Mostrar código-fonte de Equações de Cauchy–Riemann

{{Sem notas|data=dezembro de 2020}}
[[Ficheiro:Cauchy-Riemann.png|miniaturadaimagem| Uma representação visual de um vetor X em um domínio sendo multiplicado por um número complexo z, então mapeado por f, versus sendo mapeado por f sendo então multiplicado por z depois. Se ambos resultarem no ponto terminando no mesmo lugar para todos os X e z, então f satisfaz a condição de Cauchy-Riemann]]
No campo [[matemático]] da [[análise complexa]] as '''equações de Cauchy-Riemann'''  (nome formado em homenagem ao matemático francês [[Augustin-Louis Cauchy|Augustin Cauchy]] e ao matemático alemão [[Bernhard Riemann]]) consistem em um sistema de duas [[Equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]] que, juntamente com certos critérios de continuidade e diferenciabilidade, formam uma condição necessária e suficiente para um [[Análise complexa|função complexa]] ser [[Função holomorfa|complexa diferenciável]], ou seja, [[Função holomorfa|holomórfica]] . Este sistema de equações apareceu pela primeira vez na obra de [[Jean le Rond d’Alembert|Jean le Rond d'Alembert]] {{Harv|d'Alembert|1752}}. Posteriormente, [[Leonhard Euler]] relacionou este sistema às [[Função analítica|funções analíticas]] {{Harv|Euler|1797}}. {{Harvtxt|Cauchy|1814}} então utilizou essas equações para construir sua teoria das funções. A dissertação de  Riemann sobre a teoria das funções surgiu em 1851.

As equações de Cauchy-Riemann dadas em em um par de funções de valor real de duas variáveis reais ''u'' ( ''x'', ''y'' ) e ''v'' ( ''x'', ''y'' ) são as equações abaixo:

: <math>
\begin{align}
(1a)\qquad & \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\[6pt]
(1b)\qquad & \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\end{align}
</math>

Usualmente, ''u'' e ''v'' são as partes [[Número complexo|reais]] e [[Número complexo|partes imaginárias]], respectivamente, de um valor complexo em função de uma única variável complexa {{Nowrap|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} {{Nowrap|1=''f''(''x'' + i''y'') = ''u''(''x'',''y'') + i''v''(''x'',''y'')}}. Supondo que ''u'' e ''v'' sejam reais e diferenciáveis num ponto em um [[Conjunto aberto|subconjunto aberto]] de ℂ, que pode ser considerado como funções de ℝ <sup>2</sup> a ℝ. Isto implica que as derivadas parciais de ''u'' e ''v'' existem (por mais que que não há necessidade de serem contínuas) e podemos aproximar pequenas variações de ''f'' linearmente. Então {{Nowrap|1=''f'' = ''u'' + i''v''}} é Complexo- diferenciável nesse ponto, se, e somente se as derivadas parciais de ''u'' e ''v'' satisfazer as equações de Cauchy-Riemann (1a) e (1b) neste ponto. A única existência de derivadas parciais que satisfaçam as equações de Cauchy-Riemann não é suficiente para garantir a diferenciabilidade complexa naquele ponto. É necessário que ''u'' e ''v'' sejam reais diferenciáveis, que acaba por ser uma condição mais forte do que a existência das derivadas parciais, mas, em geral, mais fraca do que derivabilidade contínua.

[[Função holomorfa|Holomorfia]] é a propriedade de uma função complexa de ser diferenciável em todos os pontos de um subconjunto aberto de ℂ (isso é chamado de [[Domínio (análise complexa)|domínio]] em ℂ). Por consequência, é possível afirmar que uma função complexa ''f,'' cujas partes reais e imaginárias ''u'' e ''v'' são funções real-diferenciáveis, é holomórfico se, e somente se, as equações (1a) e (1b) são satisfeitas em todo o [[Domínio (análise complexa)|domínio]] que estamos lidando. As funções holomórficas são analíticas e vice-versa. Isso quer dizer que, na análise complexa, uma função que é complexamente diferenciada em um domínio inteiro (holomórfica) é o mesmo que uma função analítica. Isso não é verdade para funções diferenciáveis reais.

== Exemplo simples ==
Supondo que <math>z = x + iy</math> . A função de valor complexo <math>f(z) = z^2</math> é diferenciável em qualquer ponto {{Math|''z''}} no plano complexo.

: <math>f(z) = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy</math>

A parte real <math>u(x,y)</math> e a parte imaginária <math>v(x, y)</math> são

: <math>\begin{align}
 u(x, y) &= x^2 - y^2 \\
 v(x, y) &= 2xy
\end{align}</math>

e suas derivadas parciais são

: <math>
u_x = 2x;\quad u_y = -2y;\quad v_x = 2y;\quad v_y = 2x
</math>

É possível ver que de fato as equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas, <math>u_x = v_y</math> e <math>u_y = -v_x</math> .

== Interpretação e reformulação ==
As equações são uma forma de ver a condição de uma função para ser diferenciável no sentido da [[análise complexa]]: em outras palavras, elas encapsulam a noção de [[Análise complexa|função de uma variável complexa]] a partir do cálculo diferencial convencional. Na teoria, existem várias outras maneiras principais de encarar essa noção, e a tradução da condição para outra linguagem é frequentemente necessária.

=== Mapeamentos conformes ===
Primeiramente, as equações de Cauchy-Riemann podem ser escritas de forma complexa

: (2) <math>{ i \dfrac{ \partial f }{ \partial x } } = \dfrac{ \partial f }{ \partial y } . </math>

Nesta forma, as equações correspondem estruturalmente à condição de que a [[Matriz jacobiana|matriz Jacobiana]] seja da forma

: <math>
\begin{pmatrix}
 a &  -b \\
 b & \;\; a
\end{pmatrix},
</math>

Onde <math> a=\partial u/\partial x=\partial v/\partial y</math> e <math> b=\partial v/\partial x=-\partial u/\partial y</math> . Uma matriz desta forma é a [[Número complexo|representação matricial de um número complexo]]. Geometricamente, tal matriz é sempre a [[Composição de funções|composição]] de uma [[Movimento de rotação|rotação]] com [[Homotetia|escala]] e, particularmente, preserva os [[ângulo]]s. O Jacobiano de uma função <math>f(z)</math> pega segmentos de reta infinitesimais na interseção de duas curvas em z e os gira para os segmentos correspondentes em <math>f(z)</math>. Por consequência, uma função que satisfaça as equações de Cauchy-Riemann, com uma derivada diferente de zero, preserva o ângulo entre as curvas no plano. Isto significa que, as equações de Cauchy-Riemann são as condições para uma função ser [[Projeção conforme|conforme]] .

Além disso, porque a composição de uma transformação conforme com outra transformação conforme também é conforme, a composição de uma solução das equações de Cauchy-Riemann com um mapa conforme deve ela mesma resolver as equações de Cauchy-Riemann. Assim, as equações de Cauchy-Riemann são conformemente invariantes.

=== Diferenciabilidade complexa ===
Suponha que

: <math> f(z) = u(z) + i \cdot v(z) </math>

é uma função de um número complexo <math> z = x + i y </math> . Então, a derivada complexa de <math> f </math> em um ponto <math> z_{0} </math> é definido por

: <math>\lim_{\underset{h\in\mathbb{C}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = f'(z_0)</math>

desde que este limite exista.

Se esse limite existir, ele pode ser calculado considerando o limite como <math> h \to 0 </math> ao longo do eixo real ou eixo imaginário; em ambos os casos, deve dar o mesmo resultado. Aproximando-se ao longo do eixo real, encontramos

: <math>\lim_{\underset{h\in\mathbb{R}}{h\to 0}} \frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} = \frac{\partial f}{\partial x}(z_0).</math>

Por outro lado, aproximando-se ao longo do eixo imaginário,

: <math>\lim_{\underset{\eta\in \mathbb{R}}{\eta \to 0}} \frac{f(z_0+i\eta)-f(z_0)}{i\eta} =\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y}(z_0).</math>

A igualdade da derivada de ''f'' tomada ao longo dos dois eixos é

: <math>i\frac{\partial f}{\partial x}(z_0) = \frac{\partial f}{\partial y}(z_0),</math>

que são as equações de Cauchy-Riemann (2) no ponto&nbsp;''z'' <sub>0</sub> .

Porém, se ''f''&nbsp;: ℂ&nbsp;→&nbsp;ℂ é uma [[Derivada|função diferenciável]] quando considerada como uma função em ℝ <sup>2</sup>, então ''f'' é complexa diferenciável se, e somente se as equações de Cauchy-Riemann forem válidas. Em outras palavras, se u e v são [[Função real|funções reais]] diferenciáveis de duas variáveis reais, obviamente ''u'' + ''iv'' é uma função real diferenciável (de valor complexo), mas ''u'' + ''iv'' é complexo diferenciável se e somente se as equações de Cauchy-Riemann  são válidas.

Seguindo {{Harvtxt|Rudin|1966}}, suponha que ''f'' é uma função complexa definida em um conjunto aberto Ω&nbsp;⊂ ℂ. Então, escrevendo {{Nowrap|''z'' {{=}} ''x'' + i''y''}} para cada ''z''&nbsp;∈ Ω, pode-se também considerar Ω como um subconjunto aberto de ℝ <sup>2</sup>, e ''f'' como uma função de duas variáveis reais ''x'' e ''y'', que mapeia Ω&nbsp;⊂ ℝ <sup>2</sup> a ℂ. Consideramos as equações de Cauchy-Riemann em ''z''&nbsp;= ''z'' <sub>0</sub> . Portanto, suponha que ''f'' é diferenciável em ''z'' <sub>0</sub>, como uma função de duas variáveis reais de Ω a ℂ. Isso equivale à existência da seguinte aproximação linear

: <math> f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) = f_x \,\Delta x + f_y \,\Delta y + \eta(\Delta z) \,\Delta z \,</math>

onde ''z'' = ''x'' + ''iy'' e ''η'' (Δ ''z'' ) → 0 como Δ ''z'' → 0. Desde <math> \Delta z + \Delta \bar{z}= 2 \, \Delta x </math> e <math> \Delta z - \Delta \bar{z}=2i \, \Delta y </math>, o acima pode ser reescrito como

: <math> \Delta f(z_0) = \frac{f_x - if_y}{2} \, \Delta z + \frac{f_x + if_y}{2} \, \Delta \bar{z} + \eta(\Delta z) \, \Delta z\, </math>

Definindo os dois derivados de Wirtinger como

: <math> \frac{\partial}{\partial z}
 = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right), \;\;\; \frac{\partial}{\partial\bar{z}}
 = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right),
</math>

no limite <math>\Delta z \rightarrow 0,\Delta \bar{z} \rightarrow 0</math> a igualdade acima pode ser escrita como

: <math>\left.\frac{df}{dz}\right|_{z=z_0} = \left.\frac{\partial f}{\partial z}\right |_{z=z_0} + \left.\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}\right |_{z=z_0} \cdot \frac{d\bar{z}}{dz} + \eta(\Delta z), \;\;\;\;(\Delta z \neq 0). </math>

Considerando os valores potenciais de <math> d\bar{z}/dz </math> quando o limite é tomado na origem. Para ''z'' ao longo da linha real, <math> \bar{z} = z </math> de modo a <math> d\bar{z}/dz = 1</math> . Da mesma forma, para ''z'' puramente e completamente imaginário, temos <math> d\bar{z}/dz = -1 </math> de modo que o valor de <math> d\bar{z}/dz</math> não está bem definido na origem. É fácil verificar que <math> d\bar{z}/dz</math> não está bem definido em qualquer ''z'' complexo, portanto, ''f'' é  complexo diferenciável  em ''z'' <sub>0</sub> se, e somente se <math> \left(\partial f/\partial\bar{z}\right) = 0 </math> em <math>z = z_0</math> . Mas estas são exatamente as equações de Cauchy-Riemann, por isso ''f'' é diferenciável em ''z'' <sub>0</sub> se e somente se as equações de Cauchy-Riemann valem em&nbsp;''z'' <sub>0</sub> .

=== Independência do conjugado complexo ===
A prova acima sugere outra interpretação das equações de Cauchy-Riemann. O [[Conjugado de um número complexo|conjugado complexo]] de ''z'', denotado <math>\bar{z}</math>, é definido por

: <math>\overline{x + iy} := x - iy</math>

para ''x'' e ''y'' reais. As equações de Cauchy-Riemann podem,  ser escritas como uma única equação

: (3) <math>\dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 0</math>

usando a derivada de Wirtinger em relação à variável conjugada . Desta forma, as equações de Cauchy-Riemann podem ser interpretadas como a afirmação de que ''f'' é independente da variável <math>\bar{z}</math> . Como tal, podemos observar as funções analíticas como funções verdadeiras de ''uma'' variável complexa em oposição a funções complexas de ''duas'' variáveis reais.

=== Interpretação física ===
Uma interpretação física padrão das equações de Cauchy-Riemann que remonta ao trabalho de Riemann na teoria das funções (ver {{Harvnb|Klein|1893}} ) é que ''u'' representa um potencial de velocidade de um fluxo de fluido constante incompressível no plano, ''e v'' é sua função de fluxo . Suponha que o par de funções (duas vezes continuamente diferenciáveis) <math>u,v</math> satisfaz as equações de Cauchy-Riemann. Tomamos ''u'' como um potencial de velocidade, o que significa que imaginamos um fluxo de fluido no plano tal que o [[Velocidade|vetor velocidade]] do fluido em cada ponto do plano é igual ao [[gradiente]] de ''u'', definido por

: <math>\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x}\mathbf i + \frac{\partial u}{\partial y}\mathbf j</math>

Ao diferenciar as equações de Cauchy-Riemann pela segunda vez, mostra-se que ''u'' resolve [[Equação de Laplace|a equação de Laplace]] :

: <math>\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0.</math>

Isto é, ''u'' é uma [[função harmônica]] . Isso significa que a [[divergência]] do gradiente é zero e, portanto, o fluido é incompressível.

A função ''v'' também satisfaz a equação de Laplace, por uma análise muito parecida. Além disso, as equações de Cauchy-Riemann implicam que o [[produto escalar]] <math>\nabla u\cdot\nabla v = 0</math> . Isso implica que o gradiente de ''u'' deve apontar ao longo do <math>v=\text{const}</math> curvas; então essas são as [[Linha de corrente|linhas aerodinâmicas]] do fluxo. o <math>u=\text{const}</math> curvas são as [[Isolinha|curvas equipotenciais]] do fluxo.

Uma função holomórfica pode, portanto, ser visualizada traçando as duas famílias de [[Conjunto de nível|curvas]] de [[Conjunto de nível|nível]] <math>u=\text{const}</math> e <math>v=\text{const}</math> . Perto de pontos onde o gradiente de ''u'' (ou, equivalentemente, ''v'' ) não é zero, essas famílias formam uma família [[Ortogonalidade|ortogonal]] de curvas. Nos pontos onde <math>\nabla u=0</math>, os pontos estacionários do fluxo, as curvas equipotenciais de <math>u=\text{const}</math> se cruzam. As linhas de corrente se cruzam também no mesmo ponto, dividindo os ângulos formados pelas curvas equipotenciais.

=== Campo de vetor harmônico ===
Outra interpretação das equações de Cauchy-Riemann pode ser encontrada em {{Harvtxt|Pólya|Szegő|1978}} . Suponha-se que ''u'' e ''v'' satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em um subconjunto aberto de ℝ <sup>2,</sup> e considere o [[Campo vetorial|campo vectorial]]

: <math>\bar{f} = \begin{bmatrix}u\\ -v\end{bmatrix}</math>

considerado como um vetor de dois componentes (real). Então a segunda equação de Cauchy-Riemann (1b) afirma que <math>\bar{f}</math> é [[Campo conservativo|irrotacional]] (sua [[Rotacional|ondulação]] é 0):

: <math>\frac{\partial (-v)}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = 0.</math>

A primeira equação de Cauchy-Riemann (1a) afirma que o campo vetorial é [[Campo solenoidal|solenoidal]] (ou livre de [[divergência]]):

: <math>\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial (-v)}{\partial y}=0.</math>

Devido respectivamente ao [[teorema de Green]] e ao [[Teorema de Green|teorema]] da [[Teorema da divergência|divergência]], tal campo é necessariamente [[Campo conservativo|conservador]] e é livre de fontes ou sumidouros, tendo fluxo líquido igual a zero em qualquer domínio aberto sem buracos. (Essas duas observações se combinam como partes reais e imaginárias no teorema integral de Cauchy). Na dinâmica dos fluidos, tal campo vetorial é um fluxo potencial {{Harv|Chanson|2007}}. Na [[magnetostática]], tais campos vetoriais modelam campos [[Campo magnético|magnéticos]] estáticos em uma região do plano que não contém corrente. Na [[eletrostática]], eles modelam campos elétricos estáticos em uma região do plano sem [[carga elétrica]].

Esta interpretação pode ser afirmada novamente de maneira equivalente na linguagem das [[Forma diferencial|formas diferenciais]]. O par ''u'', ''v'' satisfaz as equações de Cauchy-Riemann se e somente se a [[Forma-um|forma]] <math>v\,dx + u\, dy</math> é fechado e co- fechado (uma [[Teoria de Hodge|forma diferencial harmônica]] ).

=== Preservação de estrutura complexa ===
Outra formulação das equações de Cauchy-Riemann envolve a estrutura complexa no plano, dada por

: <math>J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}.</math>

Esta é uma estrutura complexa no sentido de que o quadrado de ''J'' é o negativo da matriz de identidade 2 &#xD7; 2: <math>J^2=-I</math> . Como acima, se ''u'' ( ''x'', ''y'' ), ''v'' ( ''x'', ''y'' ) são duas funções no plano, coloque

: <math>f(x,y) = \begin{bmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{bmatrix}.</math>

A [[Matriz jacobiana|matriz Jacobiana]] de ''f'' é a matriz das derivadas parciais

: <math>Df(x,y) = \begin{bmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\[5pt] \dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix}</math>

Então o par de funções ''u'', ''v'' satisfaz as equações de Cauchy-Riemann se, e somente se a matriz 2 &#xD7; 2 ''Df'' comuta com ''J'' {{Harv|Kobayashi|Nomizu|1969|loc=Proposition IX.2.2}}

Esta interpretação é muito útil em [[Topologia simplética|geometria simplética]], onde é o ponto de partida para o estudo de curvas pseudo-holomórficas.

=== Outras representações ===
Outras representações das equações de Cauchy-Riemann surgem ocasionalmente em outros [[Sistema de coordenadas|sistemas de coordenadas]]. Se (1a) e (1b) valem para um par diferenciável de funções ''u'' e ''v'', então também

: <math>
 \frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial v}{\partial s},\quad
 \frac{\partial v}{\partial n} = -\frac{\partial u}{\partial s}
</math>

para qualquer sistema de coordenadas {{Nowrap|(''n''(''x'', ''y''), ''s''(''x'', ''y''))}} tal que o par (∇ ''n'', ∇ ''s'' ) seja [[Ortonormalidade|ortonormal]] e [[Sentido (matemática)|orientado positivamente]]. Consequentemente, em particular, no sistema de coordenadas dado pela representação polar {{Nowrap|''z'' {{=}} ''r''&thinsp;''e''<sup>iθ</sup>}}, as equações assumem a forma

: <math>
 {\partial u \over \partial r} = {1 \over r}{\partial v \over \partial\theta},\quad
 {\partial v \over \partial r} = -{1 \over r}{\partial u \over \partial\theta}.
</math>

Combinando estes em uma equação para ''f'' dá

: <math>{\partial f \over \partial r} = {1 \over ir}{\partial f \over \partial\theta}.</math>

As equações não homogêneas de Cauchy-Riemann consistem em duas equações para um par de funções desconhecidas ''u'' ( ''x'', ''y'' ) ''ev'' ( ''x'', ''y'' ) de duas variáveis reais

: <math>\begin{align}
 \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial v}{\partial y} &= \alpha(x, y) \\[4pt]
 \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} &= \beta(x, y)
\end{align}</math>

para algumas funções dadas α ( ''x'', ''y'' ) e β ( ''x'', ''y'' ) definidas em um subconjunto aberto de ℝ <sup>2</sup>. Essas equações são normalmente combinadas em uma única equação

: <math>\frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = \varphi(z,\bar{z})</math>

onde ''f'' = ''u'' + i ''v'' e ''φ'' = ( ''α'' + i ''β'' ) / 2.

Se ''φ'' for ''C <sup>k</sup>'' , então a equação não homogênea é explicitamente solucionável em qualquer domínio limitado ''D'', desde que ''φ'' seja contínuo no [[Fecho|fechamento]] de ''D.'' Na verdade, pela [[fórmula integral de Cauchy]] ,

: <math>f\left(\zeta, \bar{\zeta}\right) = \frac{1}{2\pi i} \iint_D \varphi\left(z, \bar{z}\right) \, \frac{dz\wedge d\bar{z}}{z - \zeta}</math>

para todos os ''ζ'' ∈ ''D.''

== Generalizações ==

=== Teorema de Goursat e suas generalizações ===
Supondo que {{Nowrap|''f'' {{=}} ''u''&thinsp;+&thinsp;i''v''}} é uma função de valor complexo [[Derivada de Fréchet|diferenciável]] como uma função {{Nowrap|''f'' : ℝ<sup>2</sup> → ℝ<sup>2</sup>}} . Então '''o teorema de [[Édouard Goursat|Goursat]]''' afirma que ''f'' é analítico em um domínio complexo aberto Ω se e somente se satisfaz a equação de Cauchy-Riemann no domínio {{Harv|Rudin|1966|loc=Theorem 11.2}}. Em particular, a diferenciabilidade contínua de ''f'' não precisa ser assumida {{Harv|Dieudonné|1969|loc=§9.10, Ex. 1}}.

As hipóteses do teorema de Goursat podem ser significativamente enfraquecidas. Se {{Nowrap|''f'' {{=}} ''u''&thinsp;+&thinsp;i''v''}} é contínua em um conjunto aberto Ω e as [[Derivada parcial|derivadas parciais]] de ''f'' em relação a ''x'' e ''y'' existir em Ω, e satisfazer as equações de Cauchy-Riemann todo Ω, então ''f'' é holomórfica (e assim analítico). Este resultado é o teorema de Looman-Menchoff .

A hipótese de que ''f'' obedece às equações de Cauchy – Riemann em todo o domínio Ω é essencial. É possível construir uma [[função contínua]] que satisfaça as equações de Cauchy-Riemann em um ponto, mas que não seja analítica no ponto (como por exemplo, ''f'' ( ''z'' )&nbsp;= {{Nowrap|''z''<sup>5</sup>&thinsp;/&thinsp;{{!}}z{{!}}<sup>4</sup>)}} . Da mesma forma, alguma suposição adicional é necessária além das equações de Cauchy-Riemann (como continuidade), como assim é ilustrado no exemplo a seguir {{Harv|Looman|1923|p=107}}

: <math>f(z) = \begin{cases}
 \exp\left(-z^{-4}\right) & \text{if }z \not= 0\\
            0 & \text{if }z = 0
\end{cases}</math>

que satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em todos os lugares, mas falha em ser contínua em ''z''&nbsp;=&nbsp;0

Porém se uma função satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em um conjunto aberto em um sentido fraco, então a função é analítica. Mais precisamente {{Harv|Gray|Morris|1978|loc=Theorem 9}}:

: Se ''f'' ( ''z'' ) é localmente integrável em um domínio aberto Ω&nbsp;⊂&nbsp;ℂ, e satisfaz as equações de Cauchy – Riemann fracamente, então ''f'' concorda em quase todos os lugares com uma função analítica em Ω.

Este é realmente um caso especial de um resultado mais geral sobre a regularidade das soluções de equações diferenciais parciais hipoelípticas.

=== Várias variáveis ===
Existem equações de Cauchy-Riemann, apropriadamente generalizadas, na teoria das diversas variáveis complexas . Eles formam um sistema significativo sobredeterminado de PDEs. Isso pode ser feito fazendo uso de uma generalização direta da derivada de Wirtinger, onde a função em questão deve ter a derivada (parcial) de Wirtinger  em relação a cada variável complexa desaparecida.

=== Formas diferenciais complexas ===
Como frequentemente formulado, o ''operador d-bar''

: <math>\bar{\partial}</math>

aniquila funções holomórficas. Isso generaliza mais diretamente a formulação

: <math>{\partial f \over \partial \bar z} = 0,</math>

Onde

: <math>{\partial f \over \partial \bar z} = {1 \over 2}\left({\partial f \over \partial x} + i{\partial f \over \partial y}\right).</math>

=== Transformação de Bäcklund ===
Vistas como funções harmônicas conjugadas, as equações de Cauchy-Riemann são um exemplo prático de uma transformada de Bäcklund . As transformações de Bäcklund geralmente mais complicadas e normalmente não lineares, como na equação seno-Gordon, são de grande interesse na teoria dos [[Sóliton|solitons]] e [[Sistema integrável|sistemas integráveis]] .

=== Definição em álgebra de Clifford ===
Na [[álgebra de Clifford]], o número complexo <math>z = x+iy </math> é representado como <math>z \equiv x + I y</math> Onde <math>I \equiv \sigma_1 \sigma_2</math> . O operador derivado fundamental na álgebra de Clifford de [[Número complexo|números complexos]] é definido como <math>\nabla \equiv \sigma_1 \partial_x + \sigma_2\partial_y</math> . A função <math>f=u + I v</math> é considerada analítica se e somente se <math>\nabla f = 0</math>, que pode ser calculado da seguinte maneira:

: <math>
\begin{align}
0 & =\nabla f= ( \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y )(u + \sigma_1 \sigma_2 v) \\[4pt]
& =\sigma_1 \partial_x u + \underbrace{\sigma_1 \sigma_1 \sigma_2}_{=\sigma_2} \partial_x v + \sigma_2 \partial_y u + \underbrace{\sigma_2 \sigma_1 \sigma_2}_{=-\sigma_1} \partial_y v =0
\end{align}
</math>

Agrupando por <math>\sigma_1</math> e <math>\sigma_2</math> :

: <math>\nabla f = \sigma_1 ( \partial_x u - \partial_y v) + \sigma_2 ( \partial_x v + \partial_y u) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases}
\partial_x u - \partial_y v = 0\\[4pt]
\partial_x v + \partial_y u = 0
\end{cases}</math>

Doravante na notação tradicional:

: <math>\begin{cases}
\dfrac{ \partial u }{ \partial x } = \dfrac{ \partial v }{ \partial y }\\[12pt]
\dfrac{ \partial u }{ \partial y } = -\dfrac{ \partial v }{ \partial x }
\end{cases}</math>

=== Mapeamentos conformes em dimensões superiores ===
Seja &#x3A9; um conjunto aberto no [[espaço euclidiano]] ℝ <sup>''n''</sup> . A equação para um mapeamento que preserva a orientação <math>f:\Omega\to\mathbb{R}^n</math> para ser um [[Projeção conforme|mapeamento conforme]] (isto é, com preservação de ângulo) é que

: <math>Df^\mathsf{T} Df = (\det(Df))^{2/n}I</math>

onde ''Df'' é a matriz Jacobiana, com transposta <math>Df^\mathsf{T}</math>, e ''I'' denota a matriz de identidade {{Harv|Iwaniec|Martin|2001|p=32}}. Para {{Math|''n'' {{=}} 2}}, este sistema é equivalente às equações padrão de Cauchy-Riemann de variáveis complexas, e as soluções são funções holomórficas. Na dimensão {{Math|''n'' > 2}}, isso ainda é às vezes chamado de sistema de Cauchy-Riemann, e o teorema de Liouville implica, sob suposições de suavidade adequadas, que qualquer mapeamento é uma [[transformação de Möbius]].

== Ver também ==

* Lista de tópicos de análise complexos
* [[Teorema de Morera]]
* Derivados de Wirtinger

{{referências}}
* {{citation|primeiro =Lars|último =Ahlfors|autorlink =Lars Ahlfors|título=Complex analysis|publicado=McGraw Hill|ano=1953|data-publicacao=1979|edição=3rd|isbn=0-07-000657-1}}
* {{citation|primeiro =Jean|último =d'Alembert|autorlink =Jean le Rond d'Alembert|título=Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides|url=http://gallica2.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k206036b.modeAffichageimage.f1.langFR.vignettesnaviguer|local-publicação=Paris|ano=1752}}
* {{citation|primeiro =Augustin L.|último =Cauchy|autorlink =Augustin Cauchy|título=Mémoire sur les intégrales définies,|series=Oeuvres complètes Ser. 1|volume=1|local-publicação=Paris|ano=1814|data-publicacao=1882|páginas=319–506}}
* {{citation|url=http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:119883|último =Chanson|primeiro =H.|ano=2007|título=Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange." ('Velocity Potential in Real Fluid Flows: Joseph-Louis Lagrange's Contribution.')|periódico=Journal La Houille Blanche|volume=5|páginas=127&ndash;131|doi=10.1051/lhb:2007072|issn=0018-6368}}
* {{citation|último =Dieudonné|primeiro =Jean Alexandre|autorlink =Jean Dieudonné|título=Foundations of modern analysis|publicado=Academic Press|ano=1969}}
* {{citation|primeiro =Leonhard|último =Euler|título=Ulterior disquisitio de formulis integralibus imaginariis|autorlink =Leonhard Euler|periódico=Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|volume=10|ano=1797|páginas=3–19|url=https://www.biodiversitylibrary.org/item/113777#page/269/mode/1up}}
* {{citation|título=When is a Function that Satisfies the Cauchy&ndash;Riemann Equations Analytic?|primeiro1 =J. D.|último1 =Gray|primeiro2 =S. A.|último2 =Morris|periódico=The American Mathematical Monthly|volume=85|número=4|ano=1978|data-publicação=abril de 1978|páginas=246&ndash;256|jstor=2321164|doi=10.2307/2321164}}
* {{citation|autorlink =Felix Klein|primeiro =Felix|último =Klein|título=On Riemann's theory of algebraic functions and their integrals|ano=1893|publicado=MacMillan and Bowes|local-publicação=Cambridge}}
* {{citation|primeiro1 =T|último1 =Iwaniec|primeiro2 =G|último2 =Martin|título=Geometric function theory and non-linear analysis|publicado=Oxford|ano=2001}}
* {{citation|primeiro =H.|último =Looman|título=Über die Cauchy&ndash;Riemannschen Differentialgleichungen|periódico=Göttinger Nachrichten|ano=1923|páginas=97&ndash;108}}
* {{citation|primeiro1 =Shoshichi|último1 =Kobayashi|autorlink1 =Shoshichi Kobayashi|primeiro2 =Katsumi|último2 =Nomizu|autorlink2 =Katsumi Nomizu|título=Foundations of differential geometry, volume 2|publicado=Wiley|ano=1969}}
* {{citation|último1 =Pólya|primeiro1 =George|authorlink1=George Pólya|último2 =Szegő|primeiro2 =Gábor|título=Problems and theorems in analysis I|publicado=Springer|ano=1978|isbn=3-540-63640-4}}
* {{citation|último =Riemann|primeiro =Bernhard|autorlink =Bernhard Riemann|contribuição=Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse|editor=H. Weber|título=Riemann's gesammelte math. Werke|publicado=Dover|data-publicacao=1953|páginas=3–48|ano=1851}}
* {{citation|último =Rudin|primeiro =Walter|autorlink =Walter Rudin|título=Real and complex analysis|ano=1966|publicado=McGraw Hill|data-publicacao=1987|edição=3rd|isbn=0-07-054234-1}}
* {{springer|last=Solomentsev|first=E.D.|title=Cauchy–Riemann conditions|id=c/c020970|year=2001}}
* {{citation|último1 =Stewart|primeiro1 =Ian|último2 =Tall|primeiro2 =David|autorlink =Ian Stewart (mathematician)|título=Complex Analysis|ano=1983|publicado=CUP|data-publicacao=1984|edição=1st|isbn=0-521-28763-4}}

== Ligações externas ==

* {{MathWorld|urlname=Cauchy-RiemannEquations|title=Cauchy–Riemann Equations}}
* [https://web.archive.org/web/20061209102947/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/CauchyRiemannMod.html Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews]
[[Categoria:Bernhard Riemann]]
[[Categoria:Funções harmônicas]]
[[Categoria:Análise complexa]]
[[Categoria:Equações de derivadas parciais]]