Mostrar código-fonte de Energia potencial gravitacional

{{Mais notas|data=dezembro de 2020}}
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[[Imagem:Solar sys8.jpg|right|200px|thumb|A '''força gravitacional''' mantém os planetas em órbita ao redor do sol.]]

A '''energia potencial gravitacional''' ou '''energia gravitacional''' é a [[energia potencial]] que um objeto [[Massa|massivo]] tem em relação a outro objeto massivo devido à [[gravidade]]. É a energia potencial associada ao [[campo gravitacional]], que é parcialmente convertida em [[energia cinética]] quando os objetos caem uns contra os outros. A energia potencial gravitacional aumenta quando dois objetos são separados.

Para duas partículas pontuais que interagem em pares, a energia gravitacional é determinada pelas [[Massa|massas]] das partículas, sua separação e a [[Constante gravitacional universal|constante gravitacional]] ({{math|''G''}}).<ref name="gpe2">{{cite web |ultimo= |primeiro= |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/gpot.html |title=Gravitational Potential Energy |data= |accessdate=22 Novembro 2020 |website=hyperphysics.phy-astr.gsu.edu |publicado=}}</ref> Perto da superfície da Terra, o campo gravitacional é aproximadamente constante, e a energia potencial gravitacional <math>U</math> de um objeto pode ser expressa por

:<math>U = mgh</math> .

Nessa expressão <math>m</math> é a massa do objeto, <math>g</math> é a [[gravidade da Terra]] e <math>h</math> é a altura do [[Centro de massas|centro de massa]] do objeto acima de um nível de referência escolhido.<ref name="gpe2" />

== Expressão genérica ==
=== Corpos pontuais ===
Sabe-se que o campo das [[força gravitacional|forças gravitacionais]] entre dois corpos pontuais 1 e 2, cuja posição relativa e o vetor <math>\vec r</math> é:

: <math>\vec F\left(\vec r\right) = \frac{G\cdot m_1\cdot m_2} {\left\|\vec r \right\|^3} \vec r</math>

onde G representa a [[constante de gravitação universal]], m<sub>1</sub> e m<sub>2</sub> representam as [[massa]]s em interação, <math> \vec r </math> representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e <math> r = \| \vec r \| = \sqrt{\vec r . \vec r}</math> representa o módulo (tamanho) do vetor <math> \vec r </math>, ou seja, a distância entre as massas.

Sendo o campo gravitacional um [[campo conservativo]], é possível definir o seu potencial como uma função <math>U\left(\vec r\right)</math> tal que:

: <math>\nabla U\left(\vec r\right) = -\vec F\left(\vec r\right)</math>

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

: <math>\vec F\left(\vec r\right) = \left( -\frac{\partial U\left(\vec r\right)}{\partial x}, -\frac{\partial U\left(\vec r\right)}{\partial y}, -\frac{\partial U\left(\vec r\right)}{\partial z} \right)</math>

Logo, a função potencial é: 

: <math>U\left(\vec r\right)=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2} {\left\|\vec r \right\|}</math>

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

: <math>U\left(r\right)=-\frac{G\cdot m_1\cdot m_2}r</math>

Considerando que se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

: <math>\Delta U = - \int\vec F\left(\vec r\right)d\vec r</math>

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.

=== Corpos extensos ===
Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se ao cálculo de um integral de volume sobre os dois corpos a fim de se determinar a soma das interações gravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais se dividem os corpos. Tal cálculo é dependente da geometria dos corpos, podendo ser complexo em certos casos. Contudo [[Newton]] mostrou, com o uso do [[cálculo diferencial e integral]], que pontos externos a uma esfera com distribuição simétrica de massa se encontram sujeitos a potenciais gravitacionais por ela determinados completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula pontual localizada no centro da esfera, desde que a essa partícula se associe uma massa igual à massa de toda a esfera original. Newton demonstrou também que a expressão geral acima é válida para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetria esférica (formado por cascas homogêneas).  Esta expressão pode assim, por exemplo, ser utilizada para aproximar com alta precisão a energia potencial armazenada no sistema Terra - Lua, sendo que a distância a considerar-se é, neste caso, a distância entre os centros dos astros em questão.

== Mecânica newtoniana ==
Na mecânica clássica, duas ou mais massas sempre têm potencial gravitacional. A conservação da energia requer que a energia desse campo gravitacional seja sempre negativa, de modo que seja zero quando os objetos estão infinitamente distantes.<ref>For a demonstration of the negativity of gravitational energy, see [[Alan Guth]],'' The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins'' (Random House, 1997), {{ISBN|0-224-04448-6}}, Appendix A—Gravitational Energy.</ref> A energia potencial gravitacional é a energia potencial que um objeto possui porque está dentro de um campo gravitacional.

A força entre uma massa pontual, <math>M</math>, e outra massa pontual, <math>m</math>, é dada pela [[Lei da gravitação universal|lei da gravitação de Newton]]: <math>F = G\frac {mM}{r^2}</math>

Para obter o trabalho total realizado por uma força externa para trazer a massa pontual <math>m</math> do infinito para a distância final <math>R</math> (por exemplo, o raio da Terra) dos dois pontos de massa, a força é integrada em relação ao deslocamento :

: <math>W=\int_\infty^R G\frac {mM}{r^2}dr = </math> <math>-G\left . {mM\over r} \right \vert _{\infty}^{R}</math>
Como <math>\lim_{r\rightarrow \infty}\frac{1}{r}=0</math>, o trabalho total realizado no objeto pode ser escrito como:<ref>{{cite book |title=Physics for the IB Diploma Full Colour |edition=revised |first1=K. A. |last1=Tsokos |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2010 |isbn=978-0-521-13821-5 |page=143 |url=https://books.google.com/books?id=uWVQIaZqz_MC}} [https://books.google.com/books?id=uWVQrIZqz_MC&pg=PA143 Extract of page 143]</ref>

<math>U = -G\frac {mM}{R}</math>

== Relatividade geral ==
Na [[relatividade geral]], a energia gravitacional é extremamente complexa e não há uma definição única do conceito. Às vezes, é modelado por meio do [[:en:Pseudotensor|pseudotensor Landau-Lifshitz]]<ref>[[Lev Davidovich Landau]] & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, ''The Classical Theory of Fields'', (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7</ref>, que permite a retenção das leis de conservação de energia-momento da [[mecânica clássica]].

A adição do tensor tensão-energia-momento da matéria ao pseudotensor Landau-Lifshitz resulta em uma matéria combinada mais pseudotensor de energia gravitacional que tem uma [[Quadrivetor|4-]][[divergência]] de desaparecimento em todos os quadros - garantindo a [[lei de conservação]]. Algumas pessoas objetam a esta derivação alegando que os pseudotensores são inadequados na relatividade geral, mas a divergência do pseudotensor de matéria combinada mais energia gravitacional é um [[tensor]]. 

== Aproximação para campo gravitacional uniforme ==
Considerando o campo gravitacional próximo da superfície da Terra como uniforme (assumindo as [[Linha de campo|linhas de campo]] paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

: <math>\vec F\left(x, y, z\right) = \left(0, 0, -mg\right)</math>

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

: <math>U\left(x, y, z\right) = mgz</math>

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massa vezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

: <math>U\left( h \right) = Ph = mgh</math>

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo.  Sendo a energia potencial gravitacional uma grandeza escalar cujo valor depende do nível de referência escolhido, é possível que a energia potencial gravitacional seja negativa, marca atingida se o objeto encontrar-se abaixo do nível adotado como referência, a exemplo.

A expressão para campos uniformes anterior pode também ser deduzida da expressão geral fazendo-se uma expansão em série da mesma e retendo-se apenas o termo em primeira ordem na altura.

== Ver também ==
* [[Energia potencial mecânica]]
* [[Energia potencial elástica]]

{{referências}}


{{Energias fisico-químicas}}

{{esboço-física}}

{{DEFAULTSORT:Energia Potencial Gravitacional}}
[[Categoria:Energia|Potencial Gravitacional]]
[[Categoria:Leis de conservação]]