Mostrar código-fonte de Equação de Helmholtz

{{mais notas|data=maio de 2015}}
A '''equação de Helmholtz''' é um tipo de [[equação diferencial parcial]] que é expressa da seguinte forma:

:<math>\nabla^2 A + k^2 A = 0</math>
onde &nabla;<sup>2</sup> é o [[Laplaciano]], ''k'' é o [[número de onda]], e ''A'' é a [[amplitude]].

A equação, que recebeu o nome de [[Hermann von Helmholtz]], surge em vários domínios da física e engenharia, tipicamente para descrever fenómenos físicos que são dependentes do tempo. 
Ela corresponde a um caso geral da [[Equação de Laplace]].

==Motivação e usos==
{{sem-fontes|Esta seção|data=junho de 2024}}
A equação de Helmholtz frequentemente surge no estudo de problemas físicos envolvendo [[equação diferencial parcial]] (EDP) no espaço e no tempo. A equação de Helmholtz, que representa uma forma '''independente do tempo''' da [[equação de onda]], resulta da aplicação da técnica de [[separação de variáveis]] para reduzir a complexidade da análise.

Por exemplo, considere a equação de onda
<math display="block">\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}\right) u(\mathbf{r},t) = 0.</math>

A separação de variáveis começa assumindo que a função de onda {{math|''u''('''r''', ''t'')}} é separável:
<math display="block">u(\mathbf{r},t) = A(\mathbf{r}) T(t).</math>

Substituindo esta forma na equação de onda e simplificando, obtemos a seguinte equação:
<math display="block">\frac{\nabla^2 A}{A} = \frac{1}{c^2 T} \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} t^2}.</math>

Note que a expressão do lado esquerdo depende apenas de {{math|'''r'''}}, enquanto que a expressão do lado direito depende apenas de {{mvar|t}}. Como resultado, esta equação é válida no caso geral se, e somente se, ambos os lados da equação forem iguais ao mesmo valor constante. Este argumento é fundamental na técnica de resolver equações diferenciais parciais lineares por separação de variáveis. Desta observação, obtemos duas equações, uma para {{math|''A''('''r''')}}, e outra para {{math|''T''(''t''):}}
<math display="block">\frac{\nabla^2 A}{A} = -k^2</math>
<math display="block">\frac{1}{c^2 T} \frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} t^2} = -k^2,</math>

onde escolhemos, sem perda de generalidade, a expressão {{math|−''k''<sup>2</sup>}} para o valor da constante. (É igualmente válido usar qualquer constante {{mvar|k}} como constante de separação; {{math|−''k''<sup>2</sup>}} é escolhida apenas para conveniência nas soluções resultantes.)

Rearranjando a primeira equação, obtemos a equação de Helmholtz (homogénea):
<math display="block">\nabla^2 A + k^2 A = (\nabla^2 + k^2) A = 0.</math>

Da mesma forma, após fazer a substituição {{math|1= ''ω'' = ''kc''}}, onde {{mvar|k}} é o [[número de onda]] e {{mvar|ω}} é a [[frequência angular]] (assumindo um campo monocromático), a segunda equação torna-se

<math display="block">\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d} t^2} + \omega^2 T = \left( \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} t^2} + \omega^2 \right) T = 0.</math>

Agora temos a equação de Helmholtz para a variável espacial {{math|'''r'''}} e uma [[equação diferencial ordinária]] de segunda ordem no tempo. A solução no tempo será uma [[combinação linear]] de funções [[seno]] e [[cosseno]], cuja forma exata é determinada pelas condições iniciais, enquanto a forma da solução no espaço dependerá das [[condições de fronteira]]. Alternativamente, [[transformadas integrais]], como a [[transformada de Laplace|Laplace]] ou [[transformada de Fourier]], são frequentemente usadas para transformar uma [[equação diferencial parcial hiperbólica]] numa forma da equação de Helmholtz.

Devido à sua relação com a equação de onda, a equação de Helmholtz surge em problemas em áreas da [[física]] como o estudo da [[radiação eletromagnética]], [[sismologia]] e [[acústica]].

==Resolução da equação de Helmholtz usando separação de variáveis==

A solução para a equação de Helmholtz espacial:
<math display="block"> \nabla^2 A = -k^2 A </math>
pode ser obtida para geometrias simples usando a [[separação de variáveis]].

===Membrana vibrante===
{{sem-fontes|Esta seção|data=junho de 2024}}
O análogo bidimensional da corda vibrante é a membrana vibrante, com as bordas fixadas para serem imóveis. A equação de Helmholtz foi resolvida para muitas formas básicas no século XIX: a membrana retangular por [[Siméon Denis Poisson]] em 1829, o [[triângulo equilátero]] por [[Gabriel Lamé]] em 1852 e a membrana circular por [[Alfred Clebsch]] em 1862. A cabeça de tambor elíptica foi estudada por [[Émile Léonard Mathieu|Émile Mathieu]], levando à [[equação diferencial de Mathieu]].

Se as bordas de uma forma são segmentos de linha reta, então uma solução é integrável ou conhecível em forma fechada apenas se for expressável como uma combinação linear finita de ondas planas que satisfazem as condições de fronteira (zero na fronteira, ou seja, membrana fixada).

Se o domínio é um círculo de raio {{mvar|a}}, então é apropriado introduzir coordenadas polares {{mvar|r}} e {{mvar|θ}}. A equação de Helmholtz toma a forma
<math display="block">A_{rr} + \frac{1}{r} A_r + \frac{1}{r^2}A_{\theta\theta} + k^2 A = 0.</math>

Podemos impor a condição de fronteira de que {{mvar|A}} desaparece se {{math|1= ''r'' = ''a''}}; assim
<math display="block">A(a,\theta) = 0.</math>

A técnica de separação de variáveis leva a soluções de teste da forma
<math display="block">A(r,\theta) = R(r)\Theta(\theta),</math>
onde {{math|Θ}} deve ser periódica de período {{math|2''π''}}. Isto leva a

<math display="block">\Theta'' + n^2 \Theta = 0,</math>
<math display="block"> r^2 R'' + r R' + r^2 k^2 R - n^2 R = 0.</math>

Segue-se da condição de periodicidade que
<math display="block"> \Theta = \alpha \cos n\theta + \beta \sin n\theta,</math>
e que {{mvar|n}} deve ser um inteiro. A componente radial {{mvar|R}} tem a forma
<math display="block"> R(r) = \gamma J_n(\rho), </math>
onde a [[função de Bessel]] {{math|''J<sub>n</sub>''(''ρ'')}} satisfaz a equação de Bessel
<math display="block"> \rho^2 J_n'' + \rho J_n' +(\rho^2 - n^2)J_n = 0, </math>
e {{math|1= ''ρ'' = ''kr''}}. A função radial {{math|''J<sub>n</sub>''}} tem infinitas raízes para cada valor de {{mvar|n}}, denotadas por {{math|''ρ''<sub>''m'',''n''</sub>}}. A condição de fronteira de que {{mvar|A}} desaparece onde {{math|1= ''r'' = ''a''}} será satisfeita se os números de onda correspondentes forem dados por
<math display="block">k_{m,n} = \frac{1}{a} \rho_{m,n}.</math>

A solução geral {{mvar|A}} então assume a forma de uma [[série de Fourier generalizada]] de termos envolvendo produtos de {{math|''J<sub>n</sub>''(''k<sub>m,n</sub>r'')}} e o seno (ou cosseno) de {{math|''nθ''}}. Estas soluções são os modos de [[Vibrações de uma membrana circular|vibração de uma cabeça de tambor circular]].

===Soluções tridimensionais===
{{sem-fontes|Esta seção|data=junho de 2024}}
Em coordenadas esféricas, a solução é:

<math display="block"> A (r, \theta, \varphi)= \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left( a_{\ell m} j_\ell ( k r ) + b_{\ell m} y_\ell(kr) \right) Y^m_\ell (\theta,\varphi) .</math>

Esta solução surge da solução espacial da [[equação de onda]] e da [[equação de difusão]]. Aqui {{math| ''j<sub>ℓ</sub>''(''kr'')}} e {{math|''y<sub>ℓ</sub>''(''kr'')}} são as [[funções de Bessel esféricas]], e {{math|''Y''{{su|p=''m''|b=''ℓ''}}(''θ'', ''φ'')}} são os [[harmónicos esféricos]] (Abramowitz e Stegun, 1964). Note que estas formas são soluções gerais e requerem [[condições de fronteira]] para serem usadas em qualquer caso específico. Para domínios exteriores infinitos, uma [[condição de radiação]] pode também ser necessária (Sommerfeld, 1949).

Escrevendo {{math|1= '''r'''<sub>0</sub> = (''x'', ''y'', ''z'')}} a função {{math|''A''(''r''<sub>0</sub>)}} tem assimptótica

<math display="block">A(r_0)=\frac{e^{i k r_0}}{r_0} f\left(\frac{\mathbf{r}_0}{r_0},k,u_0\right) + o\left(\frac 1 {r_0}\right)\text{ à medida que } r_0\to\infty</math>

onde a função {{mvar|f}} é chamada amplitude de dispersão e {{math|''u''<sub>0</sub>(''r''<sub>0</sub>)}} é o valor de {{mvar|A}} em cada ponto da fronteira {{math|''r''<sub>0</sub>.}}

====Soluções tridimensionais dada a função num plano bidimensional====
Dado um plano bidimensional onde A é conhecido, a solução para a equação de Helmholtz é dada por:<ref>Mehrabkhani, S., & Schneider, T. (2017). Is the Rayleigh-Sommerfeld diffraction always an exact reference for high speed diffraction algorithms?. Optics express, 25(24), 30229-30240.</ref>
<math display="block"> A(x, y, z) = -\frac{1}{2 \pi} \iint_{-\infty}^{+\infty} A'(x', y') \frac{e^{ikr}}{r} \frac{z}{r} \left(ik-\frac{1}{r}\right) ,dx'dy', </math>

onde

<math>A'(x', y')</math> é a solução no plano bidimensional,
<math>r = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2 + z^2},</math>
À medida que z se aproxima de zero, todas as contribuições da integral desaparecem exceto para r=0. Assim <math>A(x, y, 0)=A'(x,y)</math> até um fator numérico, que pode ser verificado como 1 transformando a integral em coordenadas polares <math>(\rho, \theta)</math>.

Esta solução é importante na teoria da [[difração]], por exemplo, na derivação da [[difração de Fresnel]].

==Aproximação paraxial==

<!-- Esta seção está ligada a [[Feixe gaussiano]] -->
{{Mais informações|Aproximação da envolvente lentamente variável}}
Na [[aproximação paraxial]] da equação de Helmholtz,<ref>{{cite book |title=Introduction to Fourier Optics |edition=2nd |author=J. W. Goodman |pages=61–62 }}</ref> a [[amplitude complexa]] {{mvar|A}} é expressa como
<math display="block">A(\mathbf{r}) = u(\mathbf{r}) e^{ikz} </math>
onde {{mvar|u}} representa a amplitude complexa que modula a onda plana sinusoidal representada pelo fator exponencial. Então, sob uma suposição adequada, {{mvar|u}} aproximadamente resolve
<math display="block">\nabla_{\perp}^2 u + 2ik\frac{\partial u}{\partial z} = 0,</math>
onde <math display="inline">\nabla_\perp^2 \overset{\text{ def }}{=} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}</math> é a parte transversal do [[operador de Laplace|Laplaciano]].

Esta equação tem aplicações importantes na ciência da [[ótica]], onde fornece soluções que descrevem a propagação de [[ondas eletromagnéticas]] (luz) na forma de ondas [[parabólicas]] ou [[feixes gaussianos]]. A maioria dos [[lasers]] emite feixes que assumem esta forma.

A suposição sob a qual a aproximação paraxial é válida é que a derivada em {{mvar|z}} da função de amplitude {{mvar|u}} é uma função lentamente variável de {{mvar|z}}:

<math display="block"> \left| \frac{ \partial^2 u }{ \partial z^2 } \right| \ll \left| k \frac{\partial u}{\partial z} \right| .</math>

Esta condição é equivalente a dizer que o ângulo {{mvar|θ}} entre o [[vetor de onda]] {{math|'''k'''}} e o eixo óptico {{mvar|z}} é pequeno: {{math|''θ'' ≪ 1}}.

A forma paraxial da equação de Helmholtz é encontrada substituindo a expressão acima para a amplitude complexa na forma geral da equação de Helmholtz como segue:

<math display="block">\nabla^{2}(u\left( x,y,z \right) e^{ikz}) + k^2 u\left( x,y,z \right) e^{ikz} = 0.</math>

A expansão e o cancelamento produzem o seguinte:

<math display="block">\left( \frac {\partial^2}{\partial x^2} + \frac {\partial^2}{\partial y^2} \right) u(x,y,z) e^{ikz} + \left( \frac {\partial^2}{\partial z^2} u (x,y,z) \right) e^{ikz} + 2 \left( \frac \partial {\partial z} u(x,y,z) \right) ik{e^{ikz}}=0.</math>

Devido à desigualdade paraxial mencionada acima, o termo {{math|∂<sup>2</sup>''u''/∂''z''<sup>2</sup>}} é negligenciado em comparação com o termo {{math|''k''·∂''u''/∂''z''}}. Isto produz a equação de Helmholtz paraxial. Substituindo {{math|1= ''u''('''r''') = ''A''('''r''') ''e''<sup>−''ikz''</sup>}} obtém-se então a equação paraxial para a amplitude complexa original {{mvar|A}}:

<math display="block">\nabla_{\perp}^2 A + 2ik\frac{\partial A}{\partial z} = 0.</math>

A [[integral de difração de Fresnel]] é uma solução exata para a equação de Helmholtz paraxial.<ref>{{Cite journal |doi = 10.1088/0150-536X/13/6/006|title = Fresnel propagation and diffraction and paraxial wave equation|journal = Journal of Optics|volume = 13|issue = 6|pages = 367–374|year = 1982|last1 = Grella|first1 = R.| bibcode=1982JOpt...13..367G }}</ref>

==Equação de Helmholtz não homogénea==
{{multiple image
|direction = horizontal
|align= right
|caption_align = left

 <!--|header = Solar cycle 24 & 25 active regions-->
|image1 = Helmholtz source.png
|image2 = Helmholtz solution.png
|caption1 = Duas fontes de radiação no plano, representadas matematicamente por uma função {{math|''f''}}, que é zero na região azul
|caption2 = A [[parte real]] do campo resultante {{mvar|A}}, {{mvar|A}} é a solução para a equação de Helmholtz não homogénea {{math|1= (∇<sup>2</sup> + ''k''<sup>2</sup>) ''A'' = −''f''.}}
}}
A '''equação de Helmholtz não homogénea''' é a equação
<math display="block">\nabla^2 A(\mathbf{x}) + k^2 A(\mathbf{x}) = -f(\mathbf{x}) \ \text { em } \R^n,</math>
onde {{math|''ƒ'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → '''C'''}} é uma função com [[suporte compacto]], e {{math|1= ''n'' = 1, 2, 3.}} Esta equação é muito semelhante à [[equação de Poisson com triagem]], e seria idêntica se o sinal de mais (na frente do termo {{mvar|k}}) fosse trocado por um sinal de menos.

Para resolver esta equação de forma única, é necessário especificar uma [[condição de fronteira]] no infinito, que é tipicamente a [[condição de radiação de Sommerfeld]]

<math display="block">\lim_{r \to \infty} r^{\frac{n-1}{2}} \left( \frac{\partial}{\partial r} - ik \right) A(\mathbf{x}) = 0</math>

em <math>n</math> dimensões espaciais, para todos os ângulos (ou seja, qualquer valor de <math>\theta, \phi</math>). Aqui <math>r = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} </math> onde <math>x_i</math> são as coordenadas do vetor <math>\mathbf{x}</math>.

Com esta condição, a solução para a equação de Helmholtz não homogénea é

<math display="block">A(\mathbf{x})=\int_{\R^n}! G(\mathbf{x},\mathbf{x'})f(\mathbf{x'}),\mathrm{d}\mathbf{x'}</math>

(repare que esta integral é na verdade sobre uma região finita, já que {{mvar|f}} tem suporte compacto). Aqui, {{mvar|G}} é a [[função de Green]] desta equação, ou seja, a solução para a equação de Helmholtz não homogénea com {{math|''f''}} igual à [[função delta de Dirac]], então {{mvar|G}} satisfaz

<math display="block">\nabla^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) + k^2 G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = -\delta(\mathbf{x},\mathbf{x'}) \in \R^n. </math>

A expressão para a função de Green depende da dimensão {{mvar|n}} do espaço. Temos
<math display="block">G(x,x') = \frac{ie^{ik|x - x'|}}{2k}</math>
para {{math|1= ''n'' = 1}},

<math display="block">G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = \frac{i}{4}H^{(1)}_0(k|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|)</math>
para {{math|1= ''n'' = 2}}, onde {{math|''H''{{su|p=(1)|b=0}}}} é uma [[função de Bessel#Funções de Hankel : H.CE.B1|função de Hankel]], e
<math display="block">G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = \frac{e^{ik|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}}{4\pi |\mathbf{x}-\mathbf{x'}|}</math>
para {{math|1= ''n'' = 3}}. Note que escolhemos a condição de fronteira de que a função de Green é uma onda que se afasta para {{math|{{mabs|''x''}} → ∞}}.

Finalmente, para um n geral,

<math display="block">G(\mathbf{x},\mathbf{x'}) = c_d k^p \frac{H_p^{(1)}(k|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x'}|^p}</math>

onde <math> p = \frac{n - 2}{2} </math> e <math>c_d = \frac{1}{2i(2\pi)^p} </math>.<ref>{{cite journal |author1=Björn Engquist |author2=Hongkai Zhao |title=Approximate Separability of the Green's Function of the Helmholtz Equation in the High Frequency Limit |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |date=November 2018 |volume=71 |issue=11 |pages=2220-2274 |doi=10.1002/cpa.21755}}</ref>

{{Referências}}

[[Categoria:Ondas]]
[[Categoria:Equações diferenciais parciais]]