Mostrar código-fonte de Estrutura causal

<!-- {{About|as possíveis relações causais entre pontos em uma variedade lorentziana|classificação das variedades lorentzianas de acordo com os tipos de estruturas causais que elas admitem|:en:Causality conditions{{!}}Condições de causalidade}}  (na enwiki)-->
Na [[física matemática]], a estrutura causal de uma variedade Lorentziana{{Ill|en||Pseudo-Riemannian manifold#Lorentzian manifold|nlk=true}} descreve as relações causais{{Ill|en||Causality (physics)|nlk=true}} entre pontos na variedade.

==Introdução==
Na [[física moderna]] (especialmente na [[relatividade geral]]), o [[espaço-tempo]] é representado por uma variedade Lorentziana{{Ill|en||Pseudo-Riemannian manifold#Lorentzian manifold|nlk=true}}. As relações causais entre pontos na variedade são interpretadas como descrevendo quais eventos no espaço-tempo podem influenciar quais outros eventos.

A estrutura causal de uma variedade lorentziana arbitrária (possivelmente curva) torna-se mais complicada pela presença de [[curvatura]]. As discussões sobre a estrutura causal de tais variedades devem ser formuladas em termos de [[curva]]s [[Função suave|suaves]] que unem pares de pontos. As condições nos [[Vetor tangente|vetores tangentes]] das curvas definem então as relações causais.

===Vetores tangentes===
[[Imagem:World line.svg|250px|thumb|right|Subdivisão do espaço-tempo de Minkowski em relação a um ponto em quatro conjuntos disjuntos. O [[cone de luz]], o '''futuro causal''', o '''passado causal''' e '''outros lugares'''. A terminologia é definida neste artigo.]]

Se <math>\,(M,g)</math> é uma variedade Lorentziana (para a [[Tensor métrico|métrica]] <math>g</math> na [[Variedade (matemática)|variedade]] <math>M</math>) então os vetores tangentes diferentes de zero em cada ponto na variedade podem ser classificados em três tipos [[Conjuntos disjuntos|disjuntos]]. Um vetor tangente <math>X</math> é:

* '''semelhante ao tempo''' se <math>\,g(X,X) < 0</math>
* '''nulo''' ou '''semelhante a luz''' se <math>\,g(X,X) = 0</math>
* '''semelhante ao espaço''' se <math>\,g(X,X) > 0</math>

Aqui usamos a [[assinatura métrica]] <math>(-,+,+,+,\cdots)</math>. Dizemos que um vetor tangente '''não é semelhante ao espaço''' se for nulo (semelhante a luz) ou semelhante ao tempo.

A variedade Lorentziana canônica é o [[Espaço de Minkowski|espaço-tempo de Minkowski,]] onde <math>M=\mathbb{R}^4</math> e <math>g</math> é a métrica de Minkowski{{Ill|en||Minkowski_space#Minkowski_metric|nlk=true}} plana{{Ill|en||Curvature#Curvature of space|nlk=true}}. Os nomes dos vetores tangentes vêm da física desse modelo. As relações causais entre pontos no espaço-tempo de Minkowski assumem uma forma particularmente simples porque o espaço tangente também é <math>\mathbb{R}^4</math> e, portanto, os vetores tangentes podem ser identificados com pontos no espaço. O vetor quadridimensional <math>X = (t,r)</math> é classificado de acordo com o sinal de <math>g(X,X) = - c^2 t^2 + \|r\|^2</math>, onde <math>r \in \mathbb{R}^3</math> é uma coordenada [[Sistema de coordenadas cartesiano|cartesiana]] no espaço tridimensional, <math>c</math> é a constante que representa o limite de velocidade universal e <math>t</math> é o tempo. A classificação de qualquer vetor no espaço será a mesma em todos os referenciais relacionados por uma [[transformação de Lorentz]] (mas não por uma [[Grupo de Poincaré|transformação de Poincaré]] geral porque a origem pode ser deslocada) por causa da invariância da métrica.

===Orientabilidade temporal===
Em cada ponto em <math>M</math>, os vetores tangentes semelhantes ao tempo no [[espaço tangente]] do ponto podem ser divididos em duas classes. Para fazer isso, primeiro definimos uma [[relação de equivalência]] em pares de vetores tangentes semelhantes ao tempo.

Se <math>X</math> e <math>Y</math> são dois vetores tangentes semelhantes ao tempo em um ponto, dizemos que <math>X</math> e <math>Y</math> são equivalentes (escrito <math>X \sim Y</math>) se <math>\,g(X,Y) < 0</math>.

Existem então duas [[Classe de equivalência|classes de equivalência]] que entre elas contêm todos os vetores tangentes do tipo tempo no ponto. Podemos (arbitrariamente) chamar uma dessas classes de equivalência '''dirigida ao futuro''' e chamar a outra de '''dirigida ao passado'''. Fisicamente, essa designação das duas classes de vetores temporais direcionados ao futuro e ao passado corresponde a uma escolha de uma [[Flecha do tempo|seta de tempo]] no ponto. As designações dirigidas ao futuro e ao passado podem ser estendidas para vetores nulos em um ponto por continuidade.

Uma variedade Lorentziana{{Ill|en||Pseudo-Riemannian manifold#Lorentzian manifold|nlk=true=true}} é '''orientável no tempo'''<ref>{{Harvnb|Hawking|Israel|1979|p=255}}</ref> se uma designação contínua de direção ao futuro e direção ao passado para vetores não-espaciais puder ser feita em toda a variedade.

==Curvas==
Um '''caminho''' em <math>M</math> é um mapa contínuo{{Ill|en||Smoothness#Parametric continuity|nlk=true}} <math>\mu : \Sigma \to M</math> onde <math>\Sigma</math> é um intervalo que não é degenerado (ou seja, um conjunto conectado contendo mais de um ponto) em <math>\mathbb{R}</math>. Um caminho '''suave''' tem <math>\mu</math> diferenciável um número apropriado de vezes (normalmente <math>C^\infty</math>) e um caminho '''regular''' tem derivada que não é nula.

Uma '''curva''' em <math>M</math> é a imagem de um caminho ou, mais propriamente, uma classe de equivalência de imagens de caminho relacionada por reparametrização, ou seja, [[homeomorfismo]]s ou [[difeomorfismo]]s de <math>\Sigma</math>. Quando <math>M</math> é '''orientável''' no tempo, a curva é orientada se for necessário que a alteração do parâmetro seja [[Função monótona|monotônica]].

Curvas regulares suaves (ou caminhos) em <math>M</math> podem ser classificadas dependendo de seus vetores tangentes. Tal curva é
* '''cronológica''' (ou '''semelhante ao tempo''') se o vetor tangente for semelhante ao tempo em todos os pontos da curva. Também chamada de [[Linha de universo|linha mundial]].<ref>{{Cite web |last1=Galloway |first1=Gregory J. |title=''Notes on Lorentzian causality'' |url=https://www.math.miami.edu/~galloway/vienna-course-notes.pdf |website=ESI-EMS-IAMP summer school on mathematical relativity |publisher=''University of Miami'' |access-date=02-07-2021 |page=4 |language=en }}</ref>
* '''nula''' ('''semelhante à luz''') se o vetor tangente for nulo (semelhante à luz) em todos os pontos da curva.
* '''semelhante ao espaço''' se o vetor tangente for semelhante ao espaço em todos os pontos da curva.
* '''causal''' (ou '''que não é semelhante ao espaço''') se o vetor tangente for semelhante ao tempo ''ou'' nulo (semelhante à luz) em todos os pontos da curva.

Os requisitos de regularidade e não degenerescência de <math>\Sigma</math> garantem que curvas causais fechadas (como aquelas que consistem em um único ponto) não sejam automaticamente admitidas por todos os espaços-tempos.

Se a variedade é orientável no tempo, então as curvas que não são semelhantes ao tempo podem ainda ser classificadas dependendo de sua orientação em relação ao tempo.

Uma curva cronológica, nula (semelhante à luz) ou causal, em <math>M</math> é
* '''orientada ao futuro''' se, para cada ponto na curva, o vetor tangente for direcionado ao futuro.
* '''direcionada ao passado''' se, para cada ponto na curva, o vetor tangente é direcionado ao passado.
Essas definições aplicam-se apenas às curvas causais (cronológicas ou nulas), porque apenas vetores tangentes semelhantes ao tempo ou nulos (semelhante à luz) podem receber uma orientação em relação ao tempo.

* Uma [[Curva fechada de tipo tempo|curva semelhante ao tempo fechada]] é uma curva fechada que é semelhante ao tempo direcionada ao futuro (ou semelhante ao tempo direcionada ao passado) em todos os lugares.
* Uma '''curva nula (semelhante à luz) fechada''' é uma curva fechada que é nula (semelhante à luz) em toda parte direcionada ao futuro (ou nula (semelhante à luz) em toda parte direcionada ao passado).

A [[holonomia]] da razão da taxa de mudança do parâmetro afim em torno de uma geodésica nula (semelhante à luz) fechada é o '''fator de desvio para o vermelho'''.

===Relações causais===
Existem várias relações{{Ill|en||Relation (mathematics)|nlk=true}} causais entre os pontos <math>x</math> e <math>y</math> na variedade <math>M</math>.

* <math>x</math> '''precede cronologicamente''' <math>y</math> (muitas vezes denotado <math>\,x \ll y</math>) se existe uma curva cronológica (semelhante ao tempo) dirigida ao futuro de <math>x</math> para {{Nowrap|<math>y</math>.}}
* <math>x</math> '''estritamente precede causalmente''' <math>y</math> (muitas vezes denotado <math>x < y</math>) se existe uma curva causal (que não é semelhante ao espaço) direcionada ao futuro de <math>x</math> para <math>y</math>.
* <math>x</math> '''causalmente precede''' <math>y</math> (muitas vezes denotado <math>x \prec y</math> ou <math>x \le y</math>) se <math>x</math> precede estritamente causalmente <math>y</math> ou <math>x=y</math>.
* <math>x</math> '''horismos''' <math>y</math><ref>{{Harvnb|Penrose|1972|p=15}}</ref> (muitas vezes denotado <math>x \to y</math> ou <math> x \nearrow y </math>) se <math>x=y</math> ou existe uma curva nula direcionada ao futuro de <math>x</math> para <math>y</math><ref name=Papadopoulos>{{Cite journal |last1=Papadopoulos |first1=Kyriakos |last2=Acharjee |first2=Santanu |last3=Papadopoulos |first3=Basil K. |title=''The order on the light cone and its induced topology'' |journal=International journal of geometric methods in modern physics |date=05-2018 |volume=15 |issue=5 |pages=1850069–1851572 |doi=10.1142/S021988781850069X |arxiv=1710.05177 |bibcode=2018IJGMM..1550069P |s2cid=119120311 |language=en }}</ref>  (ou equivalentemente, <math>x \prec y</math> e <math>x \not\ll y</math>).

Essas relações satisfazem as seguintes propriedades:

* <math>x \ll y</math> implica <math>x \prec y</math> (isso decorre trivialmente da definição)<ref name="Penrose12"/>
* <math>x \ll y</math>, <math>y \prec z</math> implica <math>x \ll z</math><ref name="Penrose12">{{Harvnb|Penrose|1972|p=12}}</ref>
* <math>x \prec y</math>, <math>y \ll z</math> implica <math>x \ll z</math><ref name="Penrose12"/>
* <math>\ll</math>, <math><</math>, <math>\prec</math> são [[Relação transitiva|transitivas]].<ref name="Penrose12"/> <math>\to</math> não é transitiva.<ref>{{Cite journal |last1=Stoica |first1=O. C. |title=''Spacetime causal structure and dimension from horismotic relation'' |journal=Journal of gravity |date=25-05-2016 |volume=2016 |pages=1 – 6 |doi=10.1155/2016/6151726 |doi-access=free |arxiv=1504.03265 |language=en }}</ref>
* <math>\prec</math>, <math>\to</math> são [[Relação reflexiva|reflexivas]]<ref name=Papadopoulos/>

Para um ponto <math>x</math> na variedade <math>M</math> definimos<ref name="Penrose12"/>

* O '''futuro cronológico''' de <math>x</math>, denotado <math>\,I^+(x)</math>, como o conjunto de todos os pontos <math>y</math> em <math>M</math> tal que <math>x</math> cronologicamente precede <math>y</math>:

:<math>\,I^+(x) = \{ y \in M | x \ll y\}</math>
* O '''passado cronológico''' de <math>x</math>, denotado <math>\,I^-(x)</math>, como o conjunto de todos os pontos <math>y</math> em <math>M</math> tal que <math>y</math> cronologicamente precede <math>x</math>:

:<math>\,I^-(x) = \{ y \in M | y \ll x\}</math>

Nós definimos similarmente

* O '''futuro causal''' (também chamado de '''futuro absoluto''') de <math>x</math>, denotado <math>\,J^+(x)</math>, como o conjunto de todos os pontos <math>y</math> em <math>M</math> tal que <math>x</math> preceda causalmente <math>y</math>:

:<math>\,J^+(x) = \{ y \in M | x \prec y\}</math>

* O '''passado causal''' (também chamado de '''passado absoluto''') de <math>x</math>, denotado <math>\,J^-(x)</math>, como o conjunto de todos os pontos <math>y</math> em <math>M</math> tal que <math>y</math> preceda causalmente <math>x</math>:

:<math>\,J^-(x) = \{ y \in M | y \prec x\}</math>

* O '''cone nulo futuro''' de <math>x</math> como o conjunto de todos os pontos <math>y</math> em <math>M</math> tal que <math>x \to y</math>.
* O '''cone nulo passado''' de <math>x</math> como o conjunto de todos os pontos <math>y</math> em <math>M</math> tal que <math>y \to x</math>.
* O [[cone de luz]] de <math>x</math> como os cones nulos futuros e passados de <math>x</math> juntos.<ref name=Sard78>{{Harvnb|Sard|1970|p=78}}</ref>
* '''em outro lugar''' como pontos fora do cone de luz, futuro causal ou passado causal.<ref name=Sard78/>

Os pontos contidos em <math>\, I^+(x)</math>, por exemplo, podem ser alcançados a partir de <math>x</math> por uma curva semelhante ao tempo direcionada ao futuro.
O ponto <math>x</math> pode ser alcançado, por exemplo, a partir de pontos contidos em <math>\,J^-(x)</math> por uma curva que não é espacial direcionada ao futuro.

No [[Espaço de Minkowski|espaço-tempo de Minkowski]] o conjunto <math>\,I^+(x)</math> é o [[Interior (topologia)|interior]] do [[cone de luz]] futuro em <math>x</math>. O conjunto <math>\,J^+(x)</math> é o cone de luz futuro completo em <math>x</math>, incluindo o próprio cone.

Esses conjuntos <math>\,I^+(x) ,I^-(x), J^+(x), J^-(x)</math>
definidos para todo <math>x</math> em <math>M</math>, são chamados coletivamente de '''estrutura causal''' de <math>M</math>.

Para <math>S</math>, um [[subconjunto]] de <math>M</math>, definimos<ref name="Penrose12"/>

:<math>I^\pm[S] = \bigcup_{x \in S} I^\pm(x) </math>
:<math>J^\pm[S] = \bigcup_{x \in S} J^\pm(x) </math>

Para <math>S, T</math> dois [[subconjunto]]s de <math>M</math> definimos

* O '''futuro cronológico de <math>S</math> relativo a <math>T</math>''', <math>I^+[S;T]</math>, é o futuro cronológico de <math>S</math> considerado como uma subvariedade de <math>T</math>. Observe que este é um conceito bem diferente de <math>I^+[S] \cap T</math> que fornece o conjunto de pontos em <math>T</math> que pode ser alcançado por curvas semelhantes ao tempo direcionadas ao futuro começando em <math>S</math>. No primeiro caso, as curvas devem estar em <math>T</math>, no segundo caso, não. Veja Hawking e Ellis.
* O '''futuro causal de <math>S</math> relativo a <math>T</math>''', <math>J^+[S;T]</math>, é o futuro causal de <math>S</math> considerado como uma subvariedade de <math>T</math>. Observe que este é um conceito bem diferente de <math>J^+[S] \cap T</math> que fornece o conjunto de pontos em <math>T</math> que pode ser alcançado por curvas causais direcionadas ao futuro começando em <math>S</math>. No primeiro caso, as curvas devem estar em <math>T</math>, no segundo caso, não. Veja Hawking e Ellis.
* Um '''conjunto futuro''' é um conjunto fechado sob o futuro cronológico.
* Um '''conjunto passado''' é um conjunto fechado sob o passado cronológico.
* Um '''conjunto passado indecomponível''' (P.I.){{Nre|do inglês ''I.P.'' – '''''i'''ndecomposable '''p'''ast''}} é um conjunto passado que não é a união de dois subconjuntos próprios passados abertos diferentes.
* Um P.I. que não coincide com o passado de qualquer ponto em <math>M</math> é chamado de '''conjunto passado indecomponível terminal''' (P.I.T.){{Nre|do inglês ''T.I.P.'' – '''''t'''erminal '''i'''ndecomposable '''p'''ast''}}.
* Um '''conjunto passado indecomponível própeio''' (P.I.P.){{Nre|do inglês ''P.I.P.'' – '''''p'''roper '''i'''ndecomposable '''p'''ast''}} é um P.I. que não é um P.I.T. <math>I^-(x)</math> é um conjunto passado indecomponível adequado (P.I.P.).
* O '''desenvolvimento de Cauchy'''{{Ill|en||Cauchy surface#Cauchy developments|nlk=true}} futuro de <math>S</math>, <math>D^+ (S)</math> é o conjunto de todos os pontos <math>x</math> para os quais toda curva causal inextensível direcionada ao passado através de <math>x</math> intercepta <math>S</math> pelo menos uma vez. Da mesma forma para o desenvolvimento passado de Cauchy. O desenvolvimento de Cauchy é a união dos desenvolvimentos de Cauchy do futuro e do passado. Os desenvolvimentos de Cauchy são importantes para o estudo do [[determinismo]].
* Um subconjunto <math>S \subset M</math> é '''acronal''' se não existir <math>q,r \in S</math> tal que <math>r \in I^ {+}(q)</math>, ou equivalentemente, se <math>S</math> for disjunto de <math>I^{+}[S]</math>.
{{Âncora|Diamante}}[[Imagem:PhysRevD.99.086006 Fig2 CausalDiamond.png|thumb|Diamante causal]]
* Uma '''superfície de Cauchy'''{{Ill|en||Cauchy surface|nlk=true}} é um conjunto acronal fechado cujo desenvolvimento de Cauchy é <math>M</math>.
* Uma métrica é '''globalmente hiperbólica''' se puder ser folheada por superfícies de Cauchy.
* O '''conjunto de violação de cronologia''' é o conjunto de pontos através dos quais passam curvas fechadas semelhantes ao tempo.
* O '''conjunto de violação de causalidade''' é o conjunto de pontos pelos quais passam as curvas causais fechadas.
* O limite do conjunto de violação de causalidade é um [[horizonte de Cauchy]]. Se o horizonte de Cauchy for gerado por geodésicas nulas fechadas, haverá um fator de desvio para o vermelho associado a cada uma delas.
* Para uma curva causal <math>\gamma</math>, o '''diamante causal''' é <math>J^+(\gamma(t_1)) \cap J^-(\gamma(t_2))</math> (aqui estamos usando uma definição mais ampla de "curva" na qual é apenas um conjunto de pontos), sendo o ponto <math>\gamma(t_1)</math> no passado causal de <math>\gamma(t_2)</math>. Em palavras: o diamante causal da linha de mundo de uma partícula <math>\gamma</math> é o conjunto de todos os eventos que se encontram no passado de algum ponto em <math>\gamma</math> e no futuro de algum ponto em <math>\gamma</math>. Na versão discreta, o diamante causal é o conjunto de todos os caminhos causais que conectam <math>\gamma(t_2)</math> a partir de <math>\gamma(t_1)</math>.

===Propriedades===
<!-- Ver Penrose (1972), p13. -->
* Um ponto <math>x</math> está em <math>\,I^-(y)</math> se e somente se <math>y</math> está em <math>\,I^+ (x)</math>.
* <math>x \prec y \implies I^-(x) \subset I^-(y)</math>
* <math>x \prec y \implies I^+(y) \subset I^+(x)</math>
* <math>I^+[S] = I^+[I^+[S]] \subset J^+[S] = J^+[J^+[S]]</math>
* <math>I^-[S] = I^-[I^-[S]] \subset J^-[S] = J^-[J^-[S]]</math>
* O horismos é gerado por congruências geodésicas nulas.

Propriedades [[Topologia (matemática)|topológicas]]:
* <math>I^\pm(x)</math> é aberto para todos os pontos <math>x</math> em <math>M</math>.
* <math>I^\pm[S]</math> é aberto para todos os subconjuntos <math>S \subset M</math>.
* <math>I^\pm[S] = I^\pm[\overline{S}]</math> para todos os subconjuntos <math>S \subset M</math>. Aqui <math>\overline{S}</math> é o  [[fechamento]] de um subconjunto <math>S</math>.
* <math>I^\pm[S] \subset \overline{J^\pm[S]}</math>

==Geometria conforme==
Duas métricas <math>\,g</math> and <math>\hat{g}</math> são conformemente relacionadas<ref>{{Harvnb|Hawking|Ellis|1973|p=42}}</ref> se <math>\hat{g} = \Omega^2 g</math> para alguma função real <math>\Omega</math> chamada de fator conforme.<!-- (Ver Mapa conforme{{Ill|en||Conformal map#Riemannian geometry|nlk=true}}). (na enwiki) -->

Observando as definições de quais vetores tangentes são semelhantes ao tempo, nulos (semelhantes à luz) e semelhantes ao espaço, vemos que eles permanecem inalterados se usarmos <math>\,g</math> ou <math>\hat{g}</math>. Como exemplo, suponha que <math>X</math> seja um vetor tangente semelhante ao tempo em relação à métrica <math>\,g</math>. Isso significa que <math>\,g(X,X) < 0</math>. Temos então que <math>\hat{g}(X,X) = \Omega^2 g(X,X) < 0</math> então <math>X</math> é um vetor tangente semelhante ao tempo em relação ao <math>\hat{g}</math> também.

Segue-se disso que a estrutura causal de uma variedade lorentziana não é afetada por uma [[Projeção conforme|transformação conforme]].

Uma geodésica nula permanece uma geodésica nula sob um redimensionamento conforme.

==Infinito conforme==
Uma métrica infinita admite geodésicas de comprimento infinito/tempo próprio. No entanto, às vezes podemos fazer um redimensionamento conforme da métrica com um fator conforme que cai suficientemente rápido para 0 à medida que nos aproximamos do infinito para obter o '''limite conforme''' da variedade. A estrutura topológica do limite conforme depende da estrutura causal.

* As geodésicas semelhantes ao tempo direcionadas para o futuro terminam em i + <math>i^+</math>, o '''infinito futuro semelhante ao tempo'''.
* Geodésicas semelhantes ao tempo direcionadas ao passado terminam em <math>i^-</math>, o '''infinito passado semelhante ao tempo'''.
* Geodésicas nulas (semelhantes à luz) direcionadas para o futuro terminam em ℐ<sup>+</sup>, o '''infinito futuro nulo{{Ill|en||Null infinity|nlk=true}} (semelhante à luz)'''.
* Geodésicas nulas (semelhantes à luz) direcionadas ao passado terminam em ℐ<sup>−</sup>, o '''passado infinito nulo (semelhante à luz)'''.

Em vários espaços:
* [[Espaço de Minkowski]]: <math>i^\pm</math> são pontos, ℐ<sup>±</sup> são folhas nulas e infinito semelhante ao espaço tem codimensão 2.
* Antiespaço de de Sitter{{Ill|en||Anti-de Sitter space|nlk=true}}: não há infinito semelhante ao tempo ou nulo (semelhante à luz), e o infinito semelhante ao espaço tem codimensão 1.
* [[Espaço de De Sitter|Espaço de de Sitter]]: o infinito futuro e passado semelhantes ao tempo tem codimensão 1.

==Singularidade gravitacional==
{{Artigo principal|Singularidade gravitacional}}
Se uma geodésica termina após um parâmetro afim finito e não é possível estender a variedade para estender a geodésica, então temos uma '''singularidade'''.

Para [[Buraco negro|buracos negros]], o limite futuro semelhante ao tempo termina em uma singularidade em alguns lugares.

Para o ''[[Big Bang]]'', o limite passado semelhante ao tempo também é uma [[Singularidade gravitacional|singularidade]].

O [[Horizonte absoluto|horizonte de eventos absoluto]] é o cone nulo passado do infinito futuro semelhante ao tempo. É gerado por geodésicas nulas que obedecem à [[Equação de Raychaudhuri|equação óptica de Raychaudhuri]].

==Ver também==
<!-- * Condições de causalidade|{{Ill|en|Causality conditions|nlk=true}}
* Espaço-tempo de Malament–Hogarth{{Ill|en||Malament–Hogarth spacetime|nlk=true}}
* Infinito nulo{{Ill|en||Null infinity|nlk=true}}
* Superfície de Cauchy{{Ill|en||Cauchy surface|nlk=true}}
* Triangulação dinâmica causal{{Ill|en||Causal dynamical triangulation|nlk=true}}
* Variedade hiperbólica globalmente{{Ill|en||Globally hyperbolic manifold|nlk=true}} -->
* [[Conjunto causal|Conjuntos causais]]
* [[Curva fechada de tipo tempo|Curva semelhante ao tempo fechada]]
* [[Diagrama de Penrose]]
* [[Espaço-tempo]]
* [[Hipótese da censura cósmica]]
* [[Teoremas de singularidade Penrose-Hawking|Teoremas de singularidade de Penrose – Hawking]]

== Notas ==
{{Reflist|group=lower-alpha}}

{{Referências}}

==Bibliografia==
* {{Citation |authorlink1=Stephen Hawking |first1=S.W. |last1=Hawking |authorlink2=George Ellis |first2=G. F. R. |last2=Ellis |title=<!-- [[:en:The Large Scale Structure of Space–Time]] -->The large scale structure of space–time |location=Cambridge |publisher=''Cambridge university press'' |year=1973 |isbn=0-521-20016-4 |language=en }}
* {{Citation | authorlink1=Stephen Hawking |first1=S.W. |last1=Hawking |authorlink2=Werner Israel |first2=W. |last2=Israel |title=General relativity, an Einstein centenary survey |publisher=''Cambridge university press'' |year=1979 |isbn=0-521-22285-0 |language=en }}
* {{Citation |authorlink=Roger Penrose |first=R.|last=Penrose |title=Techniques of differential topology in relativity |publisher=''SIAM'' |year=1972 | isbn=0898710057 |language=en }}
* {{Cite book| last=Sard |first=R. D. |title=Relativistic mechanics - Special relativity and classical particle dynamics |url=https://archive.org/details/relativisticmech0000sard <!-- |url-access=registration -->|year=1970 |publisher=W. A. Benjamin |location=Nova Iorque |isbn=978-0805384918 |language=en }}

==Leitura adicional==
{{InícioRef}}
* [[Gary Gibbons|G. W. Gibbons]], S. N. Solodukhin; ''The geometry of small causal diamonds'' [[arXiv:hep-th/0703098]] (intervalos causais) (em inglês)
* [[Stephen Hawking|S.W. Hawking]], A. R. King, P. J. McCarthy; [https://archive.today/20130113043425/http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/17/174/1 ''A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures'']; ''J. Math. Phys.'' 17 2:174 – 181 (1976);  (geometria, estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
* A. V. Levichev; ''Prescribing the conformal geometry of a lorentz manifold by means of its causal structure''; ''Soviet Math. Dokl.'' 35:452 – 455, (1987); (geometria, estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
* D. Malament{{Ill|en||David Malament|nlk=true}}; [https://archive.today/20130112104622/http://link.aip.org/link/?JMAPAQ/18/1399/1 ''The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime'']; ''J. Math. Phys.'' 18 7:1399 – 1404 (1977);  (geometria, estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
* [[Alfred Robb|A. A. Robb]] ; [https://archive.org/details/theoryoftimespac00robbrich ''A theory of time and space'']; ''Cambridge university press'', 1914; (geometria, estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
* [[Alfred Robb|A. A. Robb]] ; [https://archive.org/details/relationsoftime00robbuoft ''The absolute relations of time and space'']; ''Cambridge university press'', 1921; (geometria, estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
* [[Alfred Robb|A. A. Robb]] ; [https://archive.org/details/geometryoftimean032218mbp ''Geometry of time and space'']; ''Cambridge university press'', 1936; (geometria, estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
* R. D. Sorkin{{Ill|en||Rafael Sorkin|nlk=true}}, E. Woolgar; ''A causal order for spacetimes with C^0 Lorentzian metrics: Proof of compactness of the space of causal curves''; ''Classical & quantum gravity'' 13: 1971 – 1994 (1996); [[arXiv:gr-qc/9508018]] (estrutura causal{{Ill|en||Causal Structure|nlk=true}}) (em inglês)
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==Ligações externas==
* [http://demonstrations.wolfram.com/TuringMachineCausalNetworks/ ''Turing machine causal networks''] (de Enrique Zeleny, o [[Wolfram Demonstrations Project|Projeto de demonstrações da Wolfram]], em inglês)
* {{MathWorld |title=Causal network |urlname=CausalNetwork}}

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