Mostrar código-fonte de Equações de Gauss–Codazzi

{{Multitag|fref|snot|data=março de 2020}}
As '''equações de Gauss–Codazzi–Mainardi''' são equações fundamentais da teoria das [[hipersuperfície]]s incorporadas em um [[espaço euclidiano]] e,  geralmente, de subvariedades da [[variedade de Riemann]]. Elas também têm aplicações para sistemas de hipersuperfícies incorporadas nas variedades pseudo-riemannianas ([[geometria de Riemann]]).

Na geometria diferencial clássica de superfícies, as equações de Gauss-Codazzi-Mainardi consistem em um par de equações relacionadas. A primeira equação, às vezes chamada de equação de Gauss, relaciona a curvatura [[intrínseca]] (ou [[curvatura de Gauss]] ) da superfície às derivadas do mapa de Gauss, por meio da segunda forma fundamental . Esta equação é a base do [[teorema egrégio]] de Gauss .<ref>{{Harvnb|Gauss|1828}}.</ref> A segunda equação, às vezes chamada de '''equação de Codazzi – Mainardi''', é uma condição estrutural nas segundas derivadas do mapa de Gauss. Foi nomeado para [[Gaspare Mainardi]] (1856) e [[Delfino Codazzi]] (1868-1869), que derivaram independentemente o resultado,<ref>{{Harv|Kline|1972|p=885}}.</ref> embora tenha sido descoberto anteriormente por [[Karl Mikhailovich Peterson]].<ref>{{Harvtxt|Peterson|1853}}</ref><ref>{{Harvnb|Ivanov|2001}}.</ref> Ele incorpora a curvatura extrínseca (ou curvatura média ) da superfície. As equações mostram que os componentes da segunda forma fundamental e seus derivados ao longo da superfície classificam completamente a superfície até uma transformação euclidiana, um teorema do [[Pierre Ossian Bonnet|Pierre Ossain Bonnet]].<ref>{{Harvnb|Bonnet|1867}}.</ref>

== Declaração formal ==
Seja <math>i \colon M \subset P</math> uma subvariedade incorporada ''n-'' dimensional de uma variedade Riemanniana ''P'' de dimensão <math>n+p</math>. Existe uma inclusão natural do [[Fibrado tangente|pacote tangente]] de ''M'' no de ''P'' pelo pushforward, e o cokernel é o pacote normal de ''M'' :

: <math>0\rightarrow T_xM \rightarrow T_xP|_M \rightarrow T_x^\perp M\rightarrow 0.</math>

A métrica divide essa sequência exata curta e, portanto,

: <math>TP|_M = TM\oplus T^\perp M.</math>

Em relação a essa divisão, a [[Conexão de Levi-Civita|conexão Levi-Civita]] <math>\nabla'</math> de ''P'' decompõe-se em componentes tangenciais e normais. Para cada <math>X\in TM</math> e o campo vetorial ''Y'' em ''M'' ,

: <math>\nabla'_X Y = \top(\nabla'_X Y) + \bot(\nabla'_X Y).</math>

Deixei

: <math>\nabla_X Y = \top(\nabla'_X Y),\quad \alpha(X,Y) = \bot(\nabla'_X Y).</math>

A '''fórmula de Gauss'''<ref>Terminology from Spivak, Volume III.</ref> agora afirma que <math>\nabla_X</math> é a [[Conexão de Levi-Civita|conexão Levi-Civita]] para ''M'' e <math>\alpha</math> é uma forma ''simétrica'' com valor vetorial com valores no pacote normal. É frequentemente referido como a segunda forma fundamental .

Um [[corolário]] imediato é a '''equação de Gauss''' . Para <math>X, Y, Z, W \in TM</math> ,

: <math>\langle R'(X,Y)Z, W\rangle = \langle R(X,Y)Z, W\rangle + \langle \alpha(X,Z), \alpha(Y,W)\rangle -\langle \alpha(Y,Z), \alpha(X,W)\rangle </math>

Onde <math>R'</math> é o [[tensor de curvatura de Riemann]] de ''P'' e ''R'' é o de ''M.''

A <nowiki><b id="mwYQ">equação de Weingarten'''</nowiki> é um análogo da fórmula de Gauss para uma conexão no pacote normal. Deixei <math>X\in TM</math> e <math>\xi</math> um [[campo vetorial]] normal. Em seguida, decomponha o derivado covariante ambiental de <math>\xi</math> ao longo de ''X'' em componentes tangenciais e normais:

: <math>\nabla'_X\xi=\top (\nabla'_X\xi) + \bot(\nabla'_X\xi) = -A_\xi(X) + D_X(\xi).</math>

Então

# ''Equação de Weingarten'' : <math>\langle A_\xi X, Y\rangle = \langle \alpha(X,Y), \xi\rangle</math>
# ''D'' <sub>X</sub> é uma conexão métrica no pacote normal.

Portanto, há um par de conexões: ∇, definido no feixe tangente de ''M'' ; e ''D'', definido no feixe normal de ''M.'' Estas se combinam para formar uma conexão em qualquer produto tensor de cópias de T ''M'' e T <sup>⊥</sup> ''M.'' Em particular, eles definiram a derivada covariante de <math>\alpha</math> :

: <math>(\tilde{\nabla}_X \alpha)(Y,Z) = D_X\left(\alpha(Y,Z)\right) - \alpha(\nabla_X Y,Z) - \alpha(Y,\nabla_X Z).</math>

A '''equação de Codazzi – Mainardi''' é

: <math>\bot\left(R'(X,Y)Z\right) = (\tilde{\nabla}_X\alpha)(Y,Z) - (\tilde{\nabla}_Y\alpha)(X,Z).</math>

Como toda [[Imersão (matemática)|imersão]] é, em particular, uma incorporação local, as fórmulas acima também são válidas para imersões.

== Equações de Gauss – Codazzi na geometria diferencial clássica ==
=== Declaração de equações clássicas ===
Na [[geometria diferencial]] clássica de superfícies, as equações de Codazzi – Mainardi são expressas através da segunda forma fundamental ( ''L'', ''M'', ''N'' ):

: <math>L_v-M_u=L\Gamma^1{}_{12} + M(\Gamma^2{}_{12}-\Gamma^1{}_{11}) - N\Gamma^2{}_{11}</math>
: <math>M_v-N_u=L\Gamma^1{}_{22} + M(\Gamma^2{}_{22}-\Gamma^1{}_{12}) - N\Gamma^2{}_{12}</math>

=== Derivação de equações clássicas ===
Considere uma superfície paramétrica em 3 espaços euclidianos,

: <math>\mathbf{r}(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))</math>

onde as três funções componentes dependem suavemente de pares ordenados ( ''u'', ''v'' ) em algum domínio aberto ''U'' no plano ''uv'' . Suponha que essa superfície seja '''regular''', o que significa que os vetores '''r''' <sub>''u''</sub> e '''r''' <sub>''v''</sub> são [[Independência linear|linearmente independentes]] . Conclua isso com [[Base (álgebra linear)|base]] { '''r''' <sub>u</sub>, '''r''' <sub>v</sub>, '''n''' }, selecionando um vetor de unidade '''n''' normal para a superfície. É possível expressar as segundas derivadas parciais de '''r''' usando os [[símbolos de Christoffel]] e a segunda forma fundamental.

: <math>\mathbf{r}_{uu}=\Gamma^1{}_{11} \mathbf{r}_u + \Gamma^2{}_{11} \mathbf{r}_v + L \mathbf{n}</math>
: <math>\mathbf{r}_{uv}=\Gamma^1{}_{12} \mathbf{r}_u + \Gamma^2{}_{12} \mathbf{r}_v + M \mathbf{n}</math>
: <math>\mathbf{r}_{vv}=\Gamma^1{}_{22} \mathbf{r}_u + \Gamma^2{}_{22} \mathbf{r}_v + N \mathbf{n}</math>

[[Teorema de Clairaut-Schwarz|O teorema de Clairaut]] afirma que derivadas parciais comutam:

: <math>\left(\mathbf{r}_{uu}\right)_v=\left(\mathbf{r}_{uv}\right)_u</math>

Se diferenciarmos '''r''' <sub>uu</sub> em relação a ''v'' e '''r''' <sub>uv</sub> em relação a ''u'', obtemos:

: <math>\left(\Gamma^1{}_{11}\right)_v \mathbf{r}_u + \Gamma^1{}_{11} \mathbf{r}_{uv} + \left(\Gamma^2{}_{11}\right)_v \mathbf{r}_v + \Gamma^2{}_{11} \mathbf{r}_{vv} + L_v \mathbf{n} + L \mathbf{n}_v </math> <math> = \left(\Gamma^1{}_{12}\right)_u \mathbf{r}_u + \Gamma^1{}_{12} \mathbf{r}_{uu} + \left(\Gamma_{12}^2\right)_u \mathbf{r}_v + \Gamma^2{}_{12} \mathbf{r}_{uv} + M_u \mathbf{n} + M \mathbf{n}_u</math>

Agora substitua as expressões acima pelas segundas derivadas e iguale os coeficientes de '''n''' :

: <math> M \Gamma^1{}_{11} + N \Gamma^2{}_{11} + L_v = L \Gamma^1{}_{12} + M \Gamma^2{}_{12} + M_u </math>

Reorganizar essa equação fornece a primeira equação de Codazzi – Mainardi.

A segunda equação pode ser derivada de maneira semelhante.

== Curvatura média ==
Seja ''M'' um coletor ''m-'' dimensional suave imerso no ( ''m'' &nbsp; + &nbsp; ''k'' ) distribuidor liso dimensional ''P.'' Deixei <math>e_1,e_2,\ldots, e_k</math> ser um quadro ortonormal local de campos vetoriais normal a ''M.'' Então nós podemos escrever,

: <math>\alpha(X,Y) = \sum_{j=1}^k\alpha_j(X,Y)e_j</math>

Se agora <math>E_1,E_2,\ldots,E_m</math> é uma estrutura ortonormal local (de campos vetoriais tangentes) no mesmo subconjunto aberto de ''M'', então podemos definir as curvaturas médias da imersão por

: <math>H_j=\sum_{i=1}^m\alpha_j(E_i,E_i)</math>

Em particular, se ''M'' é uma hipersuperfície de ''P'', isto é, <math>k=1</math>, então há apenas uma curvatura média para falar. A imersão é chamada [[Superfície mínima|mínima]] se todas as <math>H_j</math> são identicamente zero.

Observe que a curvatura média é um traço, ou média, da segunda forma fundamental, para qualquer componente. Às vezes, a curvatura média é definida pela multiplicação da soma do lado direito por <math>1/m</math> .

Agora podemos escrever as equações de Gauss – Codazzi como

: <math>\langle R'(X,Y)Z, W\rangle = \langle R(X,Y)Z, W \rangle + \sum_{j=1}^k \alpha_j(X,Z) \alpha_j(Y,W) - \alpha_j(Y,Z) \alpha_j(X,W) </math>

Contração das componentes  <math>Y,Z</math>  nos dá

: <math> \operatorname{Ric}'(X, W) = \operatorname{Ric}(X,W) + \sum_{j=1}^k \langle R'(X,e_j)e_j,W\rangle+ \left(\sum_{i=1}^m\alpha_j(X,E_i) \alpha_j(E_i,W)\right) - H_j \alpha_j(X,W) </math>

Observe que o tensor entre parênteses é simétrico e não negativo definido em <math>X,W</math> . Assumindo que ''M'' é uma hipersuperfície, isso simplifica

: <math> \operatorname{Ric}'(X, W) = \operatorname{Ric}(X,W) + \langle R'(X,n)n,W\rangle+ \left(\sum_{i=1}^mh(X,E_i) h(E_i,W)\right) - H h(X,W) </math>

Onde <math>n = e_1</math> e <math>h = \alpha_1</math> e <math>H = H_1</math> . Nesse caso, mais uma contração produz,

: <math> R' = R + 2 \operatorname{Ric}'(n,n)+ \|h\|^2 - H^2 </math>

Onde <math>R'</math> e <math>R</math> são as respectivas curvaturas escalares, e

: <math>\|h\|^2 = \sum_{i,j=1}^m h(E_i,E_j)^2</math>

E se <math>k>1</math>, a equação da curvatura escalar pode ser mais complicada.

Já podemos usar essas equações para tirar algumas conclusões. Por exemplo, qualquer imersão mínima<ref>{{Harvnb|Takahashi|1966}}</ref> na esfera redonda <math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{m+k+1}^2 = 1 </math> deve ser da forma

: <math>\Delta x_j + \lambda x_j = 0</math>

Onde <math>j</math> vai de 1 a <math>m+k+1</math> e

: <math>\Delta = \sum_{i=1}^m \nabla_{E_i}\nabla_{E_i}</math>

é o [[Operador de Laplace-Beltrami|Laplaciano]] em ''M'', e <math>\lambda>0</math> é uma constante positiva.

== Bibliografia ==
* {{Citation|primeiro1 =Ossian|último =Bonnet|autorlink =Ossian Bonnet|título=Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee|periódico=[[Journal de l'École Polytechnique]]|volume=25|páginas=31–151|ano=1867}}
* {{Citation|título=Riemannian Geometry|primeiro1 =Manfredo Perdigao|último =do Carmo|autorlink =Manfredo do Carmo|ano=1994|others=Francis Flaherty}}
* {{Citation|primeiro1 =Delfino|último =Codazzi|autorlink =Delfino Codazzi|ano=1868–1869|título=Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio|periódico=Ann. Mat. Pura Appl.|volume=2|páginas=101–19}}
* {{Citation|primeiro1 =Carl Friedrich|último =Gauss|autorlink =Carl Friedrich Gauss|título=Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas|periódico=Comm. Soc. Gott.|volume=6|ano=1828|língua=la}}  ("Discussões gerais sobre superfícies curvas")
* {{SpringerEOM|title=Peterson–Codazzi equations|first=A.B.|last=Ivanov|year=2001}} <bdi> {{SpringerEOM|title=Peterson–Codazzi equations|first=A.B.|last=Ivanov|year=2001}} </bdi>
* {{Citation|primeiro1 =Morris|último =Kline|autorlink =Morris Kline|título=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|publicado=[[Oxford University Press]]|ano=1972|isbn=0-19-506137-3|url=https://archive.org/details/mathematicalthou00morr}} <bdi> {{Citation|primeiro1 =Morris|último =Kline|autorlink =Morris Kline|título=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|publicado=[[Oxford University Press]]|ano=1972|isbn=0-19-506137-3|url=https://archive.org/details/mathematicalthou00morr}} </bdi>
* {{Citation|primeiro1 =Gaspare|último =Mainardi|autorlink =Gaspare Mainardi|ano=1856|título=Su la teoria generale delle superficie|periódico=Giornale dell' Istituto Lombardo|volume=9|páginas=385–404}}
* {{Citation|último =Peterson|primeiro1 =Karl Mikhailovich|autorlink =Karl Mikhailovich Peterson|título=Über die Biegung der Flächen|publicado=Doctoral thesis, Dorpat University|ano=1853}}  .
* {{Citation|primeiro1 =Tsunero|último =Takahashi|título=Minimal immersions of Riemannian manifolds|periódico=Journal of the Mathematical Society of Japan|ano=1966}}

{{referências}}

== Ligações externas ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Peterson-Mainardi-CodazziEquations.html Equações de Peterson – Mainardi – Codazzi - de Wolfram MathWorld]
* [http://eom.springer.de/p/p072450.htm Equações de Peterson-Codazzi]

[[Categoria:Superfícies]]
[[Categoria:Geometria riemanniana]]
[[Categoria:Geometria diferencial]]