Mostrar código-fonte de Equação diferencial de Bernoulli

{{sem notas|data=maio de 2015}}
{{ver desambig|este=a equação diferencial|a equação em mecânica de fluidos|Equação de Bernoulli}}
A '''Equação diferencial de Bernoulli''', cujo nome vem de [[Jakob Bernoulli]], é uma [[equação diferencial ordinária]] '''não linear''', de primeira ordem, da forma:

{|style="width: 100%;"
| style="text-align: left;" |<math>y' + P(x)y = Q(x)y^n.</math>
| style="text-align: right;" |(0.1)
|}

onde <math>n</math> é um qualquer número real. Para <math>n \ne 0</math> e <math>n \ne 1</math> esta equação diferencial não é linear.

== Desenvolvimento ==
Para a resolver, vamos fazer uma mudança de variável dependente que a vai transformar numa equação diferencial linear de primeira ordem.

Começamos por dividir ambos membros por <math>y^n:</math>

{| style="width: 100%;"
| style="text-align: left;"|<math>y^{-n}y' + P(x)y^{1-n} = Q(x).</math>
| style="text-align: left;"|(0.2)
|}

Seja agora

<math>w = y^{1-n}</math>

Derivando <math>w</math> obtemos

<math>w' = (1 - n)y^{1-n-1}  y' = (1 - n)y^{-n}y'</math>

Multiplicando ambos membros de (0.2) por <math>1 - n,</math> fica

{|style="width: 100%;"
|style="text-align: left;"|<math>(1 - n)y^{-n}y' + (1 - n)P(x)y^{1-n} = (1 - n)Q(x).</math>
|style="text-align: right;"|(0.3)
|}

Ou seja,

{|style="width: 100%;"
|style="text-align: left;"|<math>w' + (1 - n)P(x)w = (1 - n)Q(x).</math>
|style="text-align: right;"|(0.4)
|}

A última equação é uma equação diferencial linear que (supondo, como acima, <math>P(x)</math> e <math>Q(x)</math> contínuas) pode ser resolvida pelo processo anteriormente descrito, chegando-se à solução geral de (0.9), depois de se substituir <math>w</math> por <math>y^{1-n}.</math>

== Exemplo ==
Vamos resolver a seguinte equação diferencial
{|style="width: 100%;"
|style="text-align: left;"|<math>\frac {dy}{dx} + \frac {1}{x}y = xy^2.</math>
|style="text-align: right;"|(0.5)
|}

Dividindo ambos os membros por <math>y^2</math> fica

{|style="width: 100%;"
|style="text-align: left;"|<math>y'y^{-2} + \frac {1}{x}y^{-1} = x.</math>
|style="text-align: right;"|(0.6)
|}

Pondo
{|style="width: 100%;"
| style="text-align: left;" |<math> w = y^{-1}.</math>
| style="text-align: right;" |
|}
{|style="width: 100%;"
| style="text-align: left;" |<math>w' = -y^{-2}y'.</math>
| style="text-align: right;" |
|}

A equação (0.6) é equivalente a

{|style="width: 100%;"
| style="text-align: left;" |<math>-y^{-2}y' - \frac {1}{x}y^{-1} = -x.</math>
| style="text-align: right;" |(0.7)
|}

Substituindo <math>y</math> por <math>w,</math> vem

{|style="width: 100%;"
| style="text-align: left;" |<math>w' - \frac {1}{x}w = -x.</math>
| style="text-align: right;" |(0.8)
|}

Usando a notação anterior,

<math>P(x) = -\frac {1}{x}</math> e <math>Q(x) = -x.</math>

<math>\int_{}^{} P(x)\,dx = \int_{}^{} -\frac {1}{x}\,dx = -\ln |x| = \ln |x|^{-1}</math>

onde

<math>e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} = e^{\ln |x|^{-1}} = |x|^{-1}</math>

e

<math>\int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx = \int_{}^{} |x|^{-1}(-x)\,dx = \left \{ \begin{matrix} \int_{}^{} -1\,dx, & \mbox{se }x \ge 0 \\ \int_{}^{} 1\,dx, & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = \left \{ \begin{matrix} -x & \mbox{se }x \ge 0 \\ x & \mbox{se }x < 0 \end{matrix} \right. = - |x|.</math>

A solução geral de (0.8) é dada por

<math>e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}w = \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx}Q(x)\,dx + C</math>

ou seja,

{|style="width: 100%;"
| style="text-align: left;" |<math>|x|^{-1}w = -|x| + C.</math>
| style="text-align: right;" |(0.9)
|}

Para <math>x \ne 0,</math> (0.9) é equivalente a

<math>w = -|x|^2 + C|x|,</math>

ou seja, atendendo a que C é uma constante qualquer,

<math>w = -|x|^2 + Cx.</math>

Substituindo <math>w</math> por <math>y^{-1},</math> vem

<math>y^{-1} = -x^2 + Cx,</math>

ou ainda,

<math>y = \frac {1}{-x^2 + Cx}.</math>

== Ver também ==
* [[Equação diferencial]]
* [[Equação diferencial linear]]

== Referências ==
* {{Citation | last1=Bernoulli | first1=Jacob | author1-link=Jacob Bernoulli | title=Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis | year=1695 | journal=[[Acta Eruditorum]]}}. Cited in {{harvtxt|Hairer|Nørsett|Wanner|1993}}.
* {{Citation | last1=Hairer | first1=Ernst | last2=Nørsett | first2=Syvert Paul | last3=Wanner | first3=Gerhard | title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-3-540-56670-0 | year=1993}}.

== Ligações externas ==
* {{PlanetMath reference|id=7032|título=Bernoulli equation}}

{{Equações diferenciais}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Equacao Diferencial Bernoulli}}
[[Categoria:Equações diferenciais]]