Mostrar código-fonte de Equação integral de Fredholm

Em [[matemática]], a '''equação integral de Fredholm''' é uma [[equação integral]] cuja solução origina a [[teoria de Fredholm]], o estudo dos [[Núcleo de Fredholm|núcleos de Fredholm]] e [[Operador de Fredholm|operadores de Fredholm]]. A equação integral foi estudada por [[Erik Ivar Fredholm]].

==Equação do primeiro tipo==
Equações integrais, de modo geral, são comuns e aparecem de diferentes formas (Fourier, Laplace, Hankel, etc.). Elas diferem entre si em seus núcleos (definido a seguir). O que distingue as equações integrais de Fredholm é que elas são equações integrais nas quais os limites de integração são constantes. Isto é o contrário das [[Equação integral de Volterra|equações integrais de Volterra]].

Uma equação integral de Fredholm [[Função homogênea|homogênea]] do primeiro tipo é escrita como

:<math>g(t)=\int_a^b K(t,s)f(s)\,ds</math>,

e o problema é, dado o [[Transformada integral|núcleo]] contínuo ''K(t,s)'' e a função ''g(t)'', determinar a função ''f(s)''.

Se o núcleo é uma função somente da diferença de seus argumentos, ou seja, <math>K(t,s)=K(t-s)</math>, e os limites de integração são <math>\pm\infty</math>, então o lado direito da equação pode ser reescrito como uma [[convolução]] das funções ''K'' e ''f'', e portanto a solução é dada por

:<math>f(t) =  \mathcal{F}_\omega^{-1}\left[
{\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over
\mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}
\right]=\int_{-\infty}^\infty {\mathcal{F}_t[g(t)](\omega)\over
\mathcal{F}_t[K(t)](\omega)}e^{2\pi i \omega t} d\omega </math>

onde <math>\mathcal{F}_t</math> e <math>\mathcal{F}_\omega^{-1}</math> são as [[Transformada de Fourier|transformadas de Fourier]] direta e inversa, respectivamente.

==Equação do segundo tipo==
Uma equação integral de Fredholm não-homogênea do segundo tipo é dada por

:<math>f(t)= \phi(t) + \lambda \int_a^bK(t,s)\phi(s)\,ds.</math>.

Dado o núcleo ''K(t,s)'' e a função <math>f(t)</math>, o problema é determinar a função <math>\phi(t)</math>. Um procedimento padrão para resolver este problema é usar o [[formalismo resolvente]]; expressa como uma série, a solução é conhecida como [[série de Liouville-Neumann]].

==Teoria geral==
A teoria geral subjacente às equações de Fredholm é conhecida como [[teoria de Fredholm]]. Um dos principais resultados é que o núcleo ''K'' é um [[operador compacto]], conhecido como [[operador de Fredholm]]. A condição de ser compacto pode ser mostrada invocando [[equicontinuidade]]. Como operador, ele tem uma [[teoria espectral]] que pode ser entendida em termos de um espectro discreto de [[Valor próprio|autovalores]] que tendem a zero.

==Applicações==
As equações de Fredholm surgem naturalmente na teoria de [[processamento de sinais]], mais notadamente no famoso [[problema de concentração espectral]] popularizado por [[David Slepian]]. Em [[mecânica computacional]], formam a base do [[método dos elementos de contorno]].

==Ver também==
*[[Série de Liouville-Neumann]]
*[[Equação integral de Volterra]]

==Refereências==
*[http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ie.htm Integral Equations] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
*A.D. Polyanin and A.V. Manzhirov, ''Handbook of Integral Equations'', CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
*Khvedelidze, B.V.; Litvinov, G.L. (2001), "[http://eom.springer.de/F/f041440.htm Fredholm kernel]", in [[Michiel Hazewinkel|Hazewinkel, Michiel]], [[Encyclopaedia of Mathematics]], Springer, ISBN 978-1556080104
*F. J. Simons, M. A. Wieczorek and F. A. Dahlen. ''Spatiospectral concentration on a sphere''. SIAM Review, 2006, [http://dx.doi.org/10.1137/S0036144504445765 doi:10.1137/S0036144504445765]
*D. Slepian, "Some comments on Fourier Analysis, uncertainty and modeling", [http://scitation.aip.org/journals/doc/SIAMDL-home/jrnls/top.jsp?key=SIREAD SIAM Review], 1983, Vol. 25, No. 3,  379-393.

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[[Categoria:Equações integrais]]