Mostrar código-fonte de Energia do grafo

Os primeiros estudos sobre a energia de grafos se deram no inicio dos anos 30, tendo origem em pesquisas sobre química quântica <ref>E. Hückel. Quantentheoretische beitrage zum benzolproblem. Z. Phys. 70 (1931), 204-286.</ref>. Nestes trabalhos, grafos foram utilizados para representar moléculas de hidrocarbonetos, com o propósito de determinar os níveis energéticos de alguns elétrons. Estas informações eram obtidas através da soma dos módulos dos autovalores do grafo associado a molécula em questão. Contudo, a energia de um grafo foi definida pela primeira vez  apenas em 1978 por [[Ivan Gutman]]<ref> I. Gutman, The energy of a graph, Ber. Math. Statist. Sekt. Forschungszenturm Graz., 103(1978), 1-22.</ref>.

==Definição==
Em [[teoria espectral de grafos]], a '''energia de um grafo''' é um parâmetro definido como a soma dos valores absolutos dos [[autovalores]] da sua [[matriz de adjacência]]. Mais precisamente, sejam  <math>\lambda_1\geq\lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_n</math> todos os autovalores da matriz de adjacência do grafo <math>G</math>. Assim, sua energia é definida como:

<math>E(G) = \sum_{i=1}^n|\lambda_i|,</math>

==Energia de uma matriz==
Nikiforov<ref>V. Nikiforov. The energy of graphs and matrices. J. Math. Anal. Appl. 326 (2007), 1472-1475.</ref> estendeu o conceito de energia de um grafo para matrizes reais. Considere <math>M</math>a matriz real (não necessariamente quadrada), sua energia é definida como a soma dos seus valores singulares. Vamos recordar que um [[valor singular]] da matriz <math>M</math>, é a raiz quadrada de um dos autovalores da matriz <math>MM^T</math>.  Mais precisamente, sejam <math>\sigma_1\geq\sigma_2\geq\cdots\geq\sigma_n</math> todos os valores de singulares de <math>M</math>, assim a sua energia é definida por: 

<math>E(M) = \sum_{i=1}^n\sigma_i</math>

Nestas condições, vale destacar que a energia de um grafo <math>G</math>, é igual a energia da sua matriz de adjacência.

==Outras energias==
Além da energia usual de um grafo <math>G</math>, atualmente pesquisadores tem estudado energias associadas a outras matrizes relacionadas com um grafo. 
Seja <math>G</math> um grafo com <math>n</math> vértices e <math>m</math> arestas e <math>I</math> é a matriz identidade . Assim definimos:

A energia Laplaciana<ref>I. Gutman, B. Zhou, Laplacian energy of a graph, Lin. Algebra Appl. 414 (2006) 29–37.</ref>, definida como <math>LE(G) = E\left(L(G)-\frac{2m}{n}I\right)</math>, onde <math>L(G)</math> é [[matriz Laplaciana]] do grafo <math>G</math>.

A energia Laplaciana sem sinal<ref>I. Gutman,  M. Robbiano, E. Martins, D. Cardoso, L. Medina, and O. Rojo. Energy of line graphs. Linear Algebra and its Applications 433 (2010) 1312–1323</ref>, definida como <math>QE(G) = E\left(Q(G)-\frac{2m}{n}I\right)</math>, onde <math>Q(G)</math> é [[matriz Laplaciana sem sinal]] do grafo <math>G</math>.

A energia de incidência<ref>M. Jooyandeh, D. Kiania and M. Mirzakhaha. Incidence energy of a graph. MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 62 (2009),
561-572.</ref>, definida como <math>BE(G) = E(B(G))</math>, onde <math>B(G)</math> é [[matriz de incidência]] do grafo <math>G</math>.  

{{referências}}

== Ver também ==
{{Portal3|Matemática}}

{{Esboço-matemática}}

[[Categoria:Combinatória]]
[[Categoria:Teoria dos grafos]]