Mostrar código-fonte de Equivalência de categorias

Na [[teoria das categorias]], '''equivalência de categorias''' é o conceito "correto" para dizer se [[categoria (teoria das categorias)|categorias]] são "essencialmente as mesmas". Assim como objetos numa categoria são comparados não por serem iguais ou não, mas por haver ou não [[isomorfismo (teoria das categorias)|isomorfismos]] entre eles, <math>C</math> e <math>D</math> são equivalentes quando são relacionadas por dois [[functor]]es que são inversos a menos de isomorfismos [[transformação natural (teoria das categorias)|naturais]].<ref>{{harv | Aluffi | loc=§VIII.1.3}}</ref><ref>{{citar web | url=https://ncatlab.org/nlab/show/equivalence+of+categories |title=Equivalence of categories – ''n''Lab |acessodata=23 de fevereiro de 2020}}</ref>

==Definição==
Uma '''equivalência''' entre as categorias <math>C, D</math> é uma quádrupla consistindo de dois functores <math>F : C \to D</math> e <math>G : D \to C</math>, e dois isomorfismos naturais <math>\eta : 1 \dot\cong GF</math> e <math>\epsilon : FG \dot\cong 1</math>.<ref group=nota>O porquê de não ser escrito <math>\epsilon : 1 \dot\cong FG</math>, na ordem contrária, é que <math>\epsilon</math> também pode ser counidade de uma adjunção; ver seção '''equivalência adjunta'''.</ref> Compare com o conceito de isomorfismo na categoria <math>\mathsf{Cat}</math>, que exige <math>GF = 1_C</math> e <math>FG = 1_D</math>. Escreve-se <math>C \simeq D</math> quando <math>C, D</math> são equivalentes. A relação <math>\simeq</math> é [[relação de equivalência]].

Uma condição suficiente e necessária para um functor <math>F : C \to D</math> ser parte de uma equivalência de categorias é ser [[funtores plenos e fiéis|functor pleno, fiel]] e ''essencialmente sobrejetivo'' (isto é, para cada <math>d \in D</math>, há <math>c \in C</math> tal que <math>F(c) \cong d</math>).<ref>{{harv | Riehl | loc=§1.5}}</ref>

O '''princípio de equivalência''' é a afirmação de que os conceitos estudados em teoria das categorias devem ser invariantes na equivalência de categorias.<ref>{{citar web | url=https://ncatlab.org/nlab/show/principle+of+equivalence |title=Principle of equivalence – ''n''Lab |acessodata=23 de fevereiro de 2020}}</ref>

==Equivalência adjunta==
Uma '''equivalência adjunta''' é uma equivalência <math>(F, G, \eta, \epsilon)</math> formando uma [[adjunção (teoria das categorias)#Por unidade e counidade|adjunção]].

Toda equivalência de categorias pode ser promovida a uma equivalência adjunta:<ref>{{harv | Riehl | loc=§4.4, proposição 4.4.5}}</ref>
<math display="block">
  \left(F, G, \eta : 1 \dot\cong GF, \epsilon \cdot F(G\epsilon \cdot \eta G)^{-1} : FG \dot\cong 1\right)
</math>

==Exemplo==
* A [[dualidade de Gelfand]] implica que a oposta da categoria das [[C*-álgebra]]s complexas unitárias comutativas é equivalente à categoria dos espaços [[espaço compacto|compactos]] de [[espaço de Hausdorff|Hausdorff]].<ref name=maclaneGelfand>{{harv | Mac Lane | loc=§IV.4}}</ref><ref name=nlabGelfand>{{citar web |url=https://ncatlab.org/nlab/show/Gelfand+duality |titulo=Gelfand duality – ''n''Lab |acessodata=21 de abril de 2020}}</ref>

{{notas}}
{{Referências}}

==Bibliografia==
* {{citar livro |ultimo=RIEHL |primeiro=Emily |data=2014 |titulo=Category Theory in Context |url=http://www.math.jhu.edu/~eriehl/context/}}
* {{citar livro |ultimo=ALUFFI |primeiro=Paolo |data=2009 |titulo=Algebra: Chapter 0 |edicao=1 |editora=American Mathematical Society |series=Graduate Studies in Mathematics |isbn=978-0-8218-4781-7}}
* {{citar livro |ultimo=MAC LANE |primeiro=Saunders |data=1998 |titulo=Categories for the Working Mathematician |series=Graduate Texts in Mathematics |edicao=2 |editora=Springer |isbn=0-387-98403-8}}

{{esboço-matemática}}
[[Categoria:Teoria das categorias]]