26}}</ref>

<math>e=\sqrt\tfrac{2 \cdot cos (\alpha)}{1+cos (\alpha)}</math>

Tem-se <math>0\le e<1</math> (de novo, <math>e = 0</math> apenas no caso da circunferência, o caso <math>e = 1</math> corresponderia ao [[segmento de reta]], mas normalmente <math>e = 1</math> corresponde a uma [[parábola]]). Se <math>a</math> for o semi-eixo maior e <math>b</math> o semi-eixo menor da elipse, então pelo [[teorema de Pitágoras]] vem

<math display="block">e =\frac{\sqrt{{a^2}-{b^2}}}{a}</math>

Em [[geodésia]] e [[cartografia]], é usado o conceito de [[achatamento]] (para se referir ao [[elipsoide de referência]]), definido por <math>f = \frac{(a - b)}{a}.</math> Como este valor é sempre muito pequeno, ele costuma ser apresentado por seu inverso. Por exemplo, o achatamento do [[WGS 84|WGS 1984]] é <math>\frac {1} {298.257 223 563}.</math> 

=== Características ===
<math display="inline">\overline{AB} = 2a = \textrm{Eixo}\ \textrm{Maior,}</math> <math display="inline">\overline{CD} = 2b = \textrm{Eixo}\ \textrm{Menor,}</math> 

<math display="inline">\overline{F_1F_2} = 2c = \textrm{Distancia}\ \textrm{Focal.}</math>

O centro da elipse é ponto <math>O = (0,0)</math>. Os focos da elipse encontram-se nos pontos:

<math>F_1 = (-c,0)\  \textrm{e}\  F_2 = (c,0).</math>

Temos, pelo Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo <math>COF_2</math> (ou ao <math>COF_1,</math> ou ainda ao <math>DOF_2</math>), que:

<math display="block">a^2 = b^2 + c^2</math>

Este resultado decorre da definição da  elipse: a soma das distâncias de qualquer ponto <math>P</math> sobre a elipse até os focos é sempre <math>2a</math>. Em símbolos:

<math display="block">\overline{PF_2} + \overline{PF_1} = 2a</math>

Então, utilizando seguimentos de retas iguais, temos:

<math display="block">\overline{CF_1} + \overline{CF_2} = 2a \Rightarrow \overline{CF_1} = a \,\, \textrm{ou} \,\,
\overline{DF_1} + \overline{DF_2} = 2a \Rightarrow \overline{DF_1} = a</math> 

o símbolo matemático "<math>\Rightarrow</math>" significa "implica".<!-- Nota: (parcialmente incorporada em 2007-04-19)
Ok, esqueci do caso degenerado de um segmento de reta. Tentei incluir alguns casos, mas não sei se ficou bom //-->

== Área ==
A [[área]] de uma elipse com semieixo maior <math>a</math> e semieixo menor <math>b</math> é igual a <math>\pi ab</math> (semieixo significa metade do eixo). Se a excentricidade da elipse é nula, os semieixos são iguais <math>(a = b = r),</math> ficamos então com um círculo de raio <math>r.</math> Neste caso, a fórmula da área resulta na expressão mais conhecida para a área de um círculo: <math>\pi ab = \pi r r = \pi r^2.</math> 

== Propriedade refletora ==
[[Imagem:Ellipse tangente.png|thumb|200px|direita|As linhas FM e F'M formam ângulos iguais com a tangente à elipse no ponto M.]]

A elipse tem a propriedade de que a bissectriz do ângulo formado pelos dois focos e por um ponto qualquer da elipse (como vértice) é perpendicular à tangente à elipse nesse ponto.

Como consequência, qualquer raio luminoso ou onda sonora, que parta de um dos focos, será reflectido pela elipse na direcção do outro foco.

=== Particularidades ===
Segundo esta propriedade, numa mesa de [[bilhar]] elíptica, qualquer choque entre duas bolas, acontecido num foco, será refletido e fará bater em uma terceira bola estacionada no outro foco.

Num plano de três dimensões, esse é o princípio da sala de sussurro que existe em museus e exposições: duas pessoas estacionadas nos focos de um [[elipsoide]] podem conversar entre si em voz baixa e mesmo assim serem ouvidas por uma pessoa estacionada no outro foco. No [[Capitólio dos Estados Unidos]] há uma sala elíptica onde a propriedade refletora da elipse teria sido usada pelo presidente [[John Quincy Adams]] para escutar conversas que decorriam do outro lado da sala.

Outro fato curioso sobre as elipses é que, trabalhando com sua excentricidade (<math>e = \frac{c}{a}</math>), podemos obter tanto circunferências (casos de excentricidade nula e, portanto, com distância focal igual a zero) quanto segmentos de reta (casos de excentricidade igual a <math>1,</math> ou seja, a distância focal coincide com o tamanho do eixo maior).

O acompanhamento por [[telescópio Hubble|telescópio]] do reflexo da intensa luminosidade de uma [[supernova]] nos gases e poeira que se encontram sobre o [[elipsoide]], cujos focos são a supernova e a [[Terra]], tem permitido compreender melhor a estrutura do [[meio interestelar]].<ref>[http://www.noao.edu/outreach/press/pr05/pr0512.html Ecos de antigas supernovas {{en}}][[Língua inglesa|inglês]]<span>)</span>[[Língua inglesa|inglês]]<span>)</span></ref>

== Primeira lei de Kepler ==
A [[Leis de Kepler|primeira lei de Kepler]] afirma que a [[órbita]] dos [[planeta]]s em redor do [[Sol]] é elíptica, estando o Sol num dos focos. Dos seis [[elementos orbitais]] necessários para descrever completamente a órbita do planeta dois são os parâmetros que definem a elipse.

== Ver também ==
* [[Cônicas]]
* [[Elipsoide]]
* [[Elipsoide de referência]]
* [[Esferoide]]
* [[Isocírculo]]
* [[Lugar geométrico]]
* [[Órbita]]
* [[Superelipse]]
* [[Comprimento da circunferência]]

{{Referências}}

== Bibliografia ==
* [[Theodoro Braga|Braga, Theodoro]] - ''Desenho linear geométrico''. Ed. Cone, São Paulo: 1997 ISBN 8-527-40497-4 .
* [[Benjamim de Carvalho|A. Carvalho, Benjamim]] - ''Desenho Geométrico''. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982 {{OCLC|46751346}}.
* [[Affonso Rocha Giongo|Giongo, Affonso Rocha]] - ''Curso de Desenho Geométrico''. Ed. Nobel, São Paulo: 1954 {{OCLC|819663445}}.
* [[Denis Mandarino|Mandarino, Denis]] - ''Desenho Geométrico, construções com régua e compasso''. Ed. Plêiade, São Paulo: 2007 ISBN 978-85-7651-045-1 [http://www.editorapleiade.com.br/detalheslivro.php?cod=178 Livro].
* Marmo, Carlos - ''Desenho Geométrico''. Ed. Scipione, São Paulo: 1995 ISBN 85-262-2192-2 e ISBN 85-262-2190-6 .
* Putnoki, José Carlos - ''Elementos de geometria e desenho geométrico''. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990 ISBN 8-526-21467-5 .

== Ligações externas ==
* {{Citar livro|nome=Jacir J. |sobrenome=Venturi |título=Cônicas e Quádricas |edição= 5 |local= Curitiba |editora=Unificado |ano=2003 |páginas=246 |id=ISBN 8585132485 |url=http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/cq.pdf }}
* [http://www.stefanelli.eng.br/webpage/v_elipse.html Animação 3D de um plano seccionando um cone e definindo a curva cônica elipse]
* {{Link|en|2=http://www.mygeometryteacher.com/ |3=Construir objetos geometria analítica}}
* [[Alfred North Whitehead]]: ''An Introduction to Mathematics''. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp.&nbsp;121 [http://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA121#v=onepage&q&f=false]
* George Wentworth: ''Junior High School Mathematics: Book III''. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp.&nbsp;265 [http://books.google.com/books?id=cPlTB4qe40MC&pg=PA265]
* Robert Clarke James, Glenn James: ''Mathematics Dictionary''. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p.&nbsp;255 [http://books.google.com/books?id=UyIfgBIwLMQC&pg=PA255#v=onepage&q&f=false]

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