Mostrar código-fonte de Espiral de Ulam

[[Imagem:Spirale Ulam 150.jpg|miniatura|A espiral de Ulam. Os pontos vermelhos representam números primos; os pontos azuis representam números compostos, com o tamanho do ponto indicando o nível de composição. ''(clique na imagem para ampliar)'']]
A '''Espiral de Ulam''', ou '''Espiral dos Primos''', é um método simples de representar os [[números primos]] por intermédio de um [[Teoria de Grafos|grafo]] e que revela um padrão que permanece por explicar. Foi descoberta pelo [[matemático]] [[Stanisław Ulam]] em [[1963]], enquanto [[Doodle|rabiscava distraidamente]] num papel por estar entediado durante um encontro científico.<ref>{{citation
 | último = Gardner | primeiro = M. | autorlink=link = Martin Gardner
 | data = março 1964
 | url  = http://www.scientificamerican.com/article/mathematical-games-1964-03/
 | periódico = [[Scientific American]]
 | páginas = 120–128
 | titulo = '''Mathematical Games: The Remarkable Lore of the Prime Numbers'''
 | volume = 210
}}</ref> Ulam, aborrecido, desenhou um [[Teoria de Grafos|grafo]] com números, começando com o 1 no centro e prosseguindo, em espiral, para o exterior:

[[Imagem:Ulam-Spirale1.png|250px|centro|Números de 1 a 5 em espiral]]

Então, assinalou todos os primos e obteve a seguinte figura:

[[Ficheiro:Ulam-Spirale2.png|250px|centro|Espiral de Ulam (pequena)]]

Verificou, surpreendido, que os números assinalados tendiam a agrupar-se segundo [[Diagonal|diagonais]]. A imagem abaixo é de uma Espiral de Ulam 200×200, onde os números primos estão assinalados a preto. As diagonais são perfeitamente visíveis, confirmando o padrão.<ref>Stein, M. and Ulam, S. M. (1967), '''An Observation on the Distribution of Primes'''. ''American Mathematical Monthly'' 74, 43-44. {{DOI|10.2307/2314055}} {{ISSN|0002-9890}} {{en}}</ref>

[[Imagem:Ulam 1.png|250px|direita|miniatura|Espiral de Ulam (200×200)]]
Todos os números primos, excepto o 2, são [[ímpar]]es. Como na Espiral de Ulam as diagonais adjacentes são, alternadamente, pares e ímpares, é normal que todos os números primos estejam em diagonais alternadas. No entanto, é curiosa a tendência de certas diagonais terem mais números primos do que outras.<ref>* Stein, M. L.; Ulam, S. M.; and Wells, M. B. (1964), '''A Visual Display of Some Properties of the Distribution of Primes'''. ''American Mathematical Monthly'' 71, 516-520. {{DOI|10.2307/2312588}} {{ISSN|0002-9890}} {{en}}</ref>

Até agora, os testes confirmaram que há diagonais mesmo quando se representa uma quantidade muito grande de números. O padrão também parece manter-se mesmo que o número do centro não seja 1 (pode ser muito maior que 1). Isto implica que há várias constantes inteiras ''b'' e ''c'' tais que a função:

: <math>f(n) = 4 n^2 + b n + c</math>

gera uma quantidade de números primos (com n = 1, 2, 3, ...) que é grande comparada com a proporção de números primos entre números de magnitude semelhante. Esta descoberta foi tão significativa que a Espiral de Ulam apareceu na capa da ''[[Scientific American]]'' em Março de [[1964]].

A uma distância suficiente do centro, também são perfeitamente visíveis linhas horizontais e verticais.

== Variantes ==
Outras variantes da Espiral de Ulam, como a [[Espiral de Sacks]], também têm padrões que estão por explicar.

{{Referências}}

{{Esboço-matemática}}
{{Teoria dos números}}
{{Portal3|Matemática}}

{{DEFAULTSORT:Espiral Ulam}}
[[Categoria:Curvas]]
[[Categoria:Números primos]]