Mostrar código-fonte de Espaço topológico

{{sem notas|data=setembro de 2013}}
[[Ficheiro:Triple Gear.jpg|miniaturadaimagem|Um mecanismo impresso em 3D que consiste em três anéis ligados com dentes de engrenagem]]
'''Espaços topológicos''' são estruturas que permitem a formalização de conceitos tais como [[convergência]], [[conexidade]] e [[Função contínua|continuidade]]. Eles aparecem em praticamente todos os ramos da [[matemática]] moderna e são uma noção unificadora central. O ramo da matemática que estuda os espaços topológicos é denominado [[topologia]].

== Definição ==
Uma topologia em um [[conjunto]] <math>X</math> é uma coleção <math>\tau</math> de [[Conjunto#Conjunto potência ou das partes|partes]] de <math>X,</math> chamados os [[conjunto aberto|abertos]] da topologia, com as seguintes propriedades:
# O [[conjunto vazio]] e o próprio conjunto X são abertos: <math>\varnothing , X \in \tau;</math>
# A interseção de dois conjuntos abertos é um aberto: Se  <math>A_1,A_2 \in \tau,</math> então <math>A_1\cap A_2\in\tau;</math>
# A união de uma família arbitrária (finita ou infinita) de abertos é um aberto: Dada uma família arbitrária <math>(A_\lambda)_{\lambda\in L},</math> com <math>A_\lambda\in\tau, \forall\lambda\in L,</math> tem-se <math>(\bigcup_{\lambda\in L}A_{\lambda})\in\tau.</math>

Um '''espaço topológico''' é um par <math>( X, \tau)</math> onde <math>X</math> é um conjunto e <math>\tau</math> é uma topologia em <math>X.</math> 

== Exemplos ==
* Se <math>X</math> é um conjunto, a topologia <math>\tau=\wp(X),</math> no qual <math>\wp(X)</math> é o [[Conjunto de partes|conjunto das partes]] de <math>X</math> é denominada a [[topologia discreta]] sobre <math>X.</math> 
* Se <math>X</math> é um conjunto, a topologia <math>\tau=\{\varnothing, X\}</math> é denominada a [[topologia grosseira]] sobre <math>X.</math> 
* Um [[espaço métrico]] <math>(X,d)</math> tem uma estrutura natural de espaço topológico para <math>\tau</math> definido como o conjunto das [[Conjunto#União e Interseção|reuniões]] de [[bola (matemática)|bolas]] abertas <math>B(x,\delta)=\{y\in X:d(x,y)<\delta\}.</math> 
* Nada impede que, a um conjunto <math>X</math>, esteja associada mais de uma topologia, por exemplo, <math>\tau_1</math> e <math>\tau_2.</math> Quando todo aberto de <math>\tau_1</math> for um aberto de <math>\tau_2,</math> diz-se que a topologia <math>\tau_1</math> é mais grossa que <math>\tau_2,</math> ou, analogamente, que <math>\tau_2</math> é mais fina que <math>\tau_1.</math> Como o próprio nome indica, a [[topologia grosseira]] é mais grossa que qualquer outra, e a [[topologia discreta]] é mais fina que qualquer outra.

== Fechados ==
{{Artigo principal|[[Conjunto fechado]]}}
Um [[subconjunto]] de um espaço topológico diz-se ''fechado'' se o seu [[complementar]] for [[conjunto aberto|aberto]].

== Propriedades ==
* Dada uma família não-vazia de topologias <math>\{ \tau_{\lambda} \},</math> a sua [[interseção]] <math>\bigcap_{\lambda} \tau_{\lambda}</math> é uma topologia.
* Essa propriedade permite construir topologias ''mínimas'', ou seja, a ''menor'' topologia que satisfaz determinadas propriedades, como sendo a interseção de todas as topologias que satisfazem determinada propriedade (desde que essa propriedade seja hereditária para interseções!).
* Por exemplo, dada uma coleção ''S'' de subconjuntos de ''X'' (ou seja, <math>S \subset P(X)</math>), sabemos que existe uma topologia que contém ''S'', a [[topologia discreta]] <math>\tau = P(X).</math> Portanto, a família ''F'' de todas as topologias que contém ''S'' não é vazia, e podemos formar a sua interseção. Esta é a topologia ''gerada'' por ''S'', e ''S'' é uma [[base (topologia)|sub-base]] desta topologia.
* Seja <math>\tau_X</math> uma topologia em ''X'', e <math>Y \subset X.</math> Para tornar ''Y'' um [[subespaço topológico]], existe uma topologia canônica em ''Y'', <math>\tau_Y = \{ A \cap Y | A \in \tau_X \},.</math> Uma forma interessante de construir essa topologia se baseia no conceito de [[função contínua]]. A [[função inclusão]] <math>i: Y \rightarrow X , i(y) = y</math> é contínua para a [[topologia discreta]] em Y, portanto a família de todas as topologias em ''Y'' para as quais ''i'' é contínua é um conjunto não-vazio. A topologia canônica de ''Y'' é precisamente a ''menor'' topologia que torna a inclusão uma função contínua.

== Referências ==
{{Wikilivros|Topologia}}
* {{Citar livro | sobrenome = Lima|nome= Elon Lages |título = Espaços métricos | series= Coleção Projeto Euclides | editora= IMPA |ano= 2013| edição= 5ª | isbn =978-85-244-0158-9|páginas= 299}}
* {{Citar livro | sobrenome = Lima|nome= Elon Lages |título = Elementos de topologia geral | editora= LTC |ano= 1976| edição=  | isbn = |páginas= }}

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[[Categoria:Topologia (matemática)]]